Algèbre. Fiche n 5 Polynômes et fractions rationnelles Exercice 1

Université de Rouen
L2 Math / L2 Info
Année 2016-2017
Algèbre. Fiche n◦5
Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 1.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme Ppar le polynôme Q:
•P= 3X2+ 2X−1et Q= 3X2−2X+ 1,
•P=X2−5X+ 6 et Q=X2−4,
•P=X3+ 2X+ 20 et Q= 3X2+ 2.
Exercice 2.
Déterminer le PGCD des couples (P, Q)de polynômes suivants et trouver pour chacun d’eux deux
polynômes Uet Vsatisfaisant l’identité de Bezout P U +QV =PGCD(P, Q).
•P=X3−3X2+ 3X−1et Q=X2−2X+ 1,
•P=X2−5X+ 6 et Q=X2−4,
•P=X3−3X2+ 3X−1et Q=X2−2X+ 1,
•P=X3+ 2X2+ 2X+ 1 et Q=X2−X+ 1.
Exercice 3. [•]
Décomposer en facteurs irréductibles dans C[X]et R[X]les polynômes suivants :
X7−X, X4+X2+ 1 et X4+X3+ 3X2−5X.
Exercice 4. [•]
Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3 du polynôme P=X2+X+ 1
par le polynôme Q=X+ 1.
Exercice 5. [•]
Déterminer les réels aet bpour que le polynôme P=aXn+1 +bXn+ 1 soit divisible par
Q= (X−1)2. Quel est alors le quotient ?
Exercice 6. [•]
(1) Déterminer les nombres réels met ppour que le polynôme P=X3+mX2−8X+psoit
divisible par le polynôme Q= (X+ 1)(X−3).
(2) Déterminer les conditions sur les coefficients p,qet mpour que P=X3+pX +qsoit
divisible par Q=X2+mX −1.
Exercice 7. [•]Examen janvier 2016.
Déterminer le réel λpour que le polynôme P=X3−3X+λait un zéro double. Quel est alors
l’autre zéro de P?
Exercice 8. [•]Examen juin 2016.
Soit deux réels λet µ. Réaliser la division euclidienne du polynôme P=X4+X3+λX2+µX+1 par
le polynôme Q=X2+ 2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme
Qdivise le polynôme P.
Exercice 9.
On considère la suite de polynômes (Pn)n≥0⊂R[X]définie par la relation de récurrence
Pn=XPn−1−Pn−2,∀n≥2
avec P0= 1 et P1=X.
(1) Calculer P2,P3,P4et vérifier que P3est premier avec P4.
(2) Montrer que, pour tout n≥1,P2
n−Pn−1Pn+1 = 1.
(3) En déduire que, pour tout n≥0,Pnet Pn+1 sont premiers entre eux.

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Exercice 10.
(1) Déterminer l’ensemble des polynômes P∈R[X]tels que P(X) = P(X−1).
Comparer leurs racines dans C.
(2) Déterminer l’ensemble des polynômes P∈R[X]tels que P(X)−P(X−1) = X2.
Exercice 11. [•]
Soient ω1, . . . , ωn∈Cles nracines nième de l’unité et P∈C[X]un polynôme de degré strictement
inférieur à n.
Montrer que n
X
j=1
P(ωj) = nP (0).
Exercice 12.
(1) Factoriser le polynôme P=X3−(6 + 3i)X2+ 3(3 + 4i)X−2−11isachant qu’il admet
une racine triple.
(2) Factoriser le polynôme Q= 4X4−4X3−3X2+ 2X+ 1 sachant qu’il admet deux racines
doubles.
Exercice 13. [•]
(1) Montrer que (X−1)3divise P=nXn+2 −(n+ 2)Xn+1 + (n+ 2)X−n.
(2) Montrer que Q= (X+ 1)6n+1 −X6n+1 −1est divisible par (X2+X+ 1)2.
Exercice 14. [•]
Décomposer en éléments simples dans R[X]les fractions rationnelles suivantes
•R1=1
(X+ 1)(X+ 2) ,
•R2=X3+ 3X2+ 2X+ 1
(X+ 1)(X+ 2) ,
•R3=13X−1
(2X+ 1)(X−2),
•R4=X
(X−a)(X−b),
•R5=1
X(X2+X+ 1)2,
•R6=X3+ 2X2+ 2X+ 1
X(X2+ 1) ,
•R7=3X3−X2−X+ 1
X4−1.
Exercice 15.
Décomposer, dans C[X], les fractions rationnelles
R1=1
X3−1R2=1 X4+ 1.
En déduire leurs décompositions dans R[X].
Exercice 16. Examen janvier 2016.
Soit P=X4−2X3+ 2X2−2X+ 1.
(1) Décomposer Pen produit de facteurs irréductibles sachant que Pet P0ont une racine
réelle commune.
(2) Décomposer la fraction suivante en éléments simples dans R[X]:
F=X4−X3+X+ 1
X4−2X3+ 2X2−2X+ 1.
Exercice 17. Examen juin 2016.
Décomposer, dans C[X],F=X+4
(X2+1)2.