mth1101: linéarité locale et differentielle
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Dr aft MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Les plans tangents Approximation du premier degré Différentiabilité Différentielle MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Issmail El Hallaoui Polytechnique Montréal, Département de Mathématiques et de Génie Industriel October 26, 2016 Issmail El Hallaoui MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Dr aft MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Les plans tangents Approximation du premier degré Différentiabilité Différentielle 1 Les plans tangents 2 Approximation du premier degré 3 Différentiabilité 4 Différentielle Issmail El Hallaoui MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Les plans tangents Approximation du premier degré Différentiabilité Différentielle Dr aft Rappel: soit f une fonction à une variable. Quel le est la tangente de f au point a? y = f (a) + f 0 (a)(x − a) Plans tangents d’une fonction à deux variables Soit f une fonction dont les dérivées partielles sont continues (f est différentiable). Une équation du plan tangent à la surface z = f (x, y ) au point P(a, b, f (a, b)) est z = f (a, b) + fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b) Plans tangents d’une fonction à 3 variables Soit f une fonction différentiable. Une équation du plan tangent à la surface w = f (x, y , z) au point P(a, b, c, f (a, b, c)) est w = f (a, b, c) + fx0 (a, b, c)(x − a) + fy0 (a, b, c)(y − b) + fz0 (a, b, c)(z − c) Issmail El Hallaoui MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Les plans tangents Approximation du premier degré Différentiabilité Différentielle Dr aft Rappel Soit f une fonction à une variable. Quelle est la fonction linéaire (ou polynôme) qui approxime f autour de a? Réponse: T1 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) Linéarisation et approximation linéaire d’une fonction à deux variables La fonction du premier degré dont la représentation graphique est le plan tangent à f au point P(a, b, f (a, b)) est : L(x, y ) = f (a, b) + fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b), est appelée la linéarisation de f en (a, b) et l’approximation f (x, y ) ≈ f (a, b) + fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b) est appelée l’approximation linéaire de f en (a, b) Attention: cette approximation linéaire peut être très mauvaise bien que fx0 et fy0 existent. Pour ce faire, il faut faire recours à la notion de différentiabilité. Issmail El Hallaoui MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Les plans tangents Approximation du premier degré Différentiabilité Différentielle Dr aft Rappel : soit f une fonction à une variable. Lorsque x passe de a à a + ∆a, l’accroissement de y est défini par ∆y = f (a + ∆a) − f (a) Définition de la différentiabilité pour les fonctions de deux variables Si z = f (x, y ), alors f est différentiable en (a, b) si ∆z peut être écrit sous la forme: ∆z = fx0 (a, b)∆x + fy0 (a, b)∆y + 1 ∆x + 2 ∆y , où 1 et 2 → 0 lorsque (∆x, ∆y ) → (0, 0) Théorème Si les dérivées partielles fx0 et fy0 existent à proximité de (a, b) et sont continues en (a, b), alors f est différentiable en (a, b). Exemple : Démontrez que f (x, y ) = xe xy est différentiable en (1, 0) et déterminez sa linéarité en ce point. Utilisez-la pour estimer la valeur de f (1.1, −0.1) Issmail El Hallaoui MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE Les plans tangents Approximation du premier degré Différentiabilité Différentielle Dr aft Rappel: soit la fonction y = f (x). La différentielle de y est définie par dy = f 0 (x)dx où dy et dx sont des variables appelées différentielles. Ces variables peuvent prendre n’importe quelle valeur (dy est une approximation de ∆y ) Définition de la différentielle pour les fonctions de deux variables Soit z = f (x, y ) et soient ∆x et ∆y les accroissements respectifs de x et y . Les différentielles dx et dy des variables indépendantes x et y sont dx = ∆x et dy = ∆y La différentielle dz de la variable dépendante z est dz = fx0 (x, y )dx + fy0 (x, y )dy = ∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y Exemple : Le rayon d’un cyclindre circulaire droit mesure 8cm et sa hauteur 20cm, mesures précises à plus/moins 0.1cm près. Estimer par la différentielle l’erreur dont peut être affecté le volume calculé. Exercice : Quelle est l’expression de dz pour z = f (x, y ) = x 2 + 3xy − y 2 . Comparer dz et ∆z si x passe de 2 à 2.05 et y de 3 à 2.96 Issmail El Hallaoui MTH1101: LINÉARITÉ LOCALE ET DIFFERENTIELLE
