Logique 1 Vocabulaire et définition

Logique
De nombreux systèmes électriques, électroniques, électromécaniques... fonctionnent selon le principe
du tout ou rien. Autrement dit, ils ne peuvent prendre que deux états différents.
Ex : marche/arrêt, ouvert/fermé, allumé/éteint, vrai/faux...
Pour cette raison, il est beaucoup plus avantageux d’employer un système mathématique n’utilisant que
deux valeurs numériques (par exemple 0 et 1).
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Vocabulaire et définition
Définition 1.1. Une variable logique est une grandeur qui peut prendre deux valeurs, habituellement
notées 0 et 1. Une variable logique est aussi appelée une variable booléenne.
Ex : l’état d’un système électrique, d’un interrupteur, d’une lampe ou une simple affirmation du genre
“Aujourd’hui, il pleut”...
Définition 1.2. Une proposition logique est une variable logique dépendant d’une paramètre.
Ex : P (x) : x2 + 2x − 2 > 0 (P (0) est faux alors que P (1) est vrai), L(x) : X est roux, I(t) : état de
l’interrupteur à l’instant t...
Définition 1.3. Une fonction logique est le résultat de la combinaison d’une ou plusieurs variables
logiques reliées entre elles par des opérations booléennes.
La valeur d’une fonction logique dépend des valeurs des variables logiques mais ne peut prendre que les
valeurs 0 et 1.
Une fonction logique possède donc une ou plusieurs variables logiques d’entrée et une variable logique de
sortie.
Ex : ∗ Fonction à une variable d’entrée.
Représentons cette variable par l’état d’un commutateur appelé C. S’il est à gauche, alors C = 0 et s’il
est à droite, alors C = 1. On s’intéresse à l’état d’une lampe L : si elle est allumée, alors L = 1 et si elle
est éteinte, alors L = 0.
On considère le montage suivant :
C
L
• Si C = 0, alors le circuit est fermé et la lampe allumée donc L = 1.
• Si C = 1, en revanche, la lampe ne s’allume pas et L = 0.
Si le montage est le suivant :
C
L
• Si C = 0, alors L = 0.
• Si C = 1, alors L = 1.
On considère ensuite le montage suivant
C
L
• Si C = 0, alors L = 0.
• Si C = 1, alors L = 0.
Enfin, si le montage est
C
L
• Si C = 0, alors L = 1.
• Si C = 1, alors L = 1.
Et il n’y a pas d’autre possiblité.
Ex : ∗ Fonction à deux variables d’entrée.
On considère maintenant deux commutateurs C1 et C2 et on s’intéresse toujours à l’état de la lampe en
sortie.
On considère le montage suivant :
C2
L
C1
Alors on peut résumer la situation avec le tableau suivant :
C1 C2
0 0
0 1
1 0
1 1
L
0
0 .
1
0
Définition 1.4. On vient de construire la table de vérité de la fonction L. C’est l’ensemble des combinaisons des valeurs des variables d’entrée et des valeurs de la variable de sortie.
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Opérations booléennes de base
On va définir ici les opérations booléennes de base utiles pour définir des fonction logiques et nous
donnerons leur table de vérité.
Définition 2.1. La fonction N ON est obtenue à partir d’une variable d’entrée E. On la note E et sa
table de vérité est donnée par
E E
0 1 .
1 0
Définition 2.2. La fonction OU est obtenue à partir de deux variables d’entrée E1 et E2 . On la note
E1 ∨ E2 et sa table de vérité est donnée par
E1 E2 E1 ∨ E2
0 0
0
0 1
1
.
1 0
1
1 1
1
Rq : La fonction OU correspond à ce qu’on appelle le ou inclusif. Il différe du ou exclusif du langage
courant.
Définition 2.3. La fonction ET est obtenue à partir de deux variables d’entrée E1 et E2 . On la note
E1 ∧ E2 et sa table de vérité est donnée par
E1 E2 E1 ∧ E2
0 0
0
0 1
0
.
1 0
0
1 1
1
Proposition 2.1 (Lois de Morgan). Soit E1 et E2 deux variables logiques. Alors on a :
E1 ∨ E2 = E1 ∧ E2 ,
E1 ∧ E2 = E1 ∨ E2 .
Démonstration :
Proposition 2.2 (Associativité). Soit E1 , E2 et E3 trois variables logiques. On a
E1 ∧ (E2 ∧ E3 ) = (E1 ∧ E2 ) ∧ E3 ,
E1 ∨ (E2 ∨ E3 ) = (E1 ∨ E2 ) ∨ E3 .
Démonstration :
Proposition 2.3 (Distributivité). Soit E1 , E2 et E3 trois variables logiques. On a
E1 ∧ (E2 ∨ E3 ) = (E1 ∧ E2 ) ∨ (E1 ∧ E3 ),
E1 ∨ (E2 ∧ E3 ) = (E1 ∨ E2 ) ∧ (E1 ∨ E3 ).
Démonstration :
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Fonctions implication et équivalence
Définition 3.1. La fonction implication est définie pour deux variables logiques d’entrée P et Q. On la
note P ⇒ Q et elle est définie par (P ⇒ Q) = P ∨ Q. Donc sa table de vérité est donnée par
P
0
0
1
1
Q P ⇒Q
0
1
1
1
.
0
0
1
1
Définition 3.2. La fonction équivalence est définie pour deux variables d’entrée P et Q par
(P ⇔ Q) = (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ).
Sa table de vérité est
P
0
0
1
1
Q P ⇔Q
0
1
1
0
.
0
0
1
1
Exercice : Montrer que (P ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ P ).