lois usuelles discrètes

Chapitre 12 : Lois discrètes usuelles
1. Introduction
Les chapitres 7 et 11 ont permis de définir les variables aléatoires discrètes, que l’univers soit fini ou bien infini et dénombrable,
ainsi que les notions de loi, d’espérance, de variance et leurs principales propriétés. Les calculs de sommes (cas fini) ou de séries
(cas infini dénombrable) sont omniprésents, ce qui demande beaucoup de technicité.
Cependant, de nombreuses variables aléatoires rencontrées dans les modèles mathématiques (et donc dans les exercices) suivent
un petit nombre de lois, nommées en conséquence lois usuelles.
Dans ce chapitre, on étudie ces lois. Les résultats pourront ensuite être réutilisés sans démonstration dans les exercices.
Pour chaque loi usuelle, il faudra connaître par cœur la notation (et ses paramètres éventuels), la loi de probabilité (et en
particulier X(Ω) et savoir si cet espace est fini ou infini dénombrable), l’espérance, la variance, le ou les cas typiques d’utilisation
et la rédaction classique pour justifier son utilisation.
En revanche, pour toutes les autres lois, les résultats exposés dans ce chapitre sont inutiles.
Notation 1.On utilisera le symbole ֒→pour signifier qu’une variable aléatoire « suit »une loi usuelle.
2. Lois usuelles discrètes finies
2.1 Loi certaine
Définition 1.Une variable aléatoire Xsuit la loi certaine si elle ne prend qu’une seule valeur, c’est à dire si sa loi est
donnée par X(Ω) = {a}et P(X=a) = 1, avec a∈R. Il n’y pas de notation usuelle pour cette loi.
1Soit aun nombre réel. Si Xsuit une loi certaine avec X(Ω) = {a}, alors E(X) = aet V(X) = 0.
2Si Xvérifie, V(X) = 0, alors Xsuit une loi certaine.
Proposition 1.« paramètres et caractérisation d’une loi certaine »
Démonstration. ✎1Faire les calculs à la main en utilisant les définitions.
2(a) Montrer que si une variable aléatoire discrète Xvérifie V(X) = 0 alors Y=X−E(X) vérifie :
E(Y) = V(Y) = 0 et que V(Y) = EX2.
(b) En utilisant les résultats précédents, conclure que P(Y=k) = 0 pour k∈N∗et que P(Y= 0) = 1.
(c) Conclure sur la variable aléatoire X.
Méthode 1.Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi certaine
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On utilise très peu cette loi, qui est en fait déterministe. Pour justifier son utilisation, on peut dire « Xne prend qu’une
valeur donc suit une loi certaine » ou encore « V(X) = 0 donc Xsuit une loi certaine ».
2.2 Lois uniformes finies
Définition 2.Une variable aléatoire Xsuit une loi uniforme sur J1 ; nKsi X(Ω) = J1 ; nKet si, pour tout k∈J1 ; nK, on a
P(X=k) = 1
n. On note alors X ֒→ U (J1 ; nK)
Démonstration. ✎Vérifier que l’on définit ainsi une loi de probabilité.
Soit n∈N∗et X ֒→ U (J1 ; nK). On a E(X) = n+ 1
2et V(X) = n2−1 12 .
Proposition 2.« paramètres d’une loi uniforme finie »
Démonstration. ✎Utiliser la linéarité de la somme, une somme de référence et, pour la variance, le résultat suivant, démontré
au chapitre 1 :
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
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Méthode 2.Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi uniforme
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On retrouve cette loi dans les cas suivants : Xest le résultat d’un lancer de dé équilibré à nfaces, d’un tirage de boules
indiscernables et numérotées, d’un lancer d’une pièce équilibrée, ...
Pour justifier son utilisation, on peut dire : « comme les valeurs de Xsont les entiers entre 1 et n, et toutes ces valeurs
sont équiprobables, alors X ֒→ U (J1 ; nK) ».
En fait, une loi est dite uniforme dès qu’il y a équiprobabilité des différentes valeurs prises par X, mais rien n’impose que ces
valeurs soient des entiers consécutifs, ni que la première valeur soit 1. La méthode suivante expose une technique possible pour
déterminer les paramètres de telles lois. Une autre solution est de tout refaire à la main en revenant aux définitions.
Méthode 3.Lois uniformes qui ne sont pas sur J1 ; nK
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Si Xsuit une loi uniforme, on peut, dans certains cas, se ramener à une variable aléatoire Y ֒→ U (J1 ; nK), où Yest déduite
de Xpar soustraction et/ou division.
Exemple 1.✎1Soit (a, b)∈Z2tels que a < b. On dit qu’une variable aléatoire Xsuit la loi uniforme sur Ja;bKet on note
X ֒→ U (Ja;bK) si X(Ω) = Ja;bKet si, pour tout k∈Ja;bK, on a P(X=k) = 1
b−a+ 1.
