Cours 7 - PROBABILITES

A
B
A
A
A B
∩
∩∩
∩
A B
∪
∪∪
∪
Cours 7 – PROBABILITÉS –
1. Expérience aléatoire – Ensemble des résultats possibles .
On réalise une expérience dont l’issue dépend du hasard .
Les résultats possibles forment un ensemble
Ω
.
2. Evénements
Définir un événement E sur cette expérience , c’est fixer l’attention sur certains résultats .
Un événement E n’est rien d’autre qu’une partie de
Ω
.
3. Vocabulaire des probabilités
a/ L’événement
∅
ne retenant aucun résultat est dit impossible
L’événement
Ω
retenant tous les résultats est dit certain
Un événement
{
}
ω
réduit à un seul résultat est dit élémentaire
b/ Si A est un événement alors le complémentaire de A dans
Ω
se note
A
et s’appelle le contraire de A
c/ Si A et B sont des événements alors
la réunion
A B
∪
est l’événement « réaliser A ou B »
l’ intersection
A B
∩
est l’événement « réaliser A et B »
d/ Des événements A et B sont dits incompatibles lorsque les parties A et B
sont disjointes c’est–à–dire lorsque
A B =
∅
∩
.
3. Loi de probabilité sur
Ω
a/ Définition
La loi de probabilité d’une expérience aléatoire est la donnée des résultats
possibles
1 2 n
, , ... ,
ω ω ω
et de leurs probabilités
1 2 n
p , p , ... , p
.
1 2 n
1 2 n
résultats possibles ...
probabilités p p ... p
ω ω ω
Les probabilités
1 2 n
p , p , ... , p
vérifient l’égalité
1 2 n
p + p + ... + p = 1
.
b/ Probabilité d’un événement E
La probabilité P ( E ) d’un événement E se calcule en ajoutant les probabilités
i
p
des résultats
i
ω
qui composent E .
Remarque : On a
(
)
P = 1
Ω et on pose
(
)
P = 0
∅ .

5. Propriétés à admettre
P1
Pour tout événement E , on a
0 P(E) 1
≤ ≤
P2
Si A et B sont des événements incompatibles ,
on a
( )
P A B = P ( A ) + P ( B )
∪
P3
Si A et B sont des événements quelconques ,
on a
( ) ( )
P A B = P ( A ) + P ( B )
P A B
− ∪ ∩
P4
Des événements contraires A et
A
sont incompatibles et
A A =
Ω
∪
.
Par suite
( )
(
)
P A + P A = 1
c’est–à–dire
( )
( )
P A = 1 P A
−
6. Loi équirépartie
a/ Définition
La loi de probabilité sur
Ω
est dite équirépartie lorsque les n nombres
i
p
ont la même valeur
1
n
.
On dit aussi que les résultats possibles sont équiprobables .
b/ Probabilité d’un événement E
Dans le cas d’une loi équirépartie , la probabilité d’un événement E
s’obtient en comptant
1
n
pour chaque élément de E .
On a ainsi
nombre de résultats réalisant E
P ( E ) =
nombre total de résultats .
7. Loi des grands nombres
On reproduit n fois la même expérience aléatoire et on compte la fréquence
n
f ( A )
de réalisations d’un événement A .
Lorsqu’on augmente n indéfiniment , cette fréquence
n
f ( A )
tend presque sûrement
vers la probabilité de A .
Cette loi ( dite des grands nombres ) peut être considéréer comme un fait expérimental
mais se démontre dans le cadre d’e la théorie des probabilités .