lois usuelles discrètes

Chapitre 12 : Lois discrètes usuelles
1. Introduction
Les chapitres 7 et 11 ont permis de définir les variables aléatoires discrètes, que l’univers soit fini ou bien infini et dénombrable,
ainsi que les notions de loi, d’espérance, de variance et leurs principales propriétés. Les calculs de sommes (cas fini) ou de séries
(cas infini dénombrable) sont omniprésents, ce qui demande beaucoup de technicité.
Cependant, de nombreuses variables aléatoires rencontrées dans les modèles mathématiques (et donc dans les exercices) suivent
un petit nombre de lois, nommées en conséquence lois usuelles.
Dans ce chapitre, on étudie ces lois. Les résultats pourront ensuite être réutilisés sans démonstration dans les exercices.
Pour chaque loi usuelle, il faudra connaître par cœur la notation (et ses paramètres éventuels), la loi de probabilité (et en
particulier X(Ω) et savoir si cet espace est fini ou infini dénombrable), l’espérance, la variance, le ou les cas typiques d’utilisation
et la rédaction classique pour justifier son utilisation.
En revanche, pour toutes les autres lois, les résultats exposés dans ce chapitre sont inutiles.
Notation 1. On utilisera le symbole ֒→ pour signifier qu’une variable aléatoire « suit »une loi usuelle.
2. Lois usuelles discrètes finies
2.1 Loi certaine
Définition 1. Une variable aléatoire X suit la loi certaine si elle ne prend qu’une seule valeur, c’est à dire si sa loi est
donnée par X(Ω) = {a} et P(X = a) = 1, avec a ∈ R. Il n’y pas de notation usuelle pour cette loi.
Proposition 1.« paramètres et caractérisation d’une loi certaine »
1
Soit a un nombre réel. Si X suit une loi certaine avec X(Ω) = {a}, alors E(X) = a et V (X) = 0.
2
Si X vérifie, V (X) = 0, alors X suit une loi certaine.
Démonstration. ✎ 1 Faire les calculs à la main en utilisant les définitions.
2 (a) Montrer que si une variable aléatoire discrète X vérifie V (X) = 0 alors Y = X − E(X) vérifie :
E(Y ) = V (Y ) = 0 et que V (Y ) = E X 2 .
(b) En utilisant les résultats précédents, conclure que P(Y = k) = 0 pour k ∈ N∗ et que P (Y = 0) = 1.
(c) Conclure sur la variable aléatoire X.
Méthode 1. Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi certaine
≀ On utilise très peu cette loi, qui est en fait déterministe. Pour justifier son utilisation, on peut dire « X ne prend qu’une
≀
≀ valeur donc suit une loi certaine » ou encore « V (X) = 0 donc X suit une loi certaine ».
≀
2.2 Lois uniformes finies
Définition 2. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur J1 ; nK si X(Ω) = J1 ; nK et si, pour tout k ∈ J1 ; nK, on a
1
P(X = k) = . On note alors X ֒→ U (J1 ; nK)
n
Démonstration. ✎ Vérifier que l’on définit ainsi une loi de probabilité.
Proposition 2.« paramètres d’une loi uniforme finie »
Soit n ∈ N∗ et X ֒→ U (J1 ; nK). On a E(X) =
n+1
n2 − 1
et V (X) =
.
2
12
Démonstration. ✎ Utiliser la linéarité de la somme, une somme de référence et, pour la variance, le résultat suivant, démontré
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
k2 =
au chapitre 1 :
.
6
k=1
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Méthode 2. Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi uniforme
≀ On retrouve cette loi dans les cas suivants : X est le résultat d’un lancer de dé équilibré à n faces, d’un tirage de boules
≀
≀ indiscernables et numérotées, d’un lancer d’une pièce équilibrée, ...
≀
≀
≀ Pour justifier son utilisation, on peut dire : « comme les valeurs de X sont les entiers entre 1 et n, et toutes ces valeurs
≀
≀ sont équiprobables, alors X ֒→ U (J1 ; nK) ».
