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CCP Maths 1 PC 2012 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florence Monna (Doctorante en mathématiques) ; il a
été relu par Nicolas Martin (ENS Lyon) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).
Le sujet porte sur la notion de diagonalisabilité d’un couple de matrices (A, B)
dans plusieurs situations. L’épreuve se divise en cinq parties largement indépendantes. Elles ont toutes trait à l’algèbre linéaire, plus particulièrement aux matrices.
Les parties I et V sont des cas particuliers, à priori plus faciles à traiter.
• La première partie est consacrée à l’étude d’un exemple en dimension 3. Elle est
très calculatoire mais ne présente pas de difficulté majeure. On utilise les notions
de matrice inversible, de spectre, de polynôme caractéristique, et il faut raisonner sur des sous-espaces vectoriels ainsi que sur leurs dimensions ou leurs bases.
• La deuxième partie est plus théorique puisqu’elle aborde le cas où la matrice B
est inversible. Précisément, il s’agit de démontrer une condition portant sur la
matrice B−1 A impliquant la diagonalisabilité du couple (A, B).
• La troisième partie concerne le cas d’un couple de matrices symétriques réelles.
On y trouve la démonstration classique de l’équivalence pour une matrice M
symétrique réelle entre les propositions « M est définie positive » et « le spectre
de M est inclus dans R∗+ ».
• La quatrième partie établit un critère de diagonalisabilité du couple (A, B) :
si A est inversible, la diagonalisabilité de (A, B) équivaut à la diagonalisabilité
de A−1 B.
• Enfin, la cinquième partie traite un cas particulier en dimension 4. Cette fois-ci,
on cherche à démontrer que le couple (A, B) n’est pas diagonalisable.
Ce sujet est plus long que ceux des années précédentes, mais se traite relativement
bien car les parties sont nettement distinctes, chacune ayant un objectif clair.
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Indications
I.3.b Expliciter l’expression de Eλ (C) pour tout λ de R pour obtenir une relation entre Eλ (B, A) et Eλ (C) puis utiliser la question I.2.c. pour l’expression
de E1/2 (A, B).
I.3.c Montrer que {u1 } est une famille génératrice de E0 (B, A) puis utiliser le
résultat de la question I.2.c. pour la dimension de E1/2 (A, B).
I.4.a Utiliser les bases des ensembles E0 (C) et E1/2 (C) trouvées à la question I.3.b.
pour prouver que les éléments de F sont des vecteurs propres de C.
II.2.b L’équivalence de la question II.2.a. permet de réécrire le polynôme χ(A,B) en
fonction de A′ et B′ .
II.3.b. Raisonner par l’absurde en supposant que (B, A) n’est pas régulier.
II.3.c Utiliser l’expression de χ(A,B) (λ) en fonction de χ(B,A) (1/λ) donnée à la question II.3.a. pour réécrire le polynôme χ(A,B) (λ).
II.3.d
• i) ⇒ ii) : cette implication a déjà été démontrée à la question II.1.a.
• ii) ⇒ iii) : on peut ici démontrer la contraposée en utilisant le fait que le
couple (B, A) est régulier d’après la question II.3.b. pour mettre χ(B,A)
sous la forme indiquée à la question II.3.c.
III.1.c i) ⇒ ii) : utiliser le résultat de la question III.1.b pour démontrer que les
valeurs propres de M sont positives.
III.2 Pour montrer que l’application est définie positive, on peut écrire avec la
question III.1.c l’égalité M = t L L et utiliser le résultat de la question III.1.b.
t
pour démontrer que si Y = LX 6= 0, alors Y Y > 0.
′
−1
III.3.c Poser pour tout i ∈ {1, . . . , n}, ei = L ei et appliquer l’équivalence de la
question III.3.a.
III.3.d Il suffit de démontrer que la matrice B−1 A est diagonalisable puis de conclure
à l’aide de la question II.4.
III.4.b Le couple (B, A − λ0 B) vérifie les conditions de la question III.3.d. et est
donc diagonalisable. Réécrire A et B en fonction des matrices diagonales auxquelles B et A − λB sont semblables.
IV.1.c Utiliser le résultat de la question IV.1.b. pour les valeurs propres non nulles
de C.
IV.2
• Dans le cas où B est inversible, on peut se servir du fait que χ(A,B) est
un polynôme de degré n d’après la question III.3.d.
• Lorsque B n’est pas inversible, utiliser le résultat de la question III.3.c.
sur le degré de χ(A,B) .
IV.3.b Utiliser les égalités d’ensembles entre les Eλ (C) et E1/λ (A, B) fournies par les
questions IV.1.a et IV.1.b.
IV.3.c D’après la question IV.3.b, C = A−1 B est diagonalisable. Ensuite penser à la
question II.4. en échangeant les rôles de A et B.
V.3.c Utiliser la question V.3.b selon laquelle les suites (c2k ) et (c2k+1 ) sont des
suites géométriques.
V.3.d Utiliser le fait que cn (λ) = 0 si et seulement si n est impair, démontré à la
question V.3.c.
V.4.b Ici n = 4 est pair. Il suffit alors d’appliquer le résultat de la question V.3.c.
V.4.c Comparer les dimensions de E0 (A4 , B4 ) et E∞ (A4 , B4 ) avec les quantités
m0 (A4 , B4 ) et m∞ (A4 , B4 ) calculés aux questions V.4.a et V.4.b.
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I. Diagonalisabilité dans un cas
particulier
I.1.a. On remarque que la première ligne de B est entièrement composée de zéros,
par conséquent la matrice B ne peut pas être de rang 3, seulement de rang inférieur
ou égal à 2. On en déduit que
B n’est pas inversible.
Un développement du déterminant de B par rapport à la première ligne donne
det(B) = 0, donc la matrice B n’est pas inversible.
I.1.b. La matrice A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Calculons-le en développant par rapport à la dernière ligne.
3 1 1 3 1
= −3 + 2 = −1
det(A) = 2 1 0 = − 2 1
0 0 −1
Le déterminant de A est non nul ce qui permet d’affirmer
A est inversible.
I.1.c. On peut résoudre cette question sans calculer A−1 , en prouvant que AC = B.
En multipliant cette égalité par A−1 à gauche, on obtient C = A−1 B. Calculons AC.

