Chapitre 11 – Compléments de géométrie

A) Triangles, angles
1) Théorème de Thalès et triangles semblables
 !"
AB
AG =AC AH =BC GH
DI
DE =DJ DF =IJ EF
#$%
&'
AB
AG =AC AH =BC GH
DI
DE =DJ DF =IJ EF
%
Le théorème de Thalès s’applique aussi aux triangles semblables, c’est à dire qui ont leurs angles
égaux deux à deux, sans recourir au parallélisme.
Et réciproquement, deux triangles qui ont leurs côtés proportionnels sont semblables.
a) Dans la figure ci-dessous, on a (d1) // (d2), AB = 2 et AC = 5.
'()*+(!+,-
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b)Dans la figure ci-dessous, on a A B = 9, BC = 7 et AC = 4.
'+(!.+.-
2) Triangles rectangles
a) Le théorème de Pythagore et sa réciproque
/0 
$10%
'$ $
$0
10!%
20 
$%
b) Trigonométrie
,*
(̂ B)=
  =BA BC
(̂ B)=
  =AC BC
(̂ B)=
 =AC AB
cotan(̂ B)= 
(̂ B)=
 =AB AC
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c) Cercles
2$"
$/0%
d) Exemples
•*,*
•*
(̂ C)
(̂ C)
•*3
3) Formules pour les triangles quelconques
',*!(,*4(*(,%
!"#$ 
5(456574
(̂ A)
45(5657
(̂ B)
5(564574
 (̂ C)
! 
''/,*"
a b c
%S=a
(̂ A)=b
(̂ B)=c
(̂ C)
4) Angles inscrits, angles au centre
'C#,*C.
8/
̂
BAC
 /
̂
BOC
7%
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,,*!
/
̂
A
%
B) Géométrie analytique
1) Repères, coordonnées
#
⃗
i
⃗
j
40"
⃗
OM =x⃗ i+y⃗ j
#9:0%
/#
⃗
i
⃗
j
⃗
k
0
;
⃗
OM =x⃗ i+y⃗ j+z⃗ k
#9:0:;%
2) Calculs sur les coordonnées
a) Milieu et barycentre
'::<,4:4:4<
83=,>3
(
a+b
?: a+b ?: a<+b<
)
%
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840,,
(
m a+n b
m+n?: m a+n b m+n?: m a<+n b< m+n
)
%
840,%
b) Coordonnées des vecteurs
'::<,4:4:4<
⃗
AB(b– a?:b– a?:b<– a<)
%
#
⃗
OA(a?: a?:a<)
⃗
OB(b?:b?: b<)
'<:7:,:7:@*7::@
!3=,>
⃗
BC ,
⃗
AI ,
⃗
IC et
⃗
IB
%
3) Colinéarité, parallélisme, alignement
a) Définition
!
⃗
u et ⃗ v
⃗
u=k⃗ v
!A%
b) Propriétés
3 ,*B(C
⃗
AB
⃗
CD
33 ,*B(C
⃗
AB
⃗
AC
333 '
⃗
u
:0
⃗
v
/:0/"
⃗
u
⃗
v
B(C0/D/0(E
3F '
⃗
u
:0:;
⃗
v
/:0/:;/"
⃗
u
⃗
v
B(C
∃k∈ℝ
/(A0/(A0;/(A;
c) Exemples
•1!
⃗
u
:<:
⃗
v
G:H:<
•':,G:*E:<!,*%
•'@:+I:!,+
•1!
⃗
u
@:
⃗
v
7I:7
4) Aires et volumes
a) Triangle
'4(4(
S=b h
%
b) Trapèze
'4(4,(4(
S=(b+B)
h
%
c) Disque
'&(0'(J&5
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