Cours Position Vitesse Accélération

Introduction
La cinématique étudie le mouvement des solides, indépendamment des causes qui le produisent.
I – Position d’un point d’un solide
1.1 Solide de référence
La notion de mouvement est relative. On étudie toujours le mouvement d’un solide (ou d’un
point) par rapport à un solide de référence.
Par exemple un voyageur assis dans un concorde est immobile par rapport à l’avion, alors qu’il se
déplace à plus de 2000 km.h-1 par rapport à la terre.
Solide de référence = Concorde …………………………
Solide de référence = Terre ……………………………..
Tout mouvement met donc en partie deux solides :
- un solide dont on étudie le mouvement
- un solide de référence
Dans l’étude des mouvements, on attachera à chaque solide un repère.
r
r
z0
z1
O1
S0
r
y0
S1
O0
r
x0
Remarque :
r
y1
r
x1
Les repères sont orthonormés directs.
r
r
r
xi = yi = zi = 1
r r
r r r
xi ⊥ yi xi ∧ yi = zi
r r
r r r
xi ⊥ zi zi ∧ xi = yi
r r r r r
yi ⊥ zi yi ∧ zi = xi
1.2 Notion de temps
En mécanique classique, le temps est considéré comme absolu et uniforme. Chaque fragment de
temps (seconde, minute, …) est identique au suivant.
Le choix d’une échelle de temps et d'une origine définit une chronologie des événements.
t=0
t1
Passé
t2
Avenir
t2-t1 est la ……………..de l’événement commencé au temps t1 et fini au temps t2.
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1.3 Référentiel
L’association d’un solide de référence et d’un repère de temps définit un référentiel.
1.4 Vecteur position d’un point d’un solide par rapport à un repère
r
z0
z(t)
S
M
M
O0
y(t)
x(t)
r
y0
r
x0
Soit un point M appartenant à (S).
Les coordonnées cartésiennes de M dans ℜ 0 sont M (x(t) ; y (t) ; z(t)).
Dans le repère ℜ 0 , on appelle vecteur position de M ∈ (S) le vecteur O0M.(t)
O0M(t)=x(t)*x0 + y(t)*y0 +z(t)*z0
Remarque: D'autres systèmes de coordonnées sont souvent utilisés (sphérique, cylindrique)
1.5 Trajectoires
a- Notion de point coïncident
Soit M un point de S. A l’instant t on peut considérer qu’en M se superposent deux points
M ∈S
géométriquement distincts :
M ∈ ℜ0
M ∈ ℜ 0 = point coïncident de M ∈ S à t.
b- Notion de trajectoire
Si nous traçons les positions successives du point M ∈ S dans ℜ 0 , nous obtenons un ensemble de
points appartenant à ℜ 0 .
Ce sont les points coïncidents de M ∈ S dans ℜ 0 .
Cette courbe définie dans ℜ 0 est la …………………. du point M appartenant à S par rapport à ℜ 0 :
‫ (ح‬M ∈ S / ℜ 0 ).
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La trajectoire dépend du repère choisi :
‫ (ح‬M ∈ S / ℜ 0 )
y1
.M
x1
y0
x0
‫ (ح‬M ∈ S / ℜ1 )
S = roue avant du vélo
M ∈ S / ℜ1 ) est un cercle
ℜ 0 = Repère lié à la terre ‫(ح‬
ℜ1 = Repère lié au vélo ‫ (ح‬M ∈ S / ℜ 0 ) est une cycloïde
c- Equation cartésienne de la trajectoire
Dans le cas des mouvements plans (z (t) =0 ∀ t), il est intéressant d’éliminer le temps entre les coordonnées
de l’abscisse et de l’ordonnée pour obtenir une relation du type y=f(x). Le temps n’apparaît plus
explicitement.
1.6 Vecteur déplacement
Soit M1 la position du point M à l'instant t=t1
Soit M2 la position du point M à l'instant t=t2
Le vecteur M1M2 définit le déplacement du point M entre les instants t1 et t2 pendant la durée (t2-t1)
Remarques:
* M1M2 =M1O0 +O0M2 =O0M2 −O0M1
Chasles
* Si la trajectoire du point M dans ℜ 0 est rectiligne entre les instants t1 et t2, alors
M1M2 mesure la ……………………………. parcourue par le point M pendant la durée (t2-t1).
1.7 Exercices d’application
Exercice 1
Pour le système bielle manivelle suivant (par exemple un moteur de moto), tracer la trajectoire,
dans le repère ℜ des points A, B et C.
Pour le point C, une construction point par point sera utilisée.
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A
C
.
B
Exercice 2
Dans le repère orthonormé direct ℜ , la position du point M appartenant à S est définie à chaque
instant par le vecteur position OM(t)=x(t)*x + y(t)*y+z(t)*z .
Avec x(t)=2t
y(t)=3t-5
z(t)=0
* Montrer que le point M se déplace dans un plan que l’on précisera.
* Déterminer les valeurs de x(t), y(t) et z(t) pour les valeurs de t={0,1,2,3,4,5}.
Construire la trajectoire ‫ (ح‬M ∈ S / ℜ ).
* En éliminant le temps, déterminer l’équation de la trajectoire ‫ (ح‬M ∈ S / ℜ ).
De quelle courbe s’agit-il ?
* Déterminer la longueur parcourue par le point M entre les instants t=0s et t=5s.
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II – Vitesse d'un point d'un solide par rapport à un repère
2.1 Vitesse moyenne
La vitesse moyenne de M par rapport au repère ℜ entre les instants t1 et t2 est définie par:

