Fonctions trigonométriques

Term S
Fonctions trigonométriques
1°) Dans les tableaux ci-dessous, récapituler les propriétés des fonctions trigonométriques.
(On pourra utiliser un cercle trigonométrique)
cos² x + sin² x =
x
tan x =
1 + tan² x =
cotan x =
1 + cotan² x =
0
π
π
π
π
6
4
3
2
x
cos x
cos x
sin x
sin x
tan x
tan x
sin x = sin a
x + 2π
x+π
-x
π-x
x+
π
π
2
2
si et seulement si : ....................................................................................................
cos x = cos a si et seulement si : ....................................................................................................
tan x = tan a si et seulement si : ....................................................................................................
..................................................................................................................................
cos (x + y) =
sin (x + y) =
cos (x - y) =
sin (x - y) =
cos 2x =
cos 2x =
cos 2x =
sin 2x =
(1)
(2)
(3)
tan (x + y) =
tan 2x =
tan (x - y) =
2°) On pose : tan
Si tan
x
= t . Exprimer en fonction de t : cos x, sin x et tan x.
2
x
= t , on a:
2
cos x =
sin x =
tan x =
.../...
−x
3°) Enseignement de Spécialité (ancien programme)
a) En utilisant les résultats précédents, on peut exprimer en fonction de cos (a - b), sin (a - b),
cos (a + b) et sin (a + b), les produits suivants : sin a.cos b, cos a.cos b, et sin a.sin b.
b) En posant : p = a + b et q = a – b, on peut en déduire en fonction de (p + q)/2 et (p – q)/2, les
sommes suivantes : sin p + sin q, sin p – sin q, cos p + cos q et cos p – cos q.
4°) Etudes des fonctions trigonométriques
a) Dans les tableaux ci-dessous, rappeler la parité, la périodicité et la dérivabilité des fonctions
trigonométriques ainsi que l’expression de leur fonction dérivée :
définie sur dérivable
sur
parité
période
à étudier
sur
fonction dérivée
f(x) = sin x
g(x) = cos x
h(x) = tan x
i(x) = cotan x
f1(x) = sin (ax + b)
g1(x) = cos (ax + b)
h1(x) = tan (ax + b)
b) Tableaux de variations sur [-π; π] :
x
f’(x)
x
g’(x)
f(x) = sin x
g(x) = cos x
x
h’(x)
x
i’(x)
h(x) = tan x
i(x) = cotan x
5°) Exercices : Résoudre les équations, inéquation et systèmes définis ci-dessous :
a) sin x = sin (π – 3x)
e) sin 2x = cos² x
b) cos 2x = cos (π - 3x)
f) sin x.tan
π

c) tan x = tan + 2 x 
2

3π 
x

 = cos
d) sin x +

4 
4
x
= cos x
2
sin x + sin y = 0
g) 
cos x + cos y = 3
cos 2 x − cos 2 y = 1

h) 
1
cos x + cos y = −

2
i) cos 2x + cos x – 2 = 0
j) 2.cos² x – 3.cos x + 1 ≥ 0