(a) Vérifier que l’on définit ainsi une loi de probabilité.
(b) Posons Y=X−a+ 1. Quelle est la loi de Y? (c) En déduire E(X) et V(X).
2Un jeu propose les gains algébriques suivants, en euros, qui sont tous équiprobables : -20, -15, -10, -5, 0 , 5, 10 et 15.
On note Xla variable aléatoire associée au gain.
(a) Par quelles opérations peut-on déduire de Xune variable aléatoire Y ֒→ U (J1 ; nK), où nest une entier à préciser ?
(b) En déduire E(X) et V(X).
3On lance un dé équilibré à faces numérotées de 2 à 12 et on note Dle résultat. Donner l’espérance et la variance de
D. Comparer avec le résultat de la somme Sde deux dés à 6 faces. On admettra que S=X1+X2, où X1et X2sont
indépendantes (ceci implique E(X1X2) = E(X1)E(X2)) et suivent toutes deux des lois uniformes sur J1 ; 6K.
2.3 Loi de Bernoulli
Définition 3.Soit p∈[0; 1]. Une variable aléatoire Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre psi X(Ω) = {0; 1},
P(X= 1) = pet P(X= 0) = 1 −p. On note alors X ֒→ B(p).
Soit p∈[0; 1] et X ֒→ B(p). Alors E(X) = pet V(X) = p(1 −p).
Proposition 3.« paramètres d’une loi de Bernoulli »
Démonstration. ✎à la main et facile, les sommes ne comportent que deux termes...
Méthode 4.Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi de Bernoulli
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Un exemple d’utilisation est le suivant : on lance une pièce truquée pour laquelle le côté Face est obtenu avec la probabilité
p. Soit Xqui vaut 1 lorsqu’on obtient Face, et 0 sinon. Alors X ֒→ B(p).
Pour justifier son utilisation, on peut dire « on appelle succès l’événement ... de probabilité p.X, la variable aléatoire qui
vaut 1 en cas de succès, 0 en cas d’échec, suit une loi de Bernoulli de paramètre p».
Exemple 2.✎1A quelle condition une loi de Bernoulli peut-elle être uniforme ? certaine ?
2On lance un dé. Alice gagne 1 euro lorsqu’elle fait un résultat supérieur ou égal à 5, et rien sinon. On note Gson gain.
Étudier la variable aléatoire G.
3On s’intéresse au taux d’échecs d’un gymnaste lors de sa dernière figure. On suppose que la variable aléatoire qui vaut
1 lorsqu’il rate cette figure et 0 sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre p∈[0; 1]. Expérimentalement, on a estimé :
V(X)≈1
4. Avec quelle probabilité le gymnaste rate-t-il sa dernière figure ?
2.4 Loi binomiale
Définition 4.Soient n∈N∗et p∈[0; 1]. Une variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètres net psi
X(Ω) = J0 ; nKet si, pour tout k∈J0 ; nK, on a P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k. On note alors X ֒→ B(n, p).
Démonstration. ✎Il y a deux philosophies : soit on admet la formule du binôme de Newton et on vérifie que l’on définit ainsi
une probabilité, soit on justifie l’expression de la probabilité et on en déduit ainsi la formule du binôme de Newton.
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1Soient n∈N∗,p∈[0; 1] et X ֒→ B(n, p). Alors E(X) = np et V(X) = np(1 −p).
2(admis) Soient n∈N∗,p∈[0; 1] et X1, X2,...,Xnune famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes
suivant une loi de bernoulli de paramètre p. Alors si X=X1+X2+···+Xn, on a X ֒→ B(n, p).
Proposition 4.« propriété et paramètres d’une loi binomiale »
Démonstration. ✎Première méthode : considérer la fonction f:x7→ (px + (1 −p))net la dériver deux fois. En déduire deux
expressions distinctes pour f′(1) ainsi que pour f′′ (1). Recoller touts les morceaux pour obtenir E(X) et V(X).
Deuxième méthode : admettre le second point de la propriété et utiliser la linéarité de l’espérance et l’additivité de la variance
pour des variables aléatoires mutuellement indépendantes.
Méthode 5.Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi binomiale
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Toute répétition d’expérience aléatoires à deux issues de manière indépendantes, ce qui s’appelle un schéma de Bernoulli,
conduit à l’introduction de loi binomiale
Pour justifier son utilisation, on peut dire « dans une expérience à deux issues, on appelle succès l’événement ... de probabilité
p. On répète nfois cette expérience de manière indépendante. Alors si Xest la variable aléatoire qui compte le nombre
de succès, X ֒→ B(n, p). », ou encore (moins conseillé) « On a un schéma de Bernoulli donc X ֒→ B(n, p), où Xest la
variable aléatoire qui compte le nombre de succès », ou encore « X ֒→ B(n, p) car c’est la somme de nvariables aléatoires
mutuellement indépendantes et suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p».