 

Vmoy(M∈S/ℜ)= M1M 2  = M1M 2  avec ∆t =t 2 −t1
t
2
−
t
1
∆
t

ℜ 
ℜ
2.2 Vitesse instantanée
Si t2 se rapproche de t1, alors ∆t tend vers 0.
On définit le vecteur vitesse de M appartenant à S par rapport à ℜ par:
V(M∈S/ℜ)=lim M1M 2
∆t
∆t → 0
Propriétés:
* Prop 1: Le vecteur vitesse est toujours ………………………… en M à la trajectoire.
* Prop 2:
Origine: Position de M à l'instant t
Support: Tangente en M à la trajectoire
Sens: Celui du mouvement
Norme: V(M∈S/ℜ)
* Prop 3: La définition du vecteur vitesse donne:


V(M∈S/ℜ)= dOM 
 dt ℜ
OM(t)=x(t)*x + y(t)*y+z(t)*z
V(M∈S/ℜ)= dxdt(t)*x + dydt(t)*y+ dzdt(t)*z=x& (t)*x + y& (t)*y+z& (t)*z
Si
alors
Unité: L'unité de vitesse est m/s
2.3 Exercice d'application
Dans le repère orthonormé direct ℜ , la position du point M appartenant à S est définie à chaque
instant par le vecteur position OM(t)=x(t)*x + y(t)*y+z(t)*z .
x(t)=4t2
y(t)= 0
z(t)= 2t2+1
* Donner les coordonnées du vecteur vitesse aux instants t={0,1,2,3}, ainsi que son expression générale en
fonction du temps.
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III – Accélération d'un point d'un solide par rapport à un repère
3.1- Vecteur accélération
L'accélération de M par rapport au repère ℜ est définie par:
Si OM(t)=x(t)*x + y(t)*y+z(t)*z
alors


a(M∈S/ℜ)= dV(M∈S/ℜ) 


dt

ℜ
a(M∈S/ℜ)=&x&(t)*x+&y&(t)*y+&z&(t)*z
Unité : L'unité d'accélération est m/s2.
3.2- Composantes normale et tangentielle du vecteur accélération
On démontre que :
a(M∈S/ℜ)=a n*n+a t*t
Les expressions de an et at seront cherchées dans des cas simples.
3.3 Exercice d'application
Dans le repère orthonormé direct ℜ , la position du point M appartenant à S est définie à chaque
instant par le vecteur position OM(t)=x(t)*x+ y(t)*y+z(t)*z .
Avec x(t)=4t2
y(t)= 0
z(t)= 2t2+1
* Donner les coordonnées du vecteur accélération aux instants t={0,1,2,3}, ainsi que son expression
générale en fonction du temps.
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