Master 1 Mathématiques Calcul différentiel et intégral sur des

Master 1 Mathématiques
Calcul différentiel et intégral sur des variétés
Nicolas Louvet et Tilmann Wurzbacher
Examen Juin 2007 : Durée 3 heures
Aucun document n’est admis. — La couleur rouge est réservée à la correction.
I. “Atlas, variétés et difféomorphismes”
Soit (M, T ) un espace topologique et {Uα | α ∈ A} un recouvrement ouvert de M . Si pour
chaque α il existe une application φα : Uα → Rm telle que φα est un homéomorphisme sur
son image φα (Uα ), on appelle la famille A = {(Uα , φα ) | α ∈ A} un “atlas topologique” sur
M.
(I.a) Question de cours: Donner la définition d’un “atlas différentiable”.
(I.b) Soient M = M at(n × n, R) et G = GL(n, R) = {M ∈ M | M est inversible}.
Pourquoi est-ce que G est ouvert dans M?
P∞
(I.c) Posons Ψ = exp : M → G, M 7→ eM = k=0 (1/k!)M k . Montrer que Ψ est biendefinie (c’est-à-dire Ψ(M ) ∈ G pour tout M ) et différentiable.
(I.d) Montrer que la différentielle (DΨ)0 est égale à IdM .
(I.e) En déduire qu’il existe des voisinages ouverts V de 0 dans M et U de In (matrice
unitaire de taille n) dans G tels que Ψ|V : V → U est un difféomorphisme.
(I.f ) Soit B dans G. Montrer que LB : M → M, M 7→ B · M est un difféomorphisme.
(I.g) Soient B dans G, ΨB = LB ◦ Ψ et UB = LB (U ) ⊂ G. Montrer que ΨB : V → UB
est un difféomorphisme.
Posons ΦB = Ψ−1
B : UB → V .
(I.h) Soient B1 , B2 ∈ G et UB1 ∩ UB1 non-vide. Déduire de (I.g) que
ΦB1 ◦ Φ−1
B2 : ΦB2 (UB1 ∩ UB2 ) → ΦB1 (UB1 ∩ UB2 )
est de classe C ∞ .
(I.i) Expliquer pourquoi A = {(UB , ΦB ) | B ∈ G} est un atlas différentiable pour G.
II. “Champs de vecteurs et leurs flots”
(II.a) Soient M une variété et X un champ de vecteurs sur M . Donner la définition du
“flot de X”.
1 0
2
(II.b) Soit M = R , A =
et XA le champ linéaire associé à la matrice A:
0 −1
2
X
∂ XA (x) =
aij xj
.
∂x
x
i
i,j=1
1
XA
Calculer le flot φA
de XA .
t := φt
(II.c) Calculer LXA (dx1 ).
(II.d) Calculer LXA (Ω), où Ω = dx1 ∧ dx2 .
d
∗
[Indication: Rappelons que (LX ω)p = dt
((φX
t ) ω)p .]
t=0
III. “Une algèbre commutative”
(III.a) Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et t ∈ Λk E ∗ , s ∈ Λl E ∗ . Donner
la définition de s ∧ t.
(III.b) Soient M une variété différentiable et ω une k-forme, ainsi que η une l-forme sur
M . Donner la définition de ω ∧ η.
(III.c) Montrer que A := ⊕j≥0 E 2j (M ) avec l’addition habituelle et la multiplication
donnée par “∧” est une R-algèbre commutative. [Indication: vous pouvez ici utiliser -sans
démonstration- les propriétés de ∧ dans Λ∗ E ∗ pour E un espace vectoriel réel de dimension
finie.]
IV. “Le théorème de Stokes”
Soient M une variété différentiable orientée de dimension m, D ⊂ M un domaine régulier
(i.e. D est ouvert et ∂D est soit vide soit une sous-variété orientée de codimension un dans
M ) et ω une (m−1)-forme “à support compact dans M ”.
(IV.a) Donner la définition du “support d’une forme différentielle”.
Rappelons l’énoncé du théorème de Stokes:
Z
Z
dω =
j ∗ ω , où j : ∂D → M est l’injection canonique.
D
∂D
(IV.b) Soient V ouvert dans Rk Ret η = f (u)du1 ∧ ... ∧ duk une k-forme à support compact
dans V . Donner la définition de V η.
(IV.c) Soient M = Rm , D = {x ∈ M | x1 < 0} et ω une (m−1)-forme à support compact
dans M .
Montrer les points suivants (i.e. montrer Stokes dans ce cas):
(i) Donner la forme générale de ω.
(ii) Calculer dω.
R
(iii) Donner D dω et simplifier en utilisant le fait qu’il existe R > 0 tel que supp(dω) ⊂
[−R, R]m et le théoréme fondamental du calcul intégral dans une variable.
(iv) CalculerR j ∗ ω sur ∂D = {0} × RRm−1 ∼
= Rm−1 .
∗
(v) Donner ∂D j ω et comparer à D dω.
2