Fonctions trigonométriques

Term S
Fonctions trigonométriques
1°) Dans les tableaux ci-dessous, récapituler les propriétés des fonctions trigonométriques.
(On pourra utiliser un cercle trigonométrique)
cos² x + sin² x =
tan x = 1 + tan² x =
cotan x = 1 + cotan² x =
x 0
π
6
π
4
π
3
π
2
x
x + 2 π
-x
x + π π - x x+
π
2
π
2
−x
cos x cos x
sin x sin x
tan x tan x
cos (x + y) =
(1) cos 2x =
sin (x + y) = (2) cos 2x =
cos (x - y) = (3) cos 2x =
sin (x - y) = sin 2x =
tan (x + y) = tan 2x =
tan (x - y) =
2°) On pose :tan
x
2
=t. Exprimer en fonction de t : cos x, sin x et tan x.
Si tan
x
2
=t, on a:
cos x = sin x = tan x =
.../...
sin x = sin a si et seulement si : ....................................................................................................
cos x = cos a si et seulement si : ....................................................................................................
tan x = tan a si et seulement si : ....................................................................................................
..................................................................................................................................

3°) Enseignement de Spécialité (ancien programme)
a) En utilisant les résultats précédents, on peut exprimer en fonction de cos (a - b), sin (a - b),
cos (a + b) et sin (a + b), les produits suivants : sin a.cos b, cos a.cos b, et sin a.sin b.
b) En posant : p = a + b et q = a – b, on peut en déduire en fonction de (p + q)/2 et (p – q)/2, les
sommes suivantes : sin p + sin q, sin p – sin q, cos p + cos q et cos p – cos q.
4°) Etudes des fonctions trigonométriques
a) Dans les tableaux ci-dessous, rappeler la parité, la périodicité et la dérivabilité des fonctions
trigonométriques ainsi que l’expression de leur fonction dérivée :
définie sur dérivable
sur parité période à étudier sur fonction dérivée
f(x) = sin x
g(x) = cos x
h(x) = tan x
i(x) = cotan x
f
1
(x) = sin (ax + b)
g
1
(x) = cos (ax + b)
h
1
(x) = tan (ax + b)
b) Tableaux de variations sur [- π ; π ] :
x
x
f’(x) g’(x)
f(x) = sin x g(x) = cos x
x
x
h’(x) i’(x)
h(x) = tan x i(x) = cotan x
5°) Exercices : Résoudre les équations, inéquation et systèmes définis ci-dessous :
a) sin x = sin ( π – 3x)
b) cos 2x = cos ( π - 3x)
c) tan x = tan
π
22+
x
d) sin cosxx +
=
34 4
π
e) sin 2x = cos² x
f) sin x.tan
x
2
= cos x
g)
sin sin
cos cos
x y
x y
+
=
+ =
0
3
h) 
−=+
=−
2
1
coscos
1coscos
22
yx
yx
i) cos 2x + cos x – 2 = 0
j) 2.cos² x – 3.cos x + 1 ≥ 0