Chapitre 6 : Les probabilités

Chapitre 6 : Les probabilités
Objectifs :
*Connaitre les propriétés des probabilités conditionnelles
* Connaitre la propriété des probabilités totales
*Savoir rédiger et utiliser un tableau ou un arbre de probabilité
Concrètement :
* Le théorème de Bayes basée sur les probabilités conditionnelles permet à partir
d’observation d’obtenir des calculs probabilistes. Il est souvent utiliser par exemple pour
étudier la défaillance de crédits bancaires.
Exercices : Indice TES 2012 Bordas
Activité 1p148+3p149
Remarque : E désigne l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
I. Probabilité conditionnelle
Définition : Soient A et B deux évènements de l’ensemble E, A étant de probabilité non nulle
(p(A) 0).
La probabilité conditionnelle de B sachant A est le nombre noté
.
Propriétés : Soient deux évènements tels que p(A) 0. Alors :
0 pA(B) 1 ;
pA(B)+ pA( )=1
Dans une situation d’équiprobabilité :
éé
éé
.
Propriétés : p(A B) peut se calculer de deux façons :
i)
ii)
avec p(A) 0.
avec p(B) 0.
II. Représentation des probabilités
1.Tableau
Voici comment l’on peut représenter une situation de probabilité dans un tableau.
Total
Total
1
Pour trouver alors les probabilités conditionnelles, on utilisera la définition.
2.Arbre
Voici comment l’on peut représenter une situation de probabilité dans un arbre.
Remarque :
i) La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
ii) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet
événement
Exercices : Indice TES 2012 Bordas
1,4,7,10,11,12,14p155+21,26,27,37p157+38p18
Exercices supplémentaires : Indice TES 2012 Bordas
2,3,5,6,8,9,13,15,16,17,18,19p155+20,22,23,24,25,28,29,30,31,32,33,34,35,36p157+39,40,41,
42,43p158
II. Probabilités Totales
Propriété : Soit un événement A, réunion d’événements A1,A2,…An, deux à deux incompatibles.
Pour tout événement B, on a p(B)=p(A1 B)+ p(A2 B)+… p(An B)
c’est-à-dire : p(B)= p(A1)
pA1(B)+ p(A2)
pA2(B)+…+ p(An)
pAn(B)
où A1,A2,…An sont des événements de probabilités non nulle.
Cas particulier :
Soient A et B deux évènements, A étant de probabilité non nulle (p(A) 0).
alors p(B)=p(A B)+ p(
B) c’est-à-dire p(B)= p(A)
pA(B)+ p( )
Exercices : Indice TES 2012 Bordas
45p159+49p160+79p166+81p167+sujetA ,Bp169+sujetCp170
(B)
Exercices supplémentaires : Indice TES 2012 Bordas
44,46,47,48p159+50,51,52,53,54,55,56p160+p161,162,163+74,75,76,77,78p166+82p167+p168
+83,84,85,86p170