Calcul différentiel - Département Mathématiques Mécanique et

Calcul diff´erentiel
A. Ninet
Septembre 2007

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Table des mati`eres
1 Fonctions convexes 7
1.1 D´efinition et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Caract´erisations de la convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Applications de la convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 In´egalit´e de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 In´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 In´egalit´e de H¨ older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 In´egalit´e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.5 In´egalit´e de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Applications diff´erentiables 21
2.1 Rappels et compl´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Diff´erentiabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Notion de diff´erentiabilit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Diff´erentiabilit´e sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Cas des espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1 Fonctions `a valeurs dans un espace produit . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Fonctions d´efinies sur un espace produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.3 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Accroissements finis et Taylor 37
3.1 Egalit´e des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 In´egalit´e des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Fonction d´efinie sur un intervalle de R.................... 38
3.2.2 Fonction d´efinie sur un ouvert de E..................... 39
3.2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Diff´erentiabilit´e et diff´erentiabilit´e partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Diff´erentielle seconde d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.2 Diff´erentielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.1 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.2 Formule de Taylor avec reste integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.3 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Extremum d’une fonction num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6.1 Extremum relatif d’une fonction num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6.2 Cas E=Rn................................... 51
3.6.3 Extremum li´e d’une fonction num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3

4TABLE DES MATI ` ERES
4 T.I.L. et T.F.I. 57
4.1 Notion de diff´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Diff´erentiabilit´e de la “r´eciprocation” des isomorphismes . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Th´eor`eme d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 El´ements d’´etude locale de surfaces de R373
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Rappels sur les plans et droites de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Surface de R3d´efinie comme un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Plan tangent `a Sen un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 Vecteur normal, droite normale `a Sen M0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.3 Position de la surface Spar rapport au plan tangent en M0. . . . . . . . 77
5.4 Surface d´efinie par une ´equation cart´esienne implicite . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5 Surface de R3d´efinie par une repr´esentation param´etrique . . . . . . . . . . . . . 79

Introduction
Ce document correspond au cours de L3 Math´ematiques de calcul diff´erentiel donn´e `a Reims de
2005 `a 2008.
Il fut inspir´e par le cours de T. Raoux de calcul diff´erentiel, ainsi que par les ouvrages cit´es dans
la bibliographie.
Il est disponible sur le bureau virtuel de l’URCA :
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