Master 1 Mathématiques Calcul différentiel et intégral sur des

Master 1 Math´ematiques
Calcul diff´erentiel et int´egral sur des vari´et´es
Nicolas Louvet et Tilmann Wurzbacher
Examen Juin 2007 : Dur´ee 3 heures
Aucun document n’est admis. — La couleur rouge est r´eserv´ee `a la correction.
I. “Atlas, vari´et´es et diff´eomorphismes”
Soit (M, T) un espace topologique et {Uα|α∈A}un recouvrement ouvert de M. Si pour
chaque αil existe une application φα:Uα→Rmtelle que φαest un hom´eomorphisme sur
son image φα(Uα), on appelle la famille A={(Uα, φα)|α∈A}un “atlas topologique” sur
M.
(I.a) Question de cours: Donner la d´efinition d’un “atlas diff´erentiable”.
(I.b) Soient M=M at(n×n, R) et G=GL(n, R) = {M∈ M | Mest inversible}.
Pourquoi est-ce que Gest ouvert dans M?
(I.c) Posons Ψ = exp : M → G, M 7→ eM=P∞
k=0 (1/k!)Mk. Montrer que Ψ est bien-
definie (c’est-`a-dire Ψ(M)∈Gpour tout M) et diff´erentiable.
(I.d) Montrer que la diff´erentielle (DΨ)0est ´egale `a IdM.
(I.e) En d´eduire qu’il existe des voisinages ouverts Vde 0 dans Met Ude In(matrice
unitaire de taille n) dans Gtels que Ψ|V:V→Uest un diff´eomorphisme.
(I.f) Soit Bdans G. Montrer que LB:M → M, M 7→ B·Mest un diff´eomorphisme.
(I.g) Soient Bdans G, ΨB=LB◦Ψ et UB=LB(U)⊂G. Montrer que ΨB:V→UB
est un diff´eomorphisme.
Posons ΦB= Ψ−1
B:UB→V.
(I.h) Soient B1, B2∈Get UB1∩UB1non-vide. D´eduire de (I.g) que
ΦB1◦Φ−1
B2: ΦB2(UB1∩UB2)→ΦB1(UB1∩UB2)
est de classe C∞.
(I.i) Expliquer pourquoi A={(UB,ΦB)|B∈G}est un atlas diff´erentiable pour G.
II. “Champs de vecteurs et leurs flots”
(II.a) Soient Mune vari´et´e et Xun champ de vecteurs sur M. Donner la d´efinition du
“flot de X”.
(II.b) Soit M=R2,A=1 0
0−1et XAle champ lin´eaire associ´e `a la matrice A:
XA(x) =
2
X
i,j=1
aij xj
∂
∂xi
x.
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Calculer le flot φA
t:= φXA tde XA.
(II.c) Calculer LXA(dx1).
(II.d) Calculer LXA(Ω), o`u Ω = dx1∧dx2.
[Indication: Rappelons que (LXω)p=d
dt 
t=0((φX
t)∗ω)p.]
III. “Une alg`ebre commutative”
(III.a) Soient Eun espace vectoriel r´eel de dimension finie et t∈ΛkE∗,s∈ΛlE∗. Donner
la d´efinition de s∧t.
(III.b) Soient Mune vari´et´e diff´erentiable et ωune k-forme, ainsi que ηune l-forme sur
M. Donner la d´efinition de ω∧η.
(III.c) Montrer que A:= ⊕j≥0E2j(M) avec l’addition habituelle et la multiplication
donn´ee par “∧” est une R-alg`ebre commutative. [Indication: vous pouvez ici utiliser -sans
d´emonstration- les propri´et´es de ∧dans Λ∗E∗pour Eun espace vectoriel r´eel de dimension
finie.]
IV. “Le th´eor`eme de Stokes”
Soient Mune vari´et´e diff´erentiable orient´ee de dimension m,D⊂Mun domaine r´egulier
(i.e. Dest ouvert et ∂D est soit vide soit une sous-vari´et´e orient´ee de codimension un dans
M) et ωune (m−1)-forme “`a support compact dans M”.
(IV.a) Donner la d´efinition du “support d’une forme diff´erentielle”.
Rappelons l’´enonc´e du th´eor`eme de Stokes:
ZD
dω =Z∂D j∗ω , o`u j:∂D →Mest l’injection canonique.
(IV.b) Soient Vouvert dans Rket η=f(u)du1∧... ∧dukune k-forme `a support compact
dans V. Donner la d´efinition de RVη.
(IV.c) Soient M=Rm,D={x∈M|x1<0}et ωune (m−1)-forme `a support compact
dans M.
Montrer les points suivants (i.e. montrer Stokes dans ce cas):
(i) Donner la forme g´en´erale de ω.
(ii) Calculer dω.
(iii) Donner RDdω et simplifier en utilisant le fait qu’il existe R > 0 tel que supp(dω)⊂
[−R, R]met le th´eor´eme fondamental du calcul int´egral dans une variable.
(iv) Calculer j∗ωsur ∂D ={0} × Rm−1∼
=Rm−1.
(v) Donner R∂D j∗ωet comparer `a RDdω.
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