CPGE IBN GHAZI RABAT
MPSI 1
A. Haddou Amar
Nombres complexes
Exercice 1
1. Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧 2 − √2𝑧 + 1 = 0
2. On pose 𝑎 =
√2
√2
+ 2𝑖
2
2.1. Ecrire 𝑎 sous forme trigonométrique et en déduire que 𝑎2020 est un nombre réel.
𝜋
𝜋
8
8
2.2. On pose 𝑏 = cos ( ) + 𝑖 sin ( ) . Prouver que 𝑏2 = 𝑎
3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢
⃗ , 𝑣 ) , on
considère les points 𝐴 , 𝐵 et 𝐶 d’affixes 𝑎 , 𝑏 et 𝑐 avec 𝑐 = 1. La rotation de
centre 𝑂 et d’angle
𝜋
8
transforme le point 𝑀 d’affixe 𝑧 au point 𝑀′ d’affixe 𝑧′.
3.1. Vérifier que 𝑧 ′ = 𝑏𝑧
3.2. Déterminer l’image de 𝐶 par la rotation 𝑅 et montrer que 𝐴 est l’image de 𝐵 par
𝑅.
4. Nature du triangle 𝐴𝐵𝐶
4.1. Montrer que |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑐| est en déduire la nature du triangle 𝐴𝐵𝐶 .
⃗⃗⃗⃗⃗̂
4.2. Déterminer une mesure de l’angle (𝐵𝐴
, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 )
5. Soit 𝑇 la translation de vecteur 𝑢
⃗ et 𝐷 l’image de 𝐴 par 𝑇 .
2
5.1. Vérifier que l’affixe de 𝐷 est 𝑏 + 1 .
5.2. Montrer que
𝑏 2+1
𝑏
= 𝑏 + 𝑏̅ et en déduire que les points 𝑂 , 𝐵 et 𝐷 sont alignés.
Exercice 2
I.
Soit 𝑚 un nombre réel non nul. On considère dans l’ensemble des nombres
complexes ℂ les équations suivantes :
(𝐸 ) 𝑧 2 + 2𝑧 + 1 + 𝑚 2 = 0; (𝐹 ) 𝑧 3 + 2(1 − 𝑖 )𝑧 2 + (1 + 𝑚 2 − 4𝑖 )𝑧 − 2𝑖 (1 + 𝑚 2 ) = 0
1. Résoudre dans ℂ l’équation (𝐸 )
2. Montrer que l’équation (𝐹 ) admet une solution imaginaire pure puis résoudre
l’équation (𝐹 )
II.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢
⃗ , 𝑣 ) , on
considère les points 𝐴(−1 + 𝑖𝑚) , 𝐵(−1 − 𝑖𝑚) .
Soient Ω le milieu du segment [𝐴 , 𝐵] , 𝐴′ le milieu du segment [𝑂 , 𝐵] est 𝐵′ le milieu
𝜋
du segment [𝑂 , 𝐴] . La rotation de centre Ω et d’angle (− ) transforme 𝐴 en 𝑃(𝑝) ,
2
𝜋
′
la rotation de centre 𝐴 et d’angle (− 2 ) transforme 𝐵 en 𝑄(𝑞) et la rotation de
𝜋
centre 𝐵′ et d’angle (− 2 ) transforme 𝑂 en 𝑅(𝑟) .
1. Justifier que 𝑞 − 𝑟 = −𝑖𝑝
2. En déduire que 𝑂𝑃 = 𝑄𝑅 et que les droites (𝑂𝑃 ) et (𝑄𝑅) sont orthogonales.
Exercice 3
Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants :
1/3
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𝑧 = √1 +
MPSI 1
√3
√3
+ 𝑖 √1 −
,
2
2
A. Haddou Amar
1 + 𝑒 𝑖𝜃
, 𝜃 ∈ ℝ\2𝜋ℤ
1 − 𝑒 −𝑖𝜃
𝑒 𝑖𝛼 + 𝑒 𝑖𝛽 , 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ ,
On pourra calculer 𝑧 2 .
Exercice 4
Soient 𝑛 un entier naturel non nul et 𝜔 une racine nième de 1. Calculer
𝑛
1)
𝑛
∑ 𝑘𝜔
𝑘−1
; 2)
𝑘=1
𝑛−1
∑𝜔
𝑘𝑝
,𝑝 ∈ ℤ ;
3)
𝑘=0
∑ 𝐶𝑛𝑘 𝜔𝑘 ,
𝜔=𝑒
2𝐼𝜋
𝑛
𝑘=0
Exercice 5
1) Calculer les sommes suivantes :
𝑛
𝑛
𝐶𝑛 = ∑ cos(𝑎 + 𝑘𝑏)
;
𝑆𝑛 = ∑ sin(𝑎 + 𝑘𝑏) , 𝑛 ∈ ℕ , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
𝑘=0
𝑘=0
2) Montre que pour tout entier 𝑛 ≥ 1 :
𝑛
∑|cos 𝑘| ≥
𝑘=1
𝑛
4
On pourra remarquer que (cos 𝑘 )2 ≤ |cos 𝑘 |
Exercice 6
Soient 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑡 𝜔 = 𝑒
2𝑖𝜋
𝑛
.