≀
En fait, une loi est dite uniforme dès qu’il y a équiprobabilité des différentes valeurs prises par X, mais rien n’impose que ces
valeurs soient des entiers consécutifs, ni que la première valeur soit 1. La méthode suivante expose une technique possible pour
déterminer les paramètres de telles lois. Une autre solution est de tout refaire à la main en revenant aux définitions.
Méthode 3. Lois uniformes qui ne sont pas sur J1 ; nK
≀ Si X suit une loi uniforme, on peut, dans certains cas, se ramener à une variable aléatoire Y ֒→ U (J1 ; nK), où Y est déduite
≀
≀ de X par soustraction et/ou division.
≀
Exemple 1. ✎
Soit (a, b) ∈ Z2 tels que a < b. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur Ja ; bK et on note
1
X ֒→ U (Ja ; bK) si X(Ω) = Ja ; bK et si, pour tout k ∈ Ja ; bK, on a P(X = k) =
.
b−a+1
(a) Vérifier que l’on définit ainsi une loi de probabilité.
(b) Posons Y = X − a + 1. Quelle est la loi de Y ? (c) En déduire E(X) et V (X).
1
2 Un jeu propose les gains algébriques suivants, en euros, qui sont tous équiprobables : -20, -15, -10, -5, 0 , 5, 10 et 15.
On note X la variable aléatoire associée au gain.
(a) Par quelles opérations peut-on déduire de X une variable aléatoire Y ֒→ U (J1 ; nK), où n est une entier à préciser ?
(b) En déduire E(X) et V (X).
3 On lance un dé équilibré à faces numérotées de 2 à 12 et on note D le résultat. Donner l’espérance et la variance de
D. Comparer avec le résultat de la somme S de deux dés à 6 faces. On admettra que S = X1 + X2 , où X1 et X2 sont
indépendantes (ceci implique E (X1 X2 ) = E (X1 ) E (X2 )) et suivent toutes deux des lois uniformes sur J1 ; 6K.
2.3 Loi de Bernoulli
Définition 3. Soit p ∈ [0; 1]. Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si X(Ω) = {0; 1},
P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p. On note alors X ֒→ B(p).
Proposition 3.« paramètres d’une loi de Bernoulli »
Soit p ∈ [0; 1] et X ֒→ B(p). Alors E(X) = p et V (X) = p(1 − p).
Démonstration. ✎ à la main et facile, les sommes ne comportent que deux termes...
Méthode 4. Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi de Bernoulli
≀ Un exemple d’utilisation est le suivant : on lance une pièce truquée pour laquelle le côté Face est obtenu avec la probabilité
≀
≀ p. Soit X qui vaut 1 lorsqu’on obtient Face, et 0 sinon. Alors X ֒→ B(p).
≀
≀
≀ Pour justifier son utilisation, on peut dire « on appelle succès l’événement ... de probabilité p. X, la variable aléatoire qui
≀
≀ vaut 1 en cas de succès, 0 en cas d’échec, suit une loi de Bernoulli de paramètre p ».
≀
Exemple 2. ✎ 1 A quelle condition une loi de Bernoulli peut-elle être uniforme ? certaine ?
2 On lance un dé. Alice gagne 1 euro lorsqu’elle fait un résultat supérieur ou égal à 5, et rien sinon. On note G son gain.
Étudier la variable aléatoire G.
3 On s’intéresse au taux d’échecs d’un gymnaste lors de sa dernière figure. On suppose que la variable aléatoire qui vaut
1 lorsqu’il rate cette figure et 0 sinon suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0; 1]. Expérimentalement, on a estimé :
V (X) ≈ 41 . Avec quelle probabilité le gymnaste rate-t-il sa dernière figure ?
