Calcul différentiel et intégral sur des variétés Nicolas Louvet et

Master 1 Math´ematiques : Calcul diff´erentiel et int´egral sur des vari´et´es
Nicolas Louvet et Tilmann Wurzbacher
Examen partiel du 21 Avril 2007 : Dur´ee 2 heures
Aucun document n’est admis — La couleur rouge est r´eserv´ee `a la correction.
Les exercices [*] sont hors barˆeme.
I. “Atlas et vari´et´es”
Soit (M, T) un espace topologique et {Uα|α∈A}un recouvrement ouvert de M. Si pour
chaque αil existe une application φα:Uα→Rmtelle que φαest un hom´eomorphisme sur
son image φα(Uα), on appelle la famille A={(Uα, φα)|α∈A}un “atlas topologique” sur
M.
(I.a) Question de cours: Donner la d´efinition d’un “atlas diff´erentiable” et d’une “vari´et´e
diff´erentiable”.
(I.b) Soit maintenant M=] −2,2[ avec sa topologie habituelle et soient
φ+:U+=] −1,2[→R, φ+(x) = x3et φ−:U−=] −2,1[→R, φ−(x) = x
ainsi que A={(U+, φ+),(U−, φ−)}.
Montrer que Aest un atlas topologique et que An’est pas un atlas diff´erentiable sur M.
II. “Un exemple d’une vari´et´e quotient”
Soit Rmuni de sa structure habituelle de vari´et´e et soit
ϑ:Z×R→R,(n, x)7→ ϑ(n, x) = x+n .
Posons ϑn:R→R, ϑn(x) = ϑ(n, x).
(II.a) Montrer que pour tout n∈Z,ϑnest un diff´eomorphisme.
Soient x, y ∈R´equivalents ( x∼y) si et seulement si il existe ndans Ztel que y=x+n, et
p:R→R/∼la projection canonique. Munissons le quotient R/∼de la topologie quotient
(i.e. U⊂R/∼est ouvert ssi p−1(U) est ouvert dans R).
(II.b) Montrer que pest continue et ouverte.
(II.c) Montrer que R/∼est compacte.
(II.d) Montrer que pour tout xdans R, la projection restreinte `a Ix=]x−1
2, x +1 2[ est
bijective: p|Ix:Ix→p(Ix). En d´eduire que p|Ixest un hom´eomorphisme sur son image.
(II.e) Soit pour chaque c∈R/∼un ´el´ement x∈cchoisi. Posons Uc=p(Ix) et φc=
φc,x = (p|Ix)−1. Montrer que A:= {(Uc, φc)|c∈R/∼} est un atlas topologique.
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(*II.f) Montrer que Aest un atlas diff´erentiable.
[Indication: Soient, comme dans la d´efinition de l’atlas A,xjdans Rt.q. cj=p(xj)pour
j= 1,2. Posons U12 := Uc1∩Uc2et φ12 := φc1◦φ−1
c2:φc2(U12)→φc1(U12). Il suffit
maintenant de montrer que pour cdans U12,φ12 est diff´erentiable en c. En prenant les
uniques y1resp. y2dans Ix1resp. Ix2t.q. p(y1) = p(y2) = con pourra d’abord montrer que
sur la composante connexe de U12 contenant c,φ12 est donn´ee par ϑnpour un nappropri´e.
Ensuite l’´enonc´e suit de la partie (II.a).]
Admettons dans la partie (II.g) –sans d´emonstration– que R/∼avec l’atlas Aconstruit
est une vari´et´e diff´erentiable. Nous ne demandons donc pas de v´erifier les conditions
topologiques suppl´ementaires exig´ees d’une vari´et´e!
(*II.g) Montrer que R/∼est diff´eomorphe `a S1.
[Indication: l’application E:R→S1, E(x) = exp(2π√−1x) = (cos(2πx),sin(2πx)) in-
duit une application F:R/∼ → S1. On pourra montrer que l’application Fest un
diff´eomorphisme.]
III. “Applications altern´ees, anti-sym´etriques, ...”
Soit Eun espace vectoriel r´eel de dimension finie et t:Ek=E×...E →Rune application
k-lin´eaire (i.e. t∈ ⊗kE∗).
Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes:
(i) pour toute permutation σdans Sket toute famille v1, ..., vkdans E
t(vσ(1), ..., vσ(k)) = sign(σ)·t(v1, ..., vk);
(ii) pour toute paire d’indices (i, j) tel que i6=jet pour toute famille v1, ..., vkdans E
on a t(v1, ..., vj, ..., vi, ..., vk) = −t(v1, ..., vi, ..., vj, ..., vk);
(iii) pour toute paire d’indices (i, j) tel que i6=jet pour toute famille v1, ..., vkdans E
telle que vi=vjon a t(v1, ..., vk) = 0;
(iv) pour toute famille li´ee v1, ..., vkdans Eon a t(v1, ..., vk) = 0.
IV. “Le tangent d’une application et la matrice de Jacobi”
Soient Uresp. Vouverts dans Rmresp. Rnet F:U→Vdiff´erentiable. Soient, de plus,
p∈U,F(p) = q∈Vet
TpF:TpU→TqV
le tangent de Fdans p. Soient finalement (x1, ..., xm) et (y1, ..., yn) les coordonn´ees canon-
iques sur Rmresp. Rn, et B={∂
∂x1|p, ..., ∂ ∂xm|p}resp. C={∂ ∂y1|q, ..., ∂ ∂yn|q}les bases
naturelles de TpUresp. TqV, et
M=MatC
B(TpF)
la matrice de TpFdans ces bases. (Comme d’habitude, nous identifions -pour ejle j-i`eme
vecteur canonique de Rm- la classe [γej]pde la courbe γej(t) = p+t·ejavec ∂
∂xj|pet d’une
fa¸con analogue en q∈V⊂Rn.)
Montrer que Mest la matrice de Jacobi de l’application diff´erentiable Fau point p.
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