Exemple 3.✎1On lance un dé. Alice gagne un euro lorsqu’elle fait un résultat supérieur ou égal à 5, et rien sinon. Alice
lance 5 fois le dé. On note Gson gain. Étudier G.
2Un conseil d’administration valide sa décision lorsque 10 au moins des 12 membres son d’accord. Chacun des membres prend
sa décision indépendamment des autres et choisit d’accepter avec la probabilité 3
4. Déterminer le nombre moyen de membres
qui acceptent, puis la probabilité que la décision soit validée.
3On modélise le nombre annuel d’accidents d’un conducteur par une loi binomiale de paramètres net poù pest la probabilité
d’avoir un accident à chaque utilisation et nle nombre de fois où il utilise sa voiture. Le modèle vous semble-t-il pertinent ? Le
nombre moyen d’accidents des conducteurs a été mesuré à 2,6 et la variance à 1,96. Déterminer les paramètres de la loi.
4Aet Bsont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Chaque moteur a la probabilité pde tomber en panne, et les
moteurs sont indépendants les uns des autres. Chaque avion arrive à sa destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe
en panne. En fonction de la valeur de p, quel avion est-il le plus judicieux de choisir ?
3. Lois usuelles discrètes infinies
3.1 Loi géométrique
Définition 5.Soit p∈[0; 1]. Une variable aléatoire Xsuit une loi géométrique de paramètre psi X(Ω) = N∗et si,
pour tout k∈N∗, on a P(X=k) = p(1 −p)k−1. On note alors X ֒→ G(p).
Soit p∈[0; 1] et X ֒→ G(p). On a alors E(X) = 1
pet V(X) = 1−p p2
Proposition 5.« Paramètres d’une loi géométrique »
Démonstration. ✎Pour vérifier qu’on a bien une probabilité, calculer l’espérance et la variance, il faut utiliser, dans l’ordre,
les trois résultats sur les séries géométriques.
Méthode 6.
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Les variables aléatoires qui décrivent un temps d’attente avant le premier succès, lorsqu’on répète une expérience à
l’identique et de manière indépendante , suivent une loi géométrique. Pour justifier son utilisation, on peut rédiger ainsi :
« On appelle succès l’événement .... Xest la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers nécessaires pour
obtenir le premier succès en répétant indépendamment l’expérience de Bernoulli associée ».
Exemple 4.✎1Bob jette un dé jusqu’à obtenir un résultat supérieur ou égal à 5. On note Nle nombre de lancers nécessaires.
Étudier N. Quelle est la probabilité que Bob ait besoin de moins de 10 lancers pour réussir ? En moyenne, combien de lancer
doit-il effectuer pour réussir ?
2On modélise le nombre de secondes nécessaires à la désintégration d’une particule radioactive par une loi géométrique de
paramètre p. Montrer que P(X > t1) = (1 −p)t1, puis montrer que PX>t1(X > t1+d) = P(X > d). Interpréter.
3On jette cinq dés équilibrés. Après le premier lancer, on reprend et on relance les dés qui n’ont pas donné d’as, jusqu’à ce
qu’on obtienne cinq as. Soit Xle nombre de lancers nécessaires.
Calculer P(X6k) puis P(X=k) pour tout k∈N∗. Combien de lancers seront nécessaires en moyenne ?
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3.2 Loi de Poisson
Définition 6.Soit λ∈R∗
+. Une variable aléatoire Xsuit une loi de Poisson de paramètre λsi X(Ω) = Net si, pour
tout k∈N, on a P(X=k) = λk
k!e−λ. On note alors X ֒→ P(λ).
Soit p∈[0; 1] et X ֒→ P(λ). On a alors E(X) = λet V(X) = λ.
Proposition 6.« Paramètres d’une loi exponentielle »
Démonstration. ✎Se servir des séries exponentielles et de simplification sur les factorielles.
Méthode 7.
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La loi de Poisson a parfois été appelée loi des événements rares, pour ses applications classiques à la modélisation de
phénomènes rares. Pas de cas typique ni de justification : cette loi sera toujours introduite par l’énoncé.
Exemple 5.✎1Soit p= 0.1% la proportion des patients qui font une réaction allergique à la prise d’un médicament. On
donne ce médicament à un grand nombre (n= 1000) de patients.
(a) Quelle loi le nombre Nde patients faisant une réaction allergique suit-elle ? Donner une expression de la probabilité que N
soit inférieur ou égal à 3.