 
 

3 1 1
−4 −2 −2
0 0 0
6
4  = 4 2 0  = B
AC = 2 1 0  ×  16
0 0 −1
0
0
2
0 0 −2
On en conclut
C = A−1 B
I.2.a. Calculer χ(A,B) (λ) revient à calculer le déterminant de la matrice A − λB.
χ(A,B) (λ) = det(A − λB)
3
1
1
0
= 2 − 4λ 1 − 2λ
0
0
−1 + 2λ
3
1 = (2λ − 1) en développant selon L3
2 − 4λ 1 − 2λ
χ(A,B) (λ) = (2λ − 1) (3(1 − 2λ) − 2(1 − 2λ))
ce qui donne
χ(A,B) (λ) = −(2λ − 1)2
I.2.b. Par définition de Sp(A, B), il s’agit de l’ensemble des éléments λ ∈ R tels
que χ(A,B) (λ) = 0, c’est-à-dire 2λ − 1 = 0. On en déduit
1
Sp(A, B) =
2
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I.2.c. On cherche l’ensemble des matrices-colonnes X ∈ M3,1 (R) telles que
AX =
Posons X = t (x, y, z) . On a alors


3x + y + z
AX =  2x + y 
−z
1
BX
2
et


0
BX = 4x + 2y
−2z
Comme AX = BX/2, (x, y, z) doit être solution du système


3x + y + z = 0
2x + y = 2x + y


−z = −z
Les deux dernières équations sont vérifiées, et la première donne



x


 ∈ M3,1 (R), (x, y) ∈ R2
y
E1/2 (A, B) = 


−3x − y
t
t
On remarque que (x, y, −3x − y) = x(1, 0, −3) + y(0, 1, −1) = x u2 + y u3 , ce qui
permet d’écrire
E1/2 (A, B) = Vect (u2 , u3 )
De plus, lorsqu’on considère les déterminants d’ordre 2 extraits de la matrice (u2 , u3 ),
on constate qu’il en existe un non nul, donc la famille (u2 , u3 ) est libre. On a vu que
(u2 , u3 ) est une famille génératrice de E1/2 (A, B), c’est donc une base de E1/2 (A, B).
La dimension de E1/2 (A, B) est égale au cardinal de n’importe laquelle de ses bases,
c’est-à-dire
dim E1/2 (A, B) = 2
I.3.a. Calculer χ(B,A) (λ) revient à calculer le déterminant de la matrice B − λA.
χ(B,A) (λ) = det(B − λA)
−3λ
−λ
−λ 0 = 4 − 2λ 2 − λ
0
0
−2 + λ
−3λ
−λ = (λ − 2) 4 − 2λ 2 − λ
en développant selon L3
χ(B,A) (λ) = (λ − 2) (−3λ(2 − λ) + 2λ(2 − λ))
Enfin
χ(B,A) (λ) = λ(λ − 2)2
Les éléments de Sp(B, A) sont les racines du polynôme χ(B,A) , qui sont 0 et 2. Ainsi,
Sp(B, A) = {0, 2}
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