2.4 Loi binomiale
Définition 4. Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0; 1]. Une variable aléatoire
X suit une loi binomiale de paramètres n et p si
X(Ω) = J0 ; nK et si, pour tout k ∈ J0 ; nK, on a P(X = k) = nk pk (1 − p)n−k . On note alors X ֒→ B(n, p).
Démonstration. ✎ Il y a deux philosophies : soit on admet la formule du binôme de Newton et on vérifie que l’on définit ainsi
une probabilité, soit on justifie l’expression de la probabilité et on en déduit ainsi la formule du binôme de Newton.
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Proposition 4.« propriété et paramètres d’une loi binomiale »
1
2
Soient n ∈ N∗ , p ∈ [0; 1] et X ֒→ B(n, p). Alors E(X) = np et V (X) = np(1 − p).
(admis) Soient n ∈ N∗ , p ∈ [0; 1] et X1 , X2 , . . . , Xn une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes
suivant une loi de bernoulli de paramètre p. Alors si X = X1 + X2 + · · · + Xn , on a X ֒→ B(n, p).
n
Démonstration. ✎ Première méthode : considérer la fonction f : x 7→ (px + (1 − p)) et la dériver deux fois. En déduire deux
expressions distinctes pour f ′ (1) ainsi que pour f ′′ (1). Recoller touts les morceaux pour obtenir E(X) et V (X).
Deuxième méthode : admettre le second point de la propriété et utiliser la linéarité de l’espérance et l’additivité de la variance
pour des variables aléatoires mutuellement indépendantes.
Méthode 5. Utilisation classique et rédaction pour utiliser la loi binomiale
≀ Toute répétition d’expérience aléatoires à deux issues de manière indépendantes, ce qui s’appelle un schéma de Bernoulli,
≀
≀ conduit à l’introduction de loi binomiale
≀
≀
≀ Pour justifier son utilisation, on peut dire « dans une expérience à deux issues, on appelle succès l’événement ... de probabilité
≀
≀ p. On répète n fois cette expérience de manière indépendante. Alors si X est la variable aléatoire qui compte le nombre
≀
≀ de succès, X ֒→ B(n, p). », ou encore (moins conseillé) « On a un schéma de Bernoulli donc X ֒→ B(n, p), où X est la
≀
≀
≀ variable aléatoire qui compte le nombre de succès », ou encore « X ֒→ B(n, p) car c’est la somme de n variables aléatoires
≀
≀ mutuellement indépendantes et suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p ».
≀
Exemple 3. ✎ 1 On lance un dé. Alice gagne un euro lorsqu’elle fait un résultat supérieur ou égal à 5, et rien sinon. Alice
lance 5 fois le dé. On note G son gain. Étudier G.
2 Un conseil d’administration valide sa décision lorsque 10 au moins des 12 membres son d’accord. Chacun des membres prend
sa décision indépendamment des autres et choisit d’accepter avec la probabilité 34 . Déterminer le nombre moyen de membres
qui acceptent, puis la probabilité que la décision soit validée.
3 On modélise le nombre annuel d’accidents d’un conducteur par une loi binomiale de paramètres n et p où p est la probabilité
d’avoir un accident à chaque utilisation et n le nombre de fois où il utilise sa voiture. Le modèle vous semble-t-il pertinent ? Le
nombre moyen d’accidents des conducteurs a été mesuré à 2, 6 et la variance à 1, 96. Déterminer les paramètres de la loi.
4 A et B sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Chaque moteur a la probabilité p de tomber en panne, et les
moteurs sont indépendants les uns des autres. Chaque avion arrive à sa destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe
en panne. En fonction de la valeur de p, quel avion est-il le plus judicieux de choisir ?
3. Lois usuelles discrètes infinies
3.1 Loi géométrique
Définition 5. Soit p ∈ [0; 1]. Une variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p si X(Ω) = N∗ et si,
pour tout k ∈ N∗ , on a P(X = k) = p(1 − p)k−1 . On note alors X ֒→ G(p).