(b) Afin de simplifier les calculs, on cherche à approcher Npar une variable aléatoire N′suivant une loi de Poisson. Comment
choisir le paramètre ? Calculer alors P(N63). Commenter.
2Chaque jour un vendeur d’un journal local a Xacheteurs. On admet que Xsuit une loi de Poisson de paramètre 8. Le
bénéfice de chaque vente est de un euro.
(a) Quelle est la recette moyenne ?
(b) En fait le marchand n’a en stock que 10 exemplaires du journal. Exprimer P(X>10) puis la nouvelle recette moyenne.
Bilan du chapitre 12
Objectifs prioritaires
1Connaître la définition de toutes les lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
2Connaître les formules d’espérance et de variance de toutes les lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
3Connaître le cadre d’application de toues les lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
4Connaître la rédaction pour justifier qu’une variable aléatoire suit une loi usuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
5Vérifier que la somme des probabilités vaut bien un pour toutes les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
Objectifs secondaires
1Démontrer les formules de l’espérance pour les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
2Savoir se ramener à une loi usuelle via des opérations simples sur les variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
Approfondissements
Démontrer les formules de variance pour les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
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TD du chapitre 12
Exercice 1.
Une étude statistique sur le sexe des bébés a montré que sur 100 naissances, 52 bébés sont des garçons et 48 sont des filles. On
suppose que les évènements "accoucher d’un garçon" et "accoucher d’une fille" sont indépendants. Virginie a eu 4 bébés.
1Calculer la probabilité que Virginie ait :
(a) autant de garçons que de filles. a(b) un seul garçon.
(c) un seul garçon sachant que son premier bébé est une fille.
(d) un seul garçon sachant que son premier bébé est un garçon.
(e) un seul garçon sachant que son deuxième bébé est une fille.
2On suppose que Virginie a eu 2 garçons et 2 filles et que son premier bébé est une fille. Calculer la probabilité pour que :
(a) le deuxième bébé soit une fille.a(b) le dernier bébé soit une fille.a(c) le dernier bébé soit un garçon.
Le fait que premier bébé de Virginie soit une fille est-il indépendant du fait que Virginie ait exactement 2 garçons ?
Exercice 2.
Bob et Joe lance chacun nfois une pièce truquée et comptent le nombre de Pile qu’ils obtiennent. Exprimer sous la forme
d’une somme (qu’on ne cherchera ni à calculer ni à simplifier) la probabilité qu’ils en aient fait le même nombre.
Exercice 3.
Un péage comporte 10 guichets numérotés de 1 à 10. Le nombre Nde voitures arrivant au péage en une heure suit une loi
de Poisson de paramètre λ > 0. On suppose que les conducteurs choisissent leur file au hasard, indépendamment les uns des
autres. On note X1le nombre de voitures arrivant au guichet 1 en une heure.
1Donner E(N) et interpréter la valeur λ.
2Avec quelle probabilité une voiture arrivant au péage va-t-elle au guichet 1 ?
3Calculer P(N=n)(X1=k) pour tout k∈J0 ; nKpuis pour k > n.
4Montrer que P(X1=k) =
+∞
X
n=k
P(N=n)(X1=k)P(N=n) = e−λ(1
10)kλk k!
+∞
X
n=0
(9
10)nλn n!
5Déduire la loi de X1, son espérance et sa variance.
Exercice 4.
Une urne contient des boules blanches et noires. On suppose que la probabilité de piocher une blanche vaut p∈]0,1[.On
effectue des tirages successifs avec remise.
Soit X1la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule blanche.
1Reconnaître la loi de X1et donner la valeur de E(X1) et de V(X1).
2Soit X2la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la deuxième boule blanche.
Déterminer la loi de X2ainsi que son espérance.
Exercice 5.
On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l’expérience aléatoire suivante :
⋆On commence par piocher des boules de l’urne une à une avec remise jusqu’à obtenir la boule noire (que l’on remet aussi
dans l’urne).
On définit la variable aléatoire Négale au nombre de tirages avec remise nécessaires pour obtenir la boule noire.
⋆Puis, si Nprend une valeur entière positive non nulle notée n, on réalise alors une seconde série de ntirages dans l’urne,
toujours avec remise.On définit la variable aléatoire Xégale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans cette
seconde série de tirages.
1Déterminer la loi de la variable aléatoire N. Donner son espérance.
2Soit k∈Net n∈N∗.Déterminer la probabilité conditionnelle P(N=n)(X=k).
3Vérifier : P(X= 0) = 4
9.On admet que l’égalité +∞
P
n=kn
kxn=xk
(1 −x)k+1 est valable pour x∈]−1,1[ et k∈N.
Montrer : ∀k∈N∗,P(X=k) = 25
36 4 9k
.
4Montrer que Xadmet une espérance E(X) et calculer E(X).
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