Correction du sujet n°1 - TI

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Préparation oral de rattrapage – Série S
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renseigner au plus tôt.
Votre préparation
•Vous avez forcément peu de temps : soyez efficaces et organisez-vous bien pour réviser vos deux
matières !
•Ces exemples d’oraux devraient vous simplifier la tâche : tous les points du programme « d’enseignement
obligatoire » y sont présents, certains à plusieurs reprises pour faciliter votre mémorisation à court et
moyen terme.
Conseils d’organisation
•Pour ne perdre aucun temps, travaillez les oraux sur une journée en vous donnant une quinzaine de
minutes pour mettre sur papier vos réponses aux différents exercices proposés, puis lisez la correction.
Corrigez par écrit vos erreurs éventuelles, relisez le cours portant sur les points travaillés, puis passez à
l’oral suivant.
•Si vous avez le temps, relisez les questions de chacun des oraux en essayant de vous rappeler exactement
de ce qu’il faudrait faire. Lisez éventuellement rapidement la correction d’exercices qui vous poseraient
encore des soucis.Vous devriez être prêt pour le jour J !
À vous de jouer : bon courage !
BSi vous avez une question concernant un des exercices proposés, envoyez-moi un mail à [e-mail] :
je vous répondrai dès que possible !

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Préparation « oral de rattrapage » : Série S http://oral.bac.free.fr
Sujet n°1
ÏExercice 1
Écrire le nombre complexe 1+ip3
p3+isous forme trigonométrique.
ÏExercice 2
Calculer l’intégrale I=Z1
0
ex
1+exdx.
ÏExercice 3
Calculer lim
x→+∞
x−lnx
x−1.
Correction du sujet n°1
ÏExercice 1
•On commence d’abord par transformer le nombre complexe sous forme algébrique : on multiplie son
numérateur et son dénominateur par le conjugué p3−i de p3+i :
1+ip3
p3+i=(1+ip3)(p3−i)
(p3+i)(p3−i) =p3−i+3i+p3
p32+12¡pour le dénominateur, on a utilisé l’égalité (a+ib)(a−ib)=a2+
On en déduit que 1+ip3
p3+i=2p3+2i
4=p3 2+1 2i.
•Vous devriez reconnaître la forme trigonométrique de ce nombre complexe : p3
2+1 2i=cos³π 6´+isin³π 6´.
Si ce n’est pas le cas, voici la méthode « habituelle » permettant de déterminer la forme trigonométrique
d’un nombre complexe :
Étape 1 – calcul de son module : r=¯¯¯¯¯
p3
2+1 2i¯¯¯¯¯=v
u
u
tÃp3
2!2
+µ1
2¶2
=r3
4+1 4=1.
Étape 2 – recherche de son argument : avec α=argÃp3
2+1 2i!, on a 
cosα=p3
2
sinα=1
2
, donc α=π
6[2π].
On retrouve bien l’écriture trigonométrique 1+ip3
p3+i=1׳cos³π
6´+isin³π 6´´.
ÏExercice 2
Il est recommandé – dès que l’on doit calculer une intégrale – de justifier que le calcul est possible car la
fonction f:x7→ ex
1+exest continue sur l’intervalle [0 ; 1] (c’est le quotient de deux fonctions continues
sur l’intervalle [0 ; 1] dont le dénominateur ne s’annule pas)
Ensuite, précisez que fest de la forme u′
u, avec u(x)>0 sur [0 ; 1].
Une de ses primitives est de la forme x7→lnu
On en déduit que I=Z1
0
ex
1+exdx=£ln¡1+ex¢¤1
0=ln(1+e1)−ln(1+e0)=ln(1+e)−ln2 ou lnµ1+e
2¶.
ÏExercice 3
Le numérateur de la fonction présente la forme indéterminée « +∞−∞». On doit transformer l’écriture
de f(x) pour lever cette indétermination. Il suffit de factoriser le numérateur et le dénominateur par x:
x−lnx
x−1=
x¡1−lnx
x¢
x¡1−1
x¢=1−lnx
x
1−1
x
.
Comme lim
x→+∞
lnx
x=0 et que lim
x→+∞
1
x=0, on obtient finalement lim
x→+∞
x−lnx
x−1=1.
Corrigés 2

