TD N. Complexes

CPGE IBN GHAZI RABAT MPSI 1 A. Haddou Amar
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Nombres complexes
Exercice 1
1. Résoudre dans  l’équation : 
2. On pose 
2.1. Ecrire  sous forme trigonométrique et en déduire que  est un nombre réel.
2.2. On pose 
. Prouver que 
3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct 
, on
considère les points et d’affixes  et avec . La rotation de
centre  et d’angle 
 transforme le point  d’affixe  au point  d’affixe .
3.1. Vérifier que 
3.2. Déterminer l’image de  par la rotation et montrer que  est l’image de  par
.
4. Nature du triangle 
4.1. Montrer que  est en déduire la nature du triangle .
4.2. Déterminer une mesure de l’angle 
5. Soit la translation de vecteur 
 et  l’image de  par .
5.1. Vérifier que l’affixe de  est .
5.2. Montrer que 
 et en déduire que les points  et  sont alignés.
Exercice 2
I. Soit  un nombre réel non nul. On considère dans l’ensemble des nombres
complexes  les équations suivantes :
1. Résoudre dans  l’équation 
2. Montrer que l’équation  admet une solution imaginaire pure puis résoudre
l’équation 
II. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct 
, on
considère les points  .
Soient  le milieu du segment ,  le milieu du segment  est  le milieu
du segment  . La rotation de centre  et d’angle 
transforme  en  ,
la rotation de centre  et d’angle 
transforme  en  et la rotation de
centre  et d’angle 
transforme  en  .
1. Justifier que 
2. En déduire que et que les droites  et  sont orthogonales.
Exercice 3
Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants :

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On pourra calculer  .
Exercice 4
Soient un entier naturel non nul et une racine nième de 1. Calculer
Exercice 5
1) Calculer les sommes suivantes :
2) Montre que pour tout entier  :
On pourra remarquer que 
Exercice 6
Soient 
 .
1) Soit , calculer la somme 
  . On distinguera suivant que est ou non
un multiple de .
2) On pose, pour 
Montrer que pour tout  
3) En déduire que
Exercice 7
Soit  tel que  et 
1/ Calculer 

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2/ Montrer que : 
Exercice 8
Résoudre dans le système :
Exercice 9
1) Soit un entier naturel non nul, déterminer deux réels  tels que :
2) On pose , montrer que :
et que 
3) Calculer
Exercice 10 Soient  trois points du plan complexe d’affixes respectivement.
Montrer que le triangle est équilatéral direct si et seulement si 
Exercice 11 Soient quatre points du plan complexe.  sont des points
tels que les triangles soient rectangles, isocèles directs en
. Montrer que :
Exercice 12 Pour , on pose
1) Quels sont les nombres complexes pour lesquels  existe ?
2) Résoudre dans  l’équation .
3) Résoudre dans  le système 
4) Montrer que la fonction  est une bijection de 
 vers
Exercice 13 Etudier les similitudes directes définies par l’expression complexe suivante :