Mathématiques 3 - INP-HB

NB : La présentation, la propreté, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction,
la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible
les résultats de leurs calculs. L’usage des calculatrices scientifiques et de tout matériel
électronique est autorisé. Si au cours de l’épreuve le candidat repère ce qui lui semble
être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre.
Exercice :
On considère l’ensemble des matrices symétriques réelles définies positives. Soit dans
.
1) a. Montrer qu’il existe une unique matrice dans telle que .
On note les valeurs propres distinctes de
b. Montrer qu’il existe un unique polynôme , de degré inférieur ou égal à tel que :
Exprimer ce polynôme en fonction des .
c. En déduire que la matrice de , telle que , est :
d. Calculer quand
2) a. Soit , un réel strictement positif et la suite définie par la relation de
récurrence :
N
Étudier la convergence de la suite N
b. Montrer que, si et sont deux matrices symétriques réelles telles que , il
existe une matrice orthogonale telle que et soient diagonales.

3) Soit une matrice de telle que .
a. Justifier que est inversible et que est dans .
b. Soit . Montrer que et que est dans .
On définit alors la suite Nde matrices de par :
N
c. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale telle que, pour tout de N,
soit une matrice diagonale qu’on notera :
....
.
.
.
.
.......
d. Étudier la convergence de la suite Net préciser sa limite.
Problème :
Dans tout le problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1. On désigne par
C(respectivement R,Z) l’ensemble des matrices carrées à lignes et
colonnes dont les cœfficients appartiennent à C(respectivement à R, à ). La matrice identité
de taille est notée .
Soit CL’ensemble des valeurs propres de est appelé spectre de et noté .
On dit que A est d’ordre fini s’il existe N, tel que .
Si est d’ordre fini, le plus petit entier strictement positif tel que est appelé ordre
de et noté .
Partie A : préliminaires
1) Cette question consiste en des rappels de théorèmes du cours.
a. Soit R. On suppose qu’il existe R, tel que
i- Donner une condition suffisante sur pour que soit trigonalisable dans R.
ii- Donner une condition suffisante sur pour que soit diagonalisable dans R.
b. Soit C. On suppose qu’il existe C, tel que Que
deviennent les conditions précédentes lorsque l’on s’intéresse à la trigonalisation ou à
la diagonalisation de dans C?
2) Soit C, d’ordre fini. On pose .
a. Démontrer que est inversible.
b. Soit ZDémontrer que si et seulement si divise .

c. Démontrer que les valeurs propres de sont des racines -ièmes de l’unité.
d. Démontrer que est diagonalisable dans C.
3) Soit CSes valeurs propres sont notées . On suppose que est diago-
nalisable et que pour tout entier tel que , est une racine -ième de l’unité
pour un certain entier .
Pour tout entier tel que , on note le plus petit entier strictement positif tel
que
a. Démontrer que est d’ordre fini et que son ordre divise le PPCM de .
b. Démontrer que est le PPCM de .
Partie B : matrices d’ordre fini à cœfficients réels
Dans cette partie, on considère une matrice Rd’ordre fini. Le but est de démontrer
que cette matrice est diagonalisable dans Cet de déterminer le spectre de dans C
1) Démontrer que si toutes les valeurs propres de dans Csont réelles, alors
2) On suppose que 1 est la seule valeur propre de dans C.
a. Justifier qu’il existe Rinversible, et éléments de Rtels que :
b. On pose . Démontrer que est d’ordre fini.
c. Démontrer par récurrence que pour tout N:
d. En déduire que .
3) Énoncer sans démonstration un résultat semblable lorsque est la seule valeur propre
de dans C
4) On suppose que est valeur propre simple de et que 1 est valeur propre double de .
a. Justifier qu’il existe R, inversible, et éléments de Rtels que :

b. On pose .
Démontrer qu’il existe trois suites de nombres réels N,Net Ntelles
que pour tout entier naturel :
On définira ces suites à l’aide de relations de récurrence.
c. Donner une expression de pour tout
d. En déduire que
e. En déduire que et sont diagonalisables dans C.
5) Énoncer sans démonstration un résultat semblable lorsque est valeur propre double
de et 1 est valeur propre simple de .
6) On suppose que admet dans Cau moins une valeur propre non réelle.
a. Démontrer qu’il existe Q Z tel que ou
On pourra considérer le polynôme caractéristique de .
b. Démontrer que est diagonalisable dans C.
7) Soit RDémontrer que est d’ordre fini si, et seulement si, est diagonalisable
dans Cet qu’il existe Qtel que ou
Partie C : matrices d’ordre fini à cœfficients entiers
Soit Zd’ordre fini. D’après la partie B, son spectre dans Cest de la forme
ou où Q
1) Démontrer que Z. (On pourra considérer la trace de .)
2) Donner les valeurs possibles pour .
3) Donner les différents spectres dans Cpossibles pour puis démontrer que
4) On cherche maintenant à construire des matrices de Zde chaque ordre.
a. Donner des matrices de Zd’ordre 1 et 2.
b. i- Soit CCalculer le polynôme caractéristique de :
ii- Construire une matrice de Zdont les valeurs propres sont et
Démontrer que cette matrice est d’ordre 3.
iii- Construire des matrices de Zd’ordre 4 et d’ordre 6.
Fin de l’énoncé.