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Préparation « oral de rattrapage » : Série S http://oral.bac.free.fr
Sujet n°2
ÏExercice 4
Résoudre l’équation ln(x2+4x+3) =ln(−2x−5).
ÏExercice 5
Soit Fla fonction définie sur [0 ; +∞[ par F(x)=Zx
0ln(2+t) dt.
Répondre par vrai ou faux, en justifiant votre réponse :
1. F(0) =ln2 ;
2. F′(x)=1
2+x;
3. Fest croissante sur [0 ; +∞[.
Correction du sujet n°2
ÏExercice 4
1 Vous devez impérativement débuter cet exercice en déterminant le domaine de validité de cette
équation !
Il faut en effet s’assurer que les solutions – si elles existent – sont telles que ½x2+4x+3>0
−2x−5>0
•Pour le polynôme du second degré x2+4x+3 :
On calcule son discriminant : ∆=b2−4ac =42−4×1×3=4 ; comme ∆>0, le polynôme est du
signe de a=1 – donc positif – à l’extérieur de ses racines x1=−b−p∆
2a=−3 et x2=−b+p∆ 2a=−1.
• −2x−5>0⇐⇒ −2x>5⇐⇒ x<−5
2.
•Conclusion : la synthèse de ces deux contraintes permet d’indiquer que les solutions éventuelles de
l’équation doivent appartenir à l’intervalle I =]−∞ ;−3[.
2 On résout maintenant l’équation en se basant sur la propriété « ln a=lnb⇐⇒ a=b» :
ln(x2+4x+3) =ln(−2x−5) ⇐⇒ x2+4x+3= −2x−5⇐⇒ x2+6x+8=0. Cette équation du second
degré a pour discriminant 4, et pour solutions −4∈I et −2∉I.
L’ensemble des solutions est finalement : S={−4}.
ÏExercice 5
Soit Fla fonction définie sur [0 ; +∞[ par F(x)=Zx
0ln(2+t) dt.
1. FAUX :F(0) =Z0
0ln(2+t) dt=06=ln2 ;
2. FAUX : Un rappel de cours utile :
La fonction F :x7→Zx
a
f(t)dt est la primitive de la fonction f qui s’annule en a.
On en déduit, par définition, que F′(x)=f(x)=ln(2 +x)6= 1
2+x;
3. VRAI : Comme pour tout x>0,F′(x)=ln(2 +x)>ln(2) >0, alors la fonction Fest croissante sur
[0 ; +∞[.
Remarques :
Ne pas dire la fonction f (x) !
,Mais plutôt la fonction f ; en effet, f(x) est l’image du nombre xpar la fonction f...
Corrigés 3

