Logique 1 Vocabulaire et définition

Logique
De nombreux syst`emes ´electriques, ´electroniques, ´electrom´ecaniques... fonctionnent selon le principe
du tout ou rien. Autrement dit, ils ne peuvent prendre que deux ´etats diff´erents.
Ex : marche/arrˆet, ouvert/ferm´e, allum´e/´eteint, vrai/faux...
Pour cette raison, il est beaucoup plus avantageux d’employer un syst`eme math´ematique n’utilisant que
deux valeurs num´eriques (par exemple 0 et 1).
1 Vocabulaire et d´efinition
D´efinition 1.1. Une variable logique est une grandeur qui peut prendre deux valeurs, habituellement
not´ees 0 et 1. Une variable logique est aussi appel´ee une variable bool´eenne.
Ex : l’´etat d’un syst`eme ´electrique, d’un interrupteur, d’une lampe ou une simple affirmation du genre
“Aujourd’hui, il pleut”...
D´efinition 1.2. Une proposition logique est une variable logique d´ependant d’une param`etre.
Ex :P(x) : x2+ 2x−2>0 (P(0) est faux alors que P(1) est vrai), L(x) : Xest roux, I(t) : ´etat de
l’interrupteur `a l’instant t...
D´efinition 1.3. Une fonction logique est le r´esultat de la combinaison d’une ou plusieurs variables
logiques reli´ees entre elles par des op´erations bool´eennes.
La valeur d’une fonction logique d´epend des valeurs des variables logiques mais ne peut prendre que les
valeurs 0 et 1.
Une fonction logique poss`ede donc une ou plusieurs variables logiques d’entr´ee et une variable logique de
sortie.
Ex :∗Fonction `a une variable d’entr´ee.
Repr´esentons cette variable par l’´etat d’un commutateur appel´e C. S’il est `a gauche, alors C= 0 et s’il
est `a droite, alors C= 1. On s’int´eresse `a l’´etat d’une lampe L: si elle est allum´ee, alors L= 1 et si elle
est ´eteinte, alors L= 0.
On consid`ere le montage suivant :
L
C
•Si C= 0, alors le circuit est ferm´e et la lampe allum´ee donc L= 1.
•Si C= 1, en revanche, la lampe ne s’allume pas et L= 0.

Si le montage est le suivant :
L
C
•Si C= 0, alors L= 0.
•Si C= 1, alors L= 1.
On consid`ere ensuite le montage suivant
L
C
•Si C= 0, alors L= 0.
•Si C= 1, alors L= 0.
Enfin, si le montage est
L
C
•Si C= 0, alors L= 1.
•Si C= 1, alors L= 1.
Et il n’y a pas d’autre possiblit´e.

Ex : ∗Fonction `a deux variables d’entr´ee.
On consid`ere maintenant deux commutateurs C1et C2et on s’int´eresse toujours `a l’´etat de la lampe en
sortie.
On consid`ere le montage suivant :
L
C1
C2
Alors on peut r´esumer la situation avec le tableau suivant :
C1C2L
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
.
D´efinition 1.4. On vient de construire la table de v´erit´e de la fonction L. C’est l’ensemble des combi-
naisons des valeurs des variables d’entr´ee et des valeurs de la variable de sortie.
2 Op´erations bool´eennes de base
On va d´efinir ici les op´erations bool´eennes de base utiles pour d´efinir des fonction logiques et nous
donnerons leur table de v´erit´e.
D´efinition 2.1. La fonction N ON est obtenue `a partir d’une variable d’entr´ee E. On la note Eet sa
table de v´erit´e est donn´ee par
E E
0 1
1 0
.
D´efinition 2.2. La fonction OU est obtenue `a partir de deux variables d’entr´ee E1et E2. On la note
E1∨E2et sa table de v´erit´e est donn´ee par
E1E2E1∨E2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
.

Rq : La fonction OU correspond `a ce qu’on appelle le ou inclusif. Il diff´ere du ou exclusif du langage
courant.
D´efinition 2.3. La fonction ET est obtenue `a partir de deux variables d’entr´ee E1et E2. On la note
E1∧E2et sa table de v´erit´e est donn´ee par
E1E2E1∧E2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
.
Proposition 2.1 (Lois de Morgan).Soit E1et E2deux variables logiques. Alors on a :
E1∨E2=E1∧E2,
E1∧E2=E1∨E2.
D´emonstration :
Proposition 2.2 (Associativit´e).Soit E1,E2et E3trois variables logiques. On a
E1∧(E2∧E3) = (E1∧E2)∧E3,
E1∨(E2∨E3) = (E1∨E2)∨E3.
D´emonstration :
Proposition 2.3 (Distributivit´e).Soit E1,E2et E3trois variables logiques. On a
E1∧(E2∨E3) = (E1∧E2)∨(E1∧E3),
E1∨(E2∧E3) = (E1∨E2)∧(E1∨E3).
D´emonstration :

3 Fonctions implication et ´equivalence
D´efinition 3.1. La fonction implication est d´efinie pour deux variables logiques d’entr´ee Pet Q. On la
note P⇒Qet elle est d´efinie par (P⇒Q) = P∨Q. Donc sa table de v´erit´e est donn´ee par
P Q P ⇒Q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
.
D´efinition 3.2. La fonction ´equivalence est d´efinie pour deux variables d’entr´ee Pet Qpar
(P⇔Q) = (P⇒Q)∧(Q⇒P).
Sa table de v´erit´e est
P Q P ⇔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
.
Exercice : Montrer que (P⇒Q)⇔(Q⇒P).