Proposition 5.« Paramètres d’une loi géométrique »
Soit p ∈ [0; 1] et X ֒→ G(p). On a alors E(X) =
1
1−p
et V (X) =
p
p2
Démonstration. ✎ Pour vérifier qu’on a bien une probabilité, calculer l’espérance et la variance, il faut utiliser, dans l’ordre,
les trois résultats sur les séries géométriques.
Méthode 6.
≀ Les variables aléatoires qui décrivent un temps d’attente avant le premier succès, lorsqu’on répète une expérience à
≀
≀ l’identique et de manière indépendante , suivent une loi géométrique. Pour justifier son utilisation, on peut rédiger ainsi :
≀
≀
≀ « On appelle succès l’événement .... X est la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers nécessaires pour
≀
≀ obtenir le premier succès en répétant indépendamment l’expérience de Bernoulli associée ».
≀
Exemple 4. ✎ 1 Bob jette un dé jusqu’à obtenir un résultat supérieur ou égal à 5. On note N le nombre de lancers nécessaires.
Étudier N . Quelle est la probabilité que Bob ait besoin de moins de 10 lancers pour réussir ? En moyenne, combien de lancer
doit-il effectuer pour réussir ?
2 On modélise le nombre de secondes nécessaires à la désintégration d’une particule radioactive par une loi géométrique de
paramètre p. Montrer que P(X > t1 ) = (1 − p)t1 , puis montrer que PX>t1 (X > t1 + d) = P(X > d). Interpréter.
3 On jette cinq dés équilibrés. Après le premier lancer, on reprend et on relance les dés qui n’ont pas donné d’as, jusqu’à ce
qu’on obtienne cinq as. Soit X le nombre de lancers nécessaires.
Calculer P(X 6 k) puis P(X = k) pour tout k ∈ N∗ . Combien de lancers seront nécessaires en moyenne ?
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3.2 Loi de Poisson
Définition 6. Soit λ ∈ R∗+ . Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ si X(Ω) = N et si, pour
λk −λ
e . On note alors X ֒→ P(λ).
tout k ∈ N, on a P(X = k) =
k!
Proposition 6.« Paramètres d’une loi exponentielle »
Soit p ∈ [0; 1] et X ֒→ P(λ). On a alors E(X) = λ et V (X) = λ.
Démonstration. ✎ Se servir des séries exponentielles et de simplification sur les factorielles.
Méthode 7.
≀ La loi de Poisson a parfois été appelée loi des événements rares, pour ses applications classiques à la modélisation de
≀
≀ phénomènes rares. Pas de cas typique ni de justification : cette loi sera toujours introduite par l’énoncé.
≀
Exemple 5. ✎ 1 Soit p = 0.1% la proportion des patients qui font une réaction allergique à la prise d’un médicament. On
donne ce médicament à un grand nombre (n = 1000) de patients.
(a) Quelle loi le nombre N de patients faisant une réaction allergique suit-elle ? Donner une expression de la probabilité que N
soit inférieur ou égal à 3.
(b) Afin de simplifier les calculs, on cherche à approcher N par une variable aléatoire N ′ suivant une loi de Poisson. Comment
choisir le paramètre ? Calculer alors P (N 6 3). Commenter.
2 Chaque jour un vendeur d’un journal local a X acheteurs. On admet que X suit une loi de Poisson de paramètre 8. Le
bénéfice de chaque vente est de un euro.
(a) Quelle est la recette moyenne ?
(b) En fait le marchand n’a en stock que 10 exemplaires du journal. Exprimer P (X > 10) puis la nouvelle recette moyenne.
Bilan du chapitre 12
Objectifs prioritaires
1
Connaître la définition de toutes les lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Connaître les formules d’espérance et de variance de toutes les lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Connaître le cadre d’application de toues les lois usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Connaître la rédaction pour justifier qu’une variable aléatoire suit une loi usuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Vérifier que la somme des probabilités vaut bien un pour toutes les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objectifs secondaires
1
Démontrer les formules de l’espérance pour les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Savoir se ramener à une loi usuelle via des opérations simples sur les variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approfondissements
Démontrer les formules de variance pour les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.franck-madigou.fr
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TD du chapitre 12
Exercice 1.
