Dénombrement

STAT03 : probabilités COURS Décembre 2000
Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Cours et exercices : Philippe Leclère 1
Chapitre 3 : Combinatoire, Probabilités
1 Dénombrement
1.1 Introduction
L’étude statistique nous conduit à étudier une population finie et parfaitement
déterminée par rapport à un ou plusieurs paramètres. Pour cela nous avons mis en
place un certain nombre d’outils élaborés : les paramètres de position ( moyenne,
médiane, fréquence etc..) et les statistiques de dispersion ( écart moyen, écart type,
quartiles, déciles etc...)
Malheureusement les ensembles étudiés sont souvent à effectifs très importants
interdisant toute étude exhaustive. On est alors amené à prélever des échantillons de
cette population de taille raisonnable, assez pour que les résultats induits soient
significatifs, mais pas trop en raison du coût. La connaissance même parfaite de
l’échantillon ne peut être appréciée qu’avec une extrême prudence et un certain degré
de « probabilité ». Nous allons estimer certaines lois sur la population et nous ne
pourrons le faire sérieusement qu’avec le calcul des probabilités.
La réalisation des événements est l’aboutissement d’actions antérieures, les causes.
Tous les phénomènes ne sont pas prévisibles, ils dépendent du hasard. On parlera
alors de phénomènes aléatoires. La chance de réalisation d’un événement sera
mesuré de façon « scientifique ». Hasard vient de l’Arabe et signifie « jeu de dés »
1.2 Analyse combinatoire
1.2.1 Permutations
On considère un ensemble fini E de n éléments distincts n
123
{ x , x , x , ....., x }. On
appelle cardinal de E son nombre d’éléments n , et on écrit card E n
=.
On se demande combien il y a de façons différentes de les ordonner. On fabrique à
chaque fois un n-uplet différent d’éléments distincts de E : n
213
{ x , x , x , ....., x }.
Chacun de ces n-uplet est appelé permutation des n éléments.

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{}
3
E a,b,c avec card E
==
. On fabrique les triplets possibles de façon
exhaustive.
()()()()()()
a, b, c ; a, c, b ; b, a, c ; b, c, a ; c, a, b ; c, b, a
Il y a donc 6 triplets différents possibles.
Généralisons : nous avons n choix possibles pour le premier élément du n-uplet.
Une fois celui-ci placé, il reste n
−
1 choix possibles pour le deuxième élément et ainsi
de suite jusqu’au dernier. Nous avons donc au total :
()()
n n-1 n-2 ....2 1
×, soit le
produit des n premiers entiers. On appelle factoriel n ce nombre et on note n!
le nombre de permutations d’un ensemble fini de n éléments est n !
Chaque joueur d’une équipe de basket-ball ayant un maillot numéroté de 1 à 5,
combien d’équipes différentes peut constituer l’entraîneur avec un effectif de 5
joueurs. (Réponse 5!= 120).
1.1.2 Arrangements
On désire cette fois-ci constituer un p-uplet d’éléments distincts d’un ensemble
comportant n éléments distincts
()
pn
≤. On choisit alors les p éléments dans un
ordre déterminé. On appelle arrangement de p éléments parmi n chaque p-uplet
ainsi constitué. Combien y a-t-il d’arrangements possibles ?
On a n choix pour le premier terme,
()
1
n− pour le deuxième ... et
()
np+1
− pour le
p-ième. On note
()
A n , p ou
()( )
11
p
n
Ann np
=− −+!
On a :
()
p
nn!
Anp!
== − en effet
()()( )( )( )
()( )
11 121
121
n n .... n p n p n p .....
n!
n p ! n p n p ....
−−+−−−×
=
−−−−×
en simplifiant, on obtient
le résultat.

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• Dans l’exemple précédent l’entraîneur a maintenant 8 joueurs pour constituer son
équipe de 5 joueurs. Il doit donc choisir un 5-uplet. Il a 5
86720
A= possibilités.
• Combien de nombres de trois chiffres peut-on écrire avec des chiffres
impairs tous distincts ? On choisit en fait 3 chiffres impairs distincts ordonnés
parmi l’ensemble des chiffres impairs. Soit un 3-uplets d’éléments distincts de
l’ensemble
{}
13579
;;;; . Donc, on obtient :
()
3
55543 60
53
!
A!
==××=
−
On peut schématiser ce calcul par l’arborescence suivante :
5135
x=
37 137
x=
9139
x=
3153
x=
57 157
x=
19
159
x=
3173
x=
75 175
x=
9179
x=
3193
x=
95 195
x=
7197
x=
Etc…
Il y a douze possibilités avec 1 en première position, autant avec 3, puis 5, puis 7, et
enfin 9 en première position soit 60 au total.
Pensez à utiliser l’arborescence qui symbolise parfaitement ces phénomènes.
Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n est p
n
A
Un arrangement de n éléments parmi n est une permutation de n éléments.

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1.1.3 Combinaisons
On considère un ensemble E de n éléments distincts.
On appelle combinaison de p éléments parmi n tout sous-ensemble de p éléments
distincts de cet ensemble.
{}
3
E a,b,c avec card E
==
. On fabrique tous les sous-ensembles d’éléments
distincts de E. L’ensemble de ces sous-ensembles est appelé ensemble des parties de
E et noté
()
PE
() {}{}{}{ }{ }{ }{ }
{}
PE ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c
=∅
L’ordre n’a pas d’importance
{}{}
a,b b,a
=
• Dans une partie, les éléments sont deux à deux distincts ;
• Deux parties sont égales si et seulement si elles contiennent les mêmes éléments.
Il y a 3 combinaisons de 2 éléments parmi les 3 éléments de E. En fait :
• A une combinaison de 2 éléments correspond deux arrangements, en tenant
compte de l’ordre :
{} ()()
{}
a,b a,b ; b,a
→
• A la combinaison de 3 éléments correspond 6 arrangements.
{}()()()()()()
{}
a,b,c a,b,c , a,c,b , b,a,c , b,c,a ; c,a,b , c,b,a
→
Généralisons :
Une seule combinaison donne p! arrangements. En fait, il s’agit des permutations des
p éléments de ce sous-ensemble. Il suffit donc pour obtenir le nombre de
combinaisons de p éléments parmi n de diviser le nombre d’arrangements de p
éléments parmi n par le nombre de permutations de n éléments.
On note
()
Cn,p ou
()
p
pn
nAn!
Cp! n p !p!
==
− le nombre de combinaisons.

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Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est p
n
C
• Le nombre de tiercés dans le désordre avec 17 chevaux au départ est 3
17 680
C=
• Le nombre de tiercés dans l’ordre avec 17 chevaux au départ est 3
17 4 080
A=
Si on résume :
• Les permutations de n éléments distincts :
n-uplets avec ordre nombre = n!
• Les arrangements de p éléments distincts parmi n
p-uplets avec ordre nombre = p
n
A
• Les combinaisons de p éléments distincts parmi n
sous-ensembles de p éléments nombre = p
n
C
•
()
121
n! n n
=−××! (produit des n premiers entiers)
• p
n
A=
()
n!
np!
−
• p
pn
nAn!
Cp! (n p)!p!
==
−