Série 2 : Résolutions a 3 − 10,19 − 5 − 3 3
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Chapitre N5 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS Série 2 : Résolutions Le cours avec les aides animées Q1. Que veut dire « résoudre une inéquation » ? Q2. Si on ajoute un nombre négatif à chaque membre d'une inégalité, que se passe-t-il ? Q3. Si on multiplie par un nombre négatif chaque membre d'une inégalité, que se passe-t-il ? Les exercices d'application 1 Comparaisons a. Sachant que x 5, x3? On ajoute 3 à chaque membre de l'inégalité donc on ne change pas le sens de l'inégalité. x 3 5 3 donc x 3 8 . quelle inégalité vérifie • x−3? On ajoute − 3 à chaque membre de l'inégalité donc on ne change pas le sens de l'inégalité. x − 3 5 − 3 donc x − 3 2 . quelle inégalité vérifie 3x ? • On multiplie chaque membre de l'inégalité par 3 qui est positif donc on ne change pas le sens de l'inégalité. 3 × x 5 × 3 donc 3x 15 . quelle inégalité vérifie − 2x ? • On multiplie chaque membre de l'inégalité par − 2 qui est négatif donc on change le sens de l'inégalité. − 2 × x 5 × − 2 donc − 2x − 10 . b. Sachant que a − 12, complète avec un symbole d'inégalité et un nombre. 2a − 24 a 3 2 −4 − 3a 36 1 − 4 a3 a 20 8 1 2 a−6 Calcul d'erreurs a. Encadre le périmètre P d'un carré dont le côté c est compris entre 3,2 et 3,3 cm. Le périmètre d'un carré de côté c est 4c . On sait que 3,2 c 3,3 et 4 est un nombre positif donc on ne change pas le sens de l'égalité. 4 × 3,2 π ≈ 3,1416 donc 3,141 π 3,142 . On multiplie chaque membre de l'inégalité par − 2,5 qui est négatif donc on change le sens de l'inégalité. 3,141 × (− 2,5) − 2,5π 3,142 × (− 2,5) . d'où − 7,855 − 2,5π − 7,8525 . Conclusion : − 7,86 − 2,5π − 7,85 c. Encadre − 5 − 3 3 à 10 quelle inégalité vérifie • b. La calculatrice de Mathieu est tombé en panne –2 et le professeur demande un encadrement à 10 près du nombre − 2,5π. Comment aider Mathieu ? c 3,3 × 4 . Ainsi 12,8 P 13,2 –2 près. 3 ≈ 1,7321 donc 1,732 3 1,733 . On multiplie chaque membre de l'inégalité par − 3 qui est négatif donc on change le sens de l'inégalité : − 5,196 − 3 3 − 5,199 On ajoute − 5 à chaque membre de l'inégalité donc on ne change pas le sens de l'inégalité. Conclusion : − 10,196 − 5 − 3 3 − 10,199 − 10,19 − 5 − 3 3 − 10,20 d. Le nombre d'Euler, noté e, a pour valeur –2 approchée 2,782. Encadre 8 − 3e à 10 près. 2,782 e 2,783 − 8,346 − 3e − 8,349 − 0,346 8 − 3e − 0,349 − 0,34 8 − 3e − 0,35 3 Résoudre une inéquation simple (1) a. Résous l'inéquation x 4 − 7. On soustrait 4 à chaque membre de l'inéquation donc on ne change pas le sens de l'inégalité. x 4 − 4 − 7− 4 d'où x − 11. b. Résous l'inéquation 3x − 2. On divise par 3 (nombre positif) chaque membre de l'inéquation donc on ne change pas le sens de l'inégalité. 3x ÷ 3 − 2 ÷ 3 d'où 2 x – . 3 Les solutions de l'inéquation 3x − 2 sont tous 2 les nombres strictement inférieurs à – 3 c. Résous l'inéquation − 2x 8. On divise par − 2 (nombre négatif) chaque membre de l'inéquation donc on change le sens de l'inégalité. − 2x ÷ (− 2) 8÷ (− 2) d'où x − 4. Les solutions de l'inéquation − 2x 8 sont tous les nombres strictement supérieurs à − 4 Chapitre N5 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS Série 2 : Résolutions 4 Résoudre une inéquation simple (2) x − 4 12. x − 4 4 12 4 d'où x 12. a. Résous l'inéquation On développe et on réduit le premier membre. 