mth1101: linéarité locale et differentielle

Draft
MTH1101: LIN´ EARIT´ E LOCALE ET DIFFERENTIELLE
Les plans tangents
Approximation du premier degr´e
Diff´erentiabilit´e
Diff´erentielle
MTH1101: LIN´ EARIT´ E LOCALE ET DIFFERENTIELLE
Issmail El Hallaoui
Polytechnique Montr´eal,
D´epartement de Math´ematiques et de G´enie Industriel
October 26, 2016
Issmail El Hallaoui MTH1101: LIN´ EARIT´ E LOCALE ET DIFFERENTIELLE

Draft
MTH1101: LIN´ EARIT´ E LOCALE ET DIFFERENTIELLE
Les plans tangents
Approximation du premier degr´e
Diff´erentiabilit´e
Diff´erentielle
1Les plans tangents
2Approximation du premier degr´e
3Diff´erentiabilit´e
4Diff´erentielle
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Les plans tangents
Approximation du premier degr´e
Diff´erentiabilit´e
Diff´erentielle
Rappel: soit fune fonction `a une variable. Quel le est la tangente de fau
point a?
y=f(a) + f0(a)(x−a)
Plans tangents d’une fonction `a deux variables
Soit fune fonction dont les d´eriv´ees partielles sont continues (f est
diff´erentiable). Une ´equation du plan tangent `a la surface z=f(x,y) au point
P(a,b,f(a,b)) est
z=f(a,b) + f0
x(a,b)(x−a) + f0 y(a,b)(y−b)
Plans tangents d’une fonction `a 3 variables
Soit fune fonction diff´erentiable. Une ´equation du plan tangent `a la surface
w=f(x,y,z) au point P(a,b,c,f(a,b,c)) est
w=f(a,b,c) + f0
x(a,b,c)(x−a) + f0 y(a,b,c)(y−b) + f0 z(a,b,c)(z−c)
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Les plans tangents
Approximation du premier degr´e
Diff´erentiabilit´e
Diff´erentielle
Rappel Soit f une fonction `a une variable.
Quelle est la fonction lin´eaire (ou polynˆome) qui approxime fautour de a?
R´eponse: T1(x) = f(a) + f0(a)(x−a)
Lin´earisation et approximation lin´eaire d’une fonction `a deux variables
La fonction du premier degr´e dont la repr´esentation graphique est le plan
tangent `a fau point P(a,b,f(a,b)) est :
L(x,y) = f(a,b) + f0
x(a,b)(x−a) + f0 y(a,b)(y−b),
est appel´ee la lin´earisation de fen (a,b)et l’approximation
f(x,y)≈f(a,b) + f0
x(a,b)(x−a) + f0 y(a,b)(y−b)
est appel´ee l’approximation lin´eaire de fen (a,b)
Attention: cette approximation lin´eaire peut ˆetre tr`es mauvaise bien que f0
xet
f0
yexistent. Pour ce faire, il faut faire recours `a la notion de diff´erentiabilit´e.
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Les plans tangents
Approximation du premier degr´e
Diff´erentiabilit´e
Diff´erentielle
Rappel : soit f une fonction `a une variable. Lorsque xpasse de a`a a+ ∆a,
l’accroissement de yest d´efini par ∆y=f(a+ ∆a)−f(a)
D´efinition de la diff´erentiabilit´e pour les fonctions de deux variables
Si z=f(x,y), alors fest diff´erentiable en (a,b) si ∆zpeut ˆetre ´ecrit sous la
forme:
∆z=f0
x(a,b)∆x+f0 y(a,b)∆y+1∆x+2∆y,
o`u 1et 2→0 lorsque (∆x,∆y)→(0,0)
Th´eor`eme
Si les d´eriv´ees partielles f 0
xet f 0 yexistent `a proximit´e de (a,b)et sont continues
en (a,b), alors f est diff´erentiable en (a,b).
Exemple : D´emontrez que f(x,y) = xexy est diff´erentiable en (1,0) et
d´eterminez sa lin´earit´e en ce point. Utilisez-la pour estimer la valeur de
f(1.1,−0.1)
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