Une étude statistique sur le sexe des bébés a montré que sur 100 naissances, 52 bébés sont des garçons et 48 sont des filles. On
suppose que les évènements "accoucher d’un garçon" et "accoucher d’une fille" sont indépendants. Virginie a eu 4 bébés.
1
2
Calculer la probabilité que Virginie ait :
(b) un seul garçon.
(a) autant de garçons que de filles. a
(c) un seul garçon sachant que son premier bébé est une fille.
(d) un seul garçon sachant que son premier bébé est un garçon.
(e) un seul garçon sachant que son deuxième bébé est une fille.
On suppose que Virginie a eu 2 garçons et 2 filles et que son premier bébé est une fille. Calculer la probabilité pour que :
(b) le dernier bébé soit une fille.a
(c) le dernier bébé soit un garçon.
(a) le deuxième bébé soit une fille.a
Le fait que premier bébé de Virginie soit une fille est-il indépendant du fait que Virginie ait exactement 2 garçons ?
Exercice 2.
Bob et Joe lance chacun n fois une pièce truquée et comptent le nombre de Pile qu’ils obtiennent. Exprimer sous la forme
d’une somme (qu’on ne cherchera ni à calculer ni à simplifier) la probabilité qu’ils en aient fait le même nombre.
Exercice 3.
Un péage comporte 10 guichets numérotés de 1 à 10. Le nombre N de voitures arrivant au péage en une heure suit une loi
de Poisson de paramètre λ > 0. On suppose que les conducteurs choisissent leur file au hasard, indépendamment les uns des
autres. On note X1 le nombre de voitures arrivant au guichet 1 en une heure.
1
Donner E(N ) et interpréter la valeur λ.
2
Avec quelle probabilité une voiture arrivant au péage va-t-elle au guichet 1 ?
3
Calculer P(N =n) (X1 = k) pour tout k ∈ J0 ; nK puis pour k > n.
4
Montrer que P(X1 = k) =
+∞
X
P(N =n) (X1 = k)P(N = n) = e
−λ
n=k
5
+∞
1 k λk X 9 n λn
( )
( )
10 k! n=0 10 n!
Déduire la loi de X1 , son espérance et sa variance.
Exercice 4.
Une urne contient des boules blanches et noires. On suppose que la probabilité de piocher une blanche vaut p ∈]0, 1[. On
effectue des tirages successifs avec remise.
Soit X1 la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule blanche.
1
2
Reconnaître la loi de X1 et donner la valeur de E(X1 ) et de V (X1 ).
Soit X2 la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la deuxième boule blanche.
Déterminer la loi de X2 ainsi que son espérance.
Exercice 5.
On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l’expérience aléatoire suivante :
⋆ On commence par piocher des boules de l’urne une à une avec remise jusqu’à obtenir la boule noire (que l’on remet aussi
dans l’urne).
On définit la variable aléatoire N égale au nombre de tirages avec remise nécessaires pour obtenir la boule noire.
⋆ Puis, si N prend une valeur entière positive non nulle notée n, on réalise alors une seconde série de n tirages dans l’urne,
toujours avec remise.On définit la variable aléatoire X égale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans cette
seconde série de tirages.
1
Déterminer la loi de la variable aléatoire N. Donner son espérance.
2
Soit k ∈ N et n ∈ N∗ . Déterminer la probabilité conditionnelle P(N =n) (X = k).
3
Vérifier : P(X = 0) =
Montrer : ∀k ∈ N∗ ,
4
+∞
P
4
. On admet que l’égalité
9
n=k
k
25 4
.