48 –4x d'où x − 12 . −4 −4 Les solutions de l'inéquation x − 4 12 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à − 12 x − 3. On remarque que − x = − 1 × x. −3 –1x d'où x 3. −1 −1 Les solutions de l'inéquation− x − 3 sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 3. 5 Plus complexe (1) a. Résous l'inéquation − 3x 15 − 72 − 2x. On ajoute 2x à chaque membre de l'inégalité : − 3x 15 2x − 72 2x ; d'où − 1x 15 − 72. On soustrait 15 à chaque membre de l'inégalité : − 1x − 72 15 d'où − 1x − 57 . Finalement x 57 5(x − 2) = 5 × x − 5 × 2 = 5x − 10 Puis on résout l'inéquation 5x − 10 4x − 2 x − 10 − 2 x − 10 10 − 2 10 x 8. Les solutions de l'inéquation 5(x − 2) 4x − 2 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 8. b. Résous l'inéquation − 6(2x 2) 3x − 27. 6 × 2x − 6 × 2 3x − 27 12x − 12 3x − 27 12x − 12 − 3x 3x − 27 − 3x 15x − 12 − 27 15x − 12 12 − 27 12 15x − 15 15x ÷ (− 15) − 15÷ (− 15) x1 Les solutions de l'inéquation − 6(2x 2) 3x − 27 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 1. − − − − − − − c. Résous 1,5(2x − 3) 2,5 − 0,5(3x − 14). Les solutions de − 3x 15 − 72 − 2x sont tous inférieurs ou égaux à 57 l'inéquation les nombres b. Résous l'inéquation 14x − 25 17x 50. 14x − 25 − 17x 17x 50 − 17x − 3x − 25 50 − 3x − 25 25 50 25 − 3x 75 − 3x ÷ (− 3) 75 ÷ (− 3) x − 25 Les solutions de l'inéquation 14x − 25 17x 50 sont tous les nombres supérieus ou égaux à − 25. c. Résous l'inéquation Plus complexe (2) a. Résous l'inéquation 5(x − 2) 4x − 2. b. Résous l'inéquation − 4x 48. c. Résous l'inéquation − 6 x 1 2 2x − . 4 3 1 2 − 2x 2x − − 2x 4 3 1 2 − 1x 4 3 1 1 2 1 − 1x − − 4 4 3 4 5 − 1x 12 −5 x 12 x 7 Des inéquations singulières a. Résous l'inéquation 12x 3 12x. On soustrait 12x de chaque membre de l'inéquation : 12x 3 − 12x 12x − 12x soit encore 3 0 . Ainsi les solutions de l'inéquation 12x 3 12x sont aussi solutions de l'inéquation 3 0. Comme cette inégalité est toujours vérifiée, tous les nombres sont solutions de 12x 3 12x. b. Résous l'inéquation 3(5 − 4x) − 2(6x − 3). 1 2 2x − sont 4 3 −5 tous les nombres supérieurs ou égaux à . 12 Les solutions de l'inéquation 1,5 × 2x − 1,5 × 3 2,5 − 0,5 × 3x 0,5 × 14 3x − 4,5 2,5 − 1,5x 7 3x − 2 − 1,5x 7 3x − 2 1,5x − 1,5x 7 1,5x 4,5x − 2 7 4,5x − 2 2 7 2 4,5x 9 4,5x ÷ 4,5 9 ÷ 4,5 x2 x 3 × 5 − 3 × 4x − 2 × 6x 2 × 3 15 − 12x − 12x 6 15 − 12x 12x − 12x 6 12x Comme cette inégalité n'est jamais vérifiée, aucun nombre n'est solution de 3(5 − 4x) − 2(6x − 3) Chapitre N5 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS Série 2 : Résolutions 8 Deux inéquations a. Résous l'inéquation − 2x 7 9. − 2x 7 − 7 9 − 7 − 2x 2 x−1 b. Résous l'inéquation 3x 5 − 4. 3x 5 − 5 − 4 − 5 3x − 9 x−3 c. Quel est l'entier qui vérifie les deux inégalités précédentes ? − 2 est le seule entier à la fois inférieur à − 1 et supérieur à − 3.
