Ch9: Différentielles d`ordre supérieur - IMJ-PRG

Chapitre 9
Diff´erentielles d’ordre sup´erieur
9.1 Espaces d’applications lin´eaires continues
Si Eet Fsontdes espaces vectoriels norm´es (sur K´egal `a Rou C), on rappelle que
L(E,F)est l’espace des applications lin´eaires continues de Edans F.Cet espace est
norm´epar N(f)=sup||x||≤1||f(x)||.
Remarque 9.1.1.Autres expression de la norme :
N(u)=sup
||x||=1
||u(x)|| =supx6=0E
||u(x)||
||x|| .
Si E1,E2et Fsontdes espacesvectoriels norm´es. On note L(E1,E2;F)l’espace des
applications bilin´eaires continues de E1×E2dans F.
Proposition 9.1.2. L’espaceL(E1,E2;F)est norm´epar :
N(v)=sup
||x1||≤1
||x2||≤1
||v(x1,x2)|| .
Pour v∈L(E1,E2;F), on d´efinit Φ(v):E1→L(E2,F), par :
Φ(v)(x1)(x2)=v(x1,x2).
Proposition 9.1.3. L’application Φest un isomorphisme entreles espaces L(E1,E2;F)
et L(E1,L(E2,F).De plus Φrespecte la norme :c’est une isom´etrie.
9.2 Diff´erentielles d’ordre deux
Soit f:U→Fune application diff´erentiable sur U,ouvert de E(Eet Fsontdes
espaces vectoriels norm´es).
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On adonc une application df:U→L(E,F). Si dfest diff´erentiable en a,alors :
d(df)aappartient`a L(E,L(E,F). Notons Ψ:L(E,L(E,F)→L(E,E;F)l’isomor-
phisme r´eciproque de l’application Φde la proposition 9.1.
D´efinition 9.2.1. On dit que fest deux fois diff´erentiable en asi et seulementsi df
est diff´erentiable en a.On appelle alors diff´erentielle d’ordre 2en al’application :
d2fa=Ψ(d(df)a)∈L(E,E;F).
Th´eor`eme 9.2.2 (Schwarz).Si fest deux fois diff´erentiable en a,alors l’application
d2faest sym´etrique :
∀(h, k)∈E2,d2fa(k,h)=d2fa(k,h).
Remarque 9.2.3.On peut poursuivre etd´efinir dnfa∈Ln(E;F)o`u, pour n≥1,
Ln(E;F)≈L(E,Ln−1(E,F)est l’espace des applications n-lin´eaires continues de E
dans F.
Remarque 9.2.4.Le th´eor`eme sur les diff´erentielles partielles permet aussi de traiter les
diff´erentielles d’ordre sup´erieur :si les djdifaexistentet sontcontinues en a,alors fest
deux fois diff´erentiable en a.
9.3 Matrice hessienne
On traite ici le cas de f:U→Kavec Uouvert de Kn.On suppose que fest
diff´erentiable sur U.On aalors l’application df:U→L(Kn,K)≈L(K,K)nqui est
d´efinie par ses composantes dif:U→L(K,K), et dfi(hi)=Ä∂f
∂xiäahi.La matrice
jacobienne de dfen aapour coefficientlesÇ∂(∂f
∂xi)
∂xjåa
,1≤i≤n,1≤j≤mnot´es :
∂2f
∂xjxia.
D´efinition 9.3.1. On appelle matrice hessienne de fen a,la matrice des d´eriv´ees
secondes :
H(f)a= Ç∂2f
∂xjxiåa!1≤i≤n
1≤j≤m
.
C’est la matrice (dans la base canonique) de la diff´erentielle d’ordre 2:d2fa.
Remarque 9.3.2.Lorsque fest deux fois diff´erentiable en a,alors le th´eor`eme de Schwarz
montre que cette matrice est sym´etrique.
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9.4 Formule de Taylor-Young
Lemme 9.4.1. Soit :φ:V→Fune application diff´erentiable d’un voisinage de 0Ede
l’espacevectoriel norm´eEvers l’espacevectoriel norm´eF.Si la norme N(dφh)est un
o(||h||n,n≥0,alors :
||φ(h)−φ(0)|| =o(||h||n+1).
Th´eor`eme 9.4.2 (Taylor-Young).Soit f:U→Fune application deux fois
diff´erentiable en a∈U.On a:
f(a+h)=f(a)+dfa(h)+1
2d2fa(h, h)+o(||h||2).
Remarque 9.4.3.On se contentera dans ce cours d’un ´enonc´e`a l’ordre 2. On abien sˆur
un ´enonc´eidentique `a l’ordre n.
9.5 Points critiques, extrema simples
Soit f:U→R.Ici Uest un ouvert de Rn.
D´efinition 9.5.1. Un pointa∈Uest critique si et seulementsi la diff´erentielle de f
est nulle en a.
D´efinition 9.5.2. On dit que faun maximum local en a(resp. un maximum local
strict) si et seulementsi s’il existe un voisinage Wde atel que :
∀x∈W,f(x)≤f(a)resp. ∀x∈W−{a},f(x)<f(a).
On dit que faun minimum local en a(resp. un minimum local strict) si et seulement
si s’il existe un voisinage Wde atel que :
∀x∈W,f(x)≥f(a)resp. ∀x∈W−{a},f(x)>f(a).
Proposition 9.5.3. Si fest diff´erentiable en aet admet un extremum (maximum ou
minimum) local en a,alors aest un point critique.
La condition n’est pas suffisante. La diff´erentielle seconde vapermettre de pr´eciser.
En effet, si fest deux fois diff´erentiable en un pointcritique a,alors :
f(a+h)=f(a)+d2fa(h, h)+o(||h||2).
Lemme 9.5.4. Si fest deux fois diff´erentiable en un point critique a,et d2f(v,v)>0,
alors pour t6=0assez petit :
f(a+tv)>f(a).
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Th´eor`eme 9.5.5. Soit f:U→Rune application deux fois diff´erentiable en un point
critique a.
a) Si la matricehessienne H(f)aatoutes ses valeurs propres strictement positives (d2fa
est d´efinie positive), alors faun maximum local strict en a.
b) Si la matricehessienne H(f)aatoutes ses valeurs propres strictement n´egatives (d2fa
est d´efinie n´egative), alors faun minimum local strict en a.
c) Si faau moins une valeur proprestrictement positive et une valeur proprestrictement
n´egative, alors fn’a pas d’extremum en a:aest un point selle.
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