𝑘𝑝
1) Soit 𝑝 ∈ ℕ , calculer la somme ∑𝑛−1
. On distinguera suivant que 𝑝 est ou non
𝑘=0 𝜔
un multiple de 𝑛 .
2) On pose, pour 𝑧 ∈ ℂ
𝑛−1
𝑆(𝑧) = ∑(𝑧 + 𝜔𝑘 )
𝑛
𝑘=0
Montrer que pour tout 𝑧 ∈ ℂ , 𝑆(𝑧) = 𝑛(𝑧 𝑛 + 1)
3) En déduire que
𝑛−1
(2𝑘 − 1)𝜋
∑(−1)𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑛 (
)=0
2𝑛
𝑘=0
Exercice 7
Soit 𝜔 ∈ ℂ tel que 𝜔7 = 1 et 𝜔 ≠ 1
1/ Calculer 1 + 𝜔 + 𝜔2 + ⋯ + 𝜔6
2/3
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2/ Montrer que :
𝜔
1+𝜔 2
MPSI 1
𝜔2
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𝜔3
+ 1+𝜔4 + 1+𝜔6 = −2
Exercice 8
Résoudre dans ℂ le système :
{
|𝑧| = |𝑧 − 2|
arg(𝑧) ≡ arg(𝑧 + 3 + 𝑖)[2𝜋]
Exercice 9
1) Soit 𝑘 un entier naturel non nul, déterminer deux réels 𝑟𝑘 𝑒𝑡 𝛽𝑘 tels que :
1 + 𝑘 (𝑘 + 1) + 𝑖
= 𝑟𝑘 𝑒 𝑖𝛽𝑘
1 + 𝑘 (𝑘 + 1) − 𝑖
2) On pose 𝜃𝑘 = arctan(𝑘) , montrer que :
𝛽𝑘
tan ( ) = tan(𝜃𝑘+1 − 𝜃𝑘 )
2
et que 𝛽𝑘 = 2(𝜃𝑘+1 − 𝜃𝑘 )
3) Calculer
𝑛
lim ∏
𝑛→+∞
𝑘=1
1 + 𝑘 (𝑘 + 1) + 𝑖
1 + 𝑘 (𝑘 + 1) − 𝑖
Exercice 10 Soient 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 trois points du plan complexe d’affixes 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 respectivement.
Montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral direct si et seulement si 𝑎 + 𝑗𝑏 + 𝑗 2 𝑐 = 0
Exercice 11 Soient 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 quatre points du plan complexe. 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 , 𝐻 sont des points
tels que les triangles 𝐴𝐵𝐸 , 𝐵𝐶𝐹 , 𝐶𝐷𝐺 , 𝐷𝐴𝐹 soient rectangles, isocèles directs en
𝐸 , 𝐹 , 𝐺 , 𝐻 . Montrer que :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐹𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 ‖𝐸𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = ‖ 𝐹𝐻
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
𝐸𝐺
Exercice 12 Pour 𝑧 ∈ ℂ , on pose
1
1
𝑆ℎ(𝑧)
𝑐ℎ (𝑧) = (𝑒 𝑧 + 𝑒 −𝑧 ) , 𝑠ℎ (𝑧) = (𝑒 𝑧 − 𝑒 −𝑧 ) , 𝑡ℎ(𝑧) =
2
2
𝐶ℎ(𝑧)
1) Quels sont les nombres complexes 𝑧 pour lesquels 𝑡ℎ (𝑧) existe ?
2) Résoudre dans ℂ l’équation 𝑡ℎ(𝑧) = 0 .
𝜋
|𝐼𝑚 (𝑧)| <
2
3) Résoudre dans ℂ le système {
|𝑡ℎ(𝑧)| < 1
𝜋
4) Montrer que la fonction 𝑡ℎ est une bijection de ∆= {𝑧 ∈ ℂ ∶ |𝐼𝑚 (𝑧)| < 4 } vers
𝑈 = {𝑧 ∈ ℂ ∶ |𝑧| < 1}
Exercice 13 Etudier les similitudes directes définies par l’expression complexe suivante :
𝑧 ′ = 2𝑗𝑧 + 3
;
3/3
𝑧 ′ = −𝑗𝑧 + 1