P(X = k) =
36 9
n
k
xn =
xk
est valable pour x ∈] − 1, 1[ et k ∈ N.
(1 − x)k+1
Montrer que X admet une espérance E(X) et calculer E(X).
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Exercice 6.
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < 1 et 0 < b < 1.
On effectue une suite d’expérience aléatoires consistant à jeter simultanément deux pièces de monnaie notées A et B. On
suppose que ces expériences sont indépendantes et qu’à chaque expérience les résultats des deux pièces sont indépendants. On
suppose que, lors d’une expérience, la probabilité que A donne "pile" est a, et que la probabilité que B donne "pile" est b.
Soit X le nombre d’expériences qu’il faut réaliser avant que A donne "face" pour la première fois, et Y le nombre d’expériences
qu’il faut réaliser avant que B donne "face" pour la première fois.
1
Quelles sont les lois de probabilités de X et de Y ? Calculer E(X).
2
Calculer la probabilité de l’évènement (X = Y ). Interprétation.
3
Trouver, pour k ∈ N, la valeur de P(X > k). En déduire les probabilités P(X > Y ) et P(X > Y ). Interprétation.
Exercice 7.
On suppose que le nombre N de colis expédiés à l’étranger chaque jour par une entreprise suit une loi de Poisson de paramètre
λ. Ces colis sont expédiés indépendamment les uns des autres.
La probabilité pour qu’un colis expédié à l’étranger soit détérioré est égale à t.
On s’intéresse aux colis expédiés à l’étranger un jour donné :
N est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés ; X est la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés ;
Y est la variable aléatoire égale au nombre de colis en bon état. On a donc : X + Y = N.
1
Calculer, pour tout n, k ∈ N, la probabilité conditionnelle suivante : P(N =n) (X = k).
2
En déduire que X suit la loi de Poisson P(λt).
3
En suivant une méthode similaire à X, déterminer la loi de Y .
4
Les variables X et Y sont-elles, à priori et sans calcul, indépendantes ?
5
Calculer la probabilité P((X = k) ∩ (Y = l)) et P(X = k)P(Y = l). Conclusion
Exercice 8. EML 2010
Une gare dispose de deux guichets. Trois clients notés C1 , C2 , C3 arrivent en même temps. Les clients C1 et C2 se font servir
tandis que le client C3 attend puis effectue son opération dès que l’un des deux guichets se libère.
On définit X1 , X2 , X3 les variables aléatoires égales à la durée de l’opération des clients C1 , C2 ,. C3 respectivement. Ces durées
sont mesurées en minutes et arrondies à l’unité supérieure ou égale. On suppose que les variables aléatoires X1 , X2 , X3 suivent
la loi géométrique de paramètre p, p ∈ ]0; 1[ et qu’elles sont indépendantes. On note q = 1 − p.
On note A l’événement, : « C3 termine en dernier son opération ».
Ainsi A est égal à l’événement : (min (X1 , X2 ) + X3 ) > max (X1 , X2 ) . On se propose de calculer la probabilité de A.
1
Rappeler la loi de X1 ainsi que son espérance E (X1 ) et sa variance V (X1 ). On définit la variable aléatoire ∆ par
∆ = |X1 − X2 |.
2
Calculer la probabilité P (∆ = 0).
3
Soit n un entier naturel non nul.
(a) Justifier : P (X1 − X2 = n) =
+∞
X
P (X2 = k) P (X1 = n + k)
k=1
n
(b) En déduire : P (∆ = n) = 2
4
5
6
pq
1+q
(a) Montrer que ∆ admet une espérance E (∆) et la calculer.
2
(b) Montrer : E (X1 − X2 ) = 2V (X1 ). En déduire que ∆ admet une variance V (∆) et la calculer.
Montrer que l’événement A est égal à l’événement (X3 > ∆).
(a) En déduire : P (A) =
+∞
X
P (∆ = k) P (X3 > k)
k=0
(b) Exprimer P (A) à l’aide de p et q.
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