Cours Position Vitesse Accélération

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1
z
r
1
y
r
1
x
r
O
1
S
1
Introduction
La cinématique étudie le mouvement des solides, indépendamment des causes qui le produisent.
I – Position d’un point d’un solide
1.1 Solide de référence
La notion de mouvement est relative. On étudie toujours le mouvement d’un solide (ou d’un
point) par rapport à un solide de référence.
Par exemple un voyageur assis dans un concorde est immobile par rapport à l’avion, alors qu’il se
déplace à plus de 2000 km.h
-1
par rapport à la terre.
Solide de référence = Concorde  …………………………
Solide de référence = Terre  ……………………………..
Tout mouvement met donc en partie deux solides :
- un solide dont on étudie le mouvement
- un solide de référence
Dans l’étude des mouvements, on attachera à chaque solide un repère.
Remarque : Les repères sont orthonormés directs.
iiiii
iiiii
iiiii
iii
xzyzy
yxzzx
zyxyx
zyx
r
r
r
r
r
rr
rr
r
r
rrrr
r
r
r
=∧⊥ =∧⊥ =∧⊥ === 1
1.2 Notion de temps
En mécanique classique, le temps est considéré comme absolu et uniforme. Chaque fragment de
temps (seconde, minute, …) est identique au suivant.
Le choix d’une échelle de temps et d'une origine définit une chronologie des événements.
t
2
-t
1
est la ……………..de l’événement commencé au temps t
1
et fini au temps t
2
.
t=0 t1 t2
Passé Avenir
S
0
0
x
r
0
y
r
0
z
r
O
0

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1.3 Référentiel
L’association d’un solide de référence et d’un repère de temps définit un référentiel.
1.4 Vecteur position d’un point d’un solide par rapport à un repère
Soit un point M appartenant à (S).
Les coordonnées cartésiennes de M dans
0
ℜsont M (x(t) ; y (t) ; z(t)).
Dans le repère
0
ℜ, on appelle vecteur position de M
∈
(S) le vecteur )t.(MO 0
0000 z*)t(zy*)t(yx*)t(x)t(MO ++=
Remarque: D'autres systèmes de coordonnées sont souvent utilisés (sphérique, cylindrique)
1.5 Trajectoires
a- Notion de point coïncident
Soit M un point de S. A l’instant t on peut considérer qu’en M se superposent deux points
géométriquement distincts :
0
ℜ∈
∈
M
SM
0
ℜ∈M= point coïncident de SM
∈
à t.
b- Notion de trajectoire
Si nous traçons les positions successives du point SM
∈
dans 0 ℜ, nous obtenons un ensemble de
points appartenant à 0 ℜ.
Ce sont les points coïncidents de SM
∈
dans 0 ℜ.
Cette courbe définie dans 0 ℜ est la …………………. du point M appartenant à S par rapport à 0 ℜ :
ح (0 / ℜ∈SM ).
0
y
r
0
x
r
S
M
O
0
0
z
r
x(t)
y(t)
z(t)
M

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La trajectoire dépend du repère choisi :
S = roue avant du vélo
0
ℜ= Repère lié à la terre
1
ℜ
= Repère lié au vélo
c- Equation cartésienne de la trajectoire
Dans le cas des mouvements plans (z (t) =0
∀
t), il est intéressant d’éliminer le temps entre les coordonnées
de l’abscisse et de l’ordonnée pour obtenir une relation du type y=f(x). Le temps n’apparaît plus
explicitement.
1.6 Vecteur déplacement
Soit M
1
la position du point M à l'instant t=t
1
Soit M
2
la position du point M à l'instant t=t
2
Remarques: * 1020200121 MOMOMOOMMM −=+=
* Si la trajectoire du point M dans
ℜ
0
est rectiligne entre les instants t
1
et t
2
, alors
21 MM
mesure la ……………………………. parcourue par le point M pendant la durée (t
2
-t
1
).
1.7 Exercices d’application
Exercice 1
Pour le système bielle manivelle suivant (par exemple un moteur de moto), tracer la trajectoire,
dans le repère
ℜ
des points A, B et C.
Pour le point C, une construction point par point sera utilisée.
1
y
1
x
0
y
0
x
M
.
ح(1
/
ℜ
∈
SM
)
ح(
0
/
ℜ
∈
SM
)
ح(1
/
ℜ
∈
SM
) est un cercle
ح(
0
/
ℜ
∈
SM
) est une cycloïde
Chasles
Le vecteur 21
M
M
définit le déplacement du point M entre les instants t
1
et t
2
pendant la durée (t
2
-t
1
)

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Exercice 2
Dans le repère orthonormé direct
ℜ
, la position du point M appartenant à S est définie à chaque
instant par le vecteur position z*)t(zy*)t(yx*)t(x)t(OM ++= .
Avec x(t)=2t
y(t)=3t-5
z(t)=0
* Montrer que le point M se déplace dans un plan que l’on précisera.
* Déterminer les valeurs de x(t), y(t) et z(t) pour les valeurs de t={0,1,2,3,4,5}.
Construire la trajectoire ح (
ℜ
∈
/ SM ).
* En éliminant le temps, déterminer l’équation de la trajectoire ح (
ℜ
∈
/ SM ).
De quelle courbe s’agit-il ?
* Déterminer la longueur parcourue par le point M entre les instants t=0s et t=5s.
A
B
C
.

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II – Vitesse d'un point d'un solide par rapport à un repère
2.1 Vitesse moyenne
La vitesse moyenne de M par rapport au repère
ℜ
entre les instants t
1
et t
2
est définie par:
12
21
12
21
moy tttavec
t
MM
tt MM
)/SM(V −=∆
∆
=
−
=ℜ∈
ℜℜ
2.2 Vitesse instantanée
Si t
2
se rapproche de t
1
, alors ∆ t tend vers 0.
On définit le vecteur vitesse de M appartenant à S par rapport à
ℜ
par:
t
MM
)/SM(V 21
0t
lim
∆
=ℜ∈ →∆
Propriétés:
* Prop 1: Le vecteur vitesse est toujours ………………………… en M à la trajectoire.
* Prop 2: Origine: Position de M à l'instant t
Support: Tangente en M à la trajectoire
Sens: Celui du mouvement
Norme:
)/SM(V ℜ∈
* Prop 3: La définition du vecteur vitesse donne:
ℜ
=ℜ∈
dt
OMd
)/SM(V
Si z*)t(zy*)t(yx*)t(x)t(OM ++= alors
z*)t(zy*)t(yx*)t(xz*
dt
)t(dz
y*
dt
)t(dy
x*
dt
)t(dx
)/SM(V
&&& ++=++=
ℜ∈
Unité: L'unité de vitesse est m/s
2.3 Exercice d'application
Dans le repère orthonormé direct
ℜ
, la position du point M appartenant à S est définie à chaque
instant par le vecteur position z*)t(zy*)t(yx*)t(x)t(OM ++= .
x(t)=4t
2
y(t)= 0
z(t)= 2t
2
+1
* Donner les coordonnées du vecteur vitesse aux instants t={0,1,2,3}, ainsi que son expression générale en
fonction du temps.