Cours Intégrations Probabilités

Macs 1 Institut Galilée
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PROBABILITES
Notes de cours
de Première Année de Macs
Librement inspirées des cours de F. Klopp
∗
2005
BIBLIOGRAPHIE
•Introduction aux Probabilités, J.-P. Delmas, Ellipses.
•Initiation aux méthodes de la statistique et du calcul des probabilités, P. Jaffard, Masson.

Table des matières
1 Théorie de la mesure 4
1.1 σ-algèbre ........................................................ 4
1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Mesures sur une σ-algèbre .......................................... 4
1.1.3 Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Relation avec l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 IDP : intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Changements de variables dans Rn...................................... 9
1.5 Espaces L1et L2.................................................... 10
1.5.1 Espace L1.................................................... 10
1.5.2 Espace L2.................................................... 10
2 Variables aléatoires réelles 11
2.1 Préliminaires : probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Généralités sur les variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Loi et fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.4 Variance..................................................... 13
2.2.5 Lois réduites, centrées, constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.6 Inégalités fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Fonctions associées à une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Exemples fondamentaux de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.2 Exemples fondamentaux de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.3 Théorème de Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Convergences 22
3.1 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Convergences presque sûre et en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Convergence en loi et théorème centrale limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2

4 Vecteurs aléatoires 24
4.1 Généralités ....................................................... 24
4.1.1 Loi d’un vecteur aléatoire, marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2 Indépendance de vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.3 Espérance et matrice de covariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 Théorème centrale limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3

Chapitre 1
Théorie de la mesure
1.1 σ-algèbre
1.1.1 Définitions
Soit Ωun ensemble.
Définition 1.1.1.1 A∈P(Ω) est une σ-algèbre sur Ωsi :
•Ω∈ A.
•Pour tout A∈ A,¯ A∈ A a.
• A est stable par union dénombrable : si (An)n∈Nest une suite d’éléments de A, alors [
n∈N
An∈ A.
a¯
Adésigne ici le complémentaire de A
Remarque 1 Les deux derniers points montrent que toute σ-algèbre est stable par intersection dénombrable.
Propriété 1.1.1.1 Si (Ai)i∈Iest une famille de σ-algèbre , alors \
i∈IAiest une σ-algèbre .
Théorème 1.1.1.1 Soit B⊂ P(Ω). Il existe une unique σ-algèbre ABsur Ωtelle que :
•B⊂ AB.
•pour toute sous-algèbre Acontenant B, on a : AB⊂ A.
ABest donc la plus petite σ-algèbre contenant B, appelée σ-algèbre engendrée par B.
Définition 1.1.1.2 Sur Rn, on note B(Rn)la σ-algèbre engendrée par les ouverts de Rn, nommée tribu de Borel de Rn.
Ses éléments sont appelés boréliens de Rn.
Propriété 1.1.1.2 Soient Aune σ-algèbre sur Ωet Ω0un ensemble. Soit f: Ω07−→ Ω. Alors f−1(A) = {f−1(A)|A∈ A}
est une σ-algèbre sur Ω0.
1.1.2 Mesures sur une σ-algèbre
Dans tout le paragraphe, Ωest un ensemble et Aune σ-algèbre sur cet ensemble.
Définition 1.1.2.1 L’application µ:A −→ R+est une mesure si pour toute suite d’éléments (An)n∈Nde Atels que
An∩Am=∅pour n6=m, on a :
µ [
n∈N
An!=X
n∈N
µ(An)
Propriété 1.1.2.1 Soit µune mesure sur A. Alors :
1. µ(∅) = 0, puis, pour (A, B)∈ A2:
A⊂B=⇒µ(A)6µ(B)et µ(B\A) = µ(B)−µ(A)
2. Pour (An)n∈Nsuite d’éléments de A,
µ [
n∈N
An!6X
n∈N
µ(An)
4

Propriété 1.1.2.2 (Convergence monotone) Soit (An)n∈Nune suite croissante pour l’inclusion d’éléments de A.
Alors :
lim
n→+∞µ(An) = µ [
n∈N
An!
De même, pour (An)n∈Nsuite décroissante de Atelle qu’il existe n0∈Npour lequel µ(An0)est fini, on a :
lim
n→+∞µ(An) = µ \
n∈N
An!
Définition 1.1.2.2 (Ω, A)est appelé espace mesurable.(Ω, A, µ)est appelé espace mesuré.
Si, de plus, µ(Ω) = 1,(Ω, A, µ)est appelé espace probabilisé.
1.1.3 Mesure de Lebesgue
Théorème 1.1.3.1 Il existe une unique mesure borélienne λsur Rntelle que pour toutes familles de réels (ai)16i6n
et (bi)16i6n(avec ai< bipour tout 16i6n), on a :
λ n
O
i=1 |ai, bi|!=
n
Y
i=1
(bi−ai)
où |désigne ]ou [.
Ceci traduit l’unicité d’une mesure sur B(Rn)telle que la mesure de tout pavé de Rnsoit la mesure naturelle géomé-
trique, i.e. la longueur (n= 1), l’aire (n= 2), le volume (n= 3), . . .
λest appelée mesure de Lebesgue de Rn.
Propriété 1.1.3.1 La mesure de Lebesgue vérifie les propriétés suivantes :
•Invariance par translation : ∀x∈Rn,∀A∈ B(Rn), λ(x+A) = λ(A).
•Homogénéité : ∀t > 0,∀A∈ B(Rn), λ(tA) = tnλ(A).
1.1.4 Fonctions mesurables
Dans tout le paragraphe, Aet A0sont des σ-algèbres respectivement sur des ensembles Ωet Ω0.
Définition 1.1.4.1 f: Ω −→ Ω0est dite (A,A0)-mesurable si :
∀A∈ A0, f−1(A)∈ A
Remarque 2 A noter l’analogie avec les fonctions continues : f:R−→ Rest continue si pour tout ouvert Ode R,f−1(O)
est un ouvert de R.
Propriété 1.1.4.1 Toute fonction continue est mesurable.
Propriété 1.1.4.2 L’espace des fonctions mesurables de Ωdans Rest stable par addition (et même par combinaison linéaire),
par multiplication, par passage aux bornes sup et inf. En particulier, si fest mesurable, |f|est mesurable.
Propriété 1.1.4.3 Soit (fn)une suite de fonctions de Ωdans Rmesurables et convergeant simplement vers une
fonction réelle f. Alors fest mesurable.
Définition 1.1.4.2 L’application f: Ω −→ Rest dite simple si fest mesurable et ne prend qu’un nombre dénombrable
de valeurs. fpeut donc se mettre sous la forme :
f=X
i∈N
αi1Ai
où les ensembles Aisont mesurables et deux à deux disjoints.
Théorème 1.1.4.1 Toute fonction fmesurable et à valeurs positives est limite simple d’une suite croissante de
fonctions simples. Si, de plus, fest bornée, la convergence est uniforme.
1.2 Intégrale de Lebesgue
Dans tout le paragraphe, (Ω,A, µ)est un espace mesuré.
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