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Préparation « oral de rattrapage » : Série S http://oral.bac.free.fr
Sujet n°3
ÏExercice 6
Résoudre l’inéquation : e2x−ex−2>0.
ÏExercice 7
On définit la suite (un) pour tout entier naturel npar un=Zn
0x2e−xdx.
Déterminer le signe puis les variations de la suite (un).
Correction du sujet n°3
ÏExercice 6
On commence par poser X=ex, de façon à pouvoir remplacer exet e2x=¡ex¢2par Xet X2;
l’inéquation (1) : e2x−ex−2>0 se ramène alors à l’inéquation du second degré (2) : X2−X−2>0.
Le discriminant est ∆=(−1)2−4×1×(−2) =9 ;
∆étant strictement positif, le polynôme X2−X−2 a pour racines X1=··· =−1 et X2=···= 2
Ce polynôme est du signe de a=1 (donc positif) à l’extérieur de ses racines X1et X2.
On en déduit que X2−X−2>0⇐⇒
X<−1
ou
X>2⇐⇒
ex<−1
ou
ex>2
Comme pour tout xréel, exest strictement positif, l’inéquation ex<−1 n’a pas de solution.
Finalement, e2x−ex−2>0⇐⇒ ex>2⇐⇒ x>ln2, et l’ensemble solution de (1) est S=]ln2 ; +∞[.
ÏExercice 7
Quelques rappels utiles :
1 Positivité d’une intégrale :
Si fest une fonction continue positive sur l’intervalle [a;b], avec aÉb, alors l’intégrale Zb
a
f(x)dxest
positive.
2 Pour étudier les variations d’une suite (un) définie par une intégrale, une seule méthode ! Il faut
déterminer le signe de la différence un+1−un.
Si cette différence est négative, alors la suite (un) est décroissante, si elle est positive, la suite est croissante.
3 On aura besoin, dans cet exercice, des égalités suivantes :
−Za
b
f(t)dt=Zb
a
f(t)dtZb
a
f(t)dt+Zc
b
f(t)dt=Zc
a
f(t)dt(relation de Chasles)
•Signe de un.
Sur l’intervalle [0 ; n], x2Ê0 et e−x>0, donc x2exÊ0, ce qui prouve – d’après la propriété 1 de positivité
de l’intégrale – que un=Zn
0x2e−xdxÊ0.
•Variations de (un).
un+1−un=Zn+1
0x2e−xdx−Zn
0x2e−xdx=Zn+1
0x2e−xdx+Z0
n
x2e−xdx=Zn+1
n
x2e−xdx.
Comme sur l’intervalle [n;n+1], la fonction x7→ x2e−xest positive (n∈N, donc nÊ0), on en déduit que un+1−un
est positif, donc que la suite (un) est croissante.
Corrigés 4

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Sujet n°4
ÏExercice 8
Déterminer la valeur de kpour laquelle la fonction
f:x7−→k x
est une densité de probabilité sur l’intervalle [1 ; 5].
ÏExercice 9
1. Résoudre dans Cl’équation 4z2+8z+5=0 ; on notera z1et z2les affixes obtenues, avec Im(z1)<Im(z2).
2. Dans un repère orthonormal ³O, ~ i,~ j´, on donne les points A, B et C d’affixes respectives z1,z2et −2+i
2.
Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
Correction du sujet n°4
ÏExercice 8
Commençons par rappeler la définition d’une densité de probabilité sur un intervalle I: c’est une fonction continue
et positive telle que son intégrale sur Isoit égale à 1.
– Ici, la fonction f:x7−→kx est une fonction linéaire : elle est continue sur Rdonc sur l’intervalle [1 ; 5].
–fest positive sur [1 ; 5] si et seulement si kest un nombre positif.
– Enfin, fest une densité de probabilité sur [1 ; 5] si, et seulement si Z5
1kx dx=1.
Or Z5
1kx dx=·k×x2
2¸5
1=k×52
2−k×12 2=12k
On en déduit que fest une densité de probabilité sur [1 ; 5] si, et seulement si 12k=1⇐⇒ k=1
12.
ÏExercice 9
1. On calcule le discriminant : ∆=b2−4ac =82−4×4×5=−16.
Comme ∆est strictement négatif, l’équation a deux solutions complexes conjuguées :
z1=−b−ip−∆
2a=−8−4i 2×4=−1−1 2i et z2=z1=−1+1 2i.
2. Posons ZA=z1=−1−1
2i et ZB=z2= −1+1 2i.
En faisant une petite figure, on peut conjecturer que le triangle ABC semble rectangle isocèle en B.
•On sait que BA=|ZA−ZB|=|−1−1
2i+1−1 2i|=|−i|=1, et que BC= |ZC−ZB| =|−2+1 2i+1−1 2i|=|−1|=1.
Il en résulte que BA=BC.
•D’autre part, ³−→
BC, −→ BA´=argµZA−ZB
ZC−ZB¶=argµ−i −1¶=arg(i)=
π
2[2π].
Remarque :
Autre possibilité : calculer la longueur AC et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore!
Corrigés 5