fonctions usuelles - Maths PCSI2 Joffre

Cours PCSI 2
Lyc´ee Joffre
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FONCTIONS USUELLES
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1 fonctions polynomiales et rationnelles
•fonction polynomiale :
une fonction polynomiale sur Rest une fonction fpour laquelle il existe un entier
naturel d, des r´eels a0, a1,··· , adtels que :
∀x∈R, f(x) =
d
X
k=0
akxk
•la limite d’une fonction polynomiale en +∞ou −∞ est la limite de son terme dominant,
i.e son terme de plus haut degr´e ( on le met en facteur).
•expression des d´eriv´ees :
une fonction polynomiale est D∞sur Ret ses d´eriv´ees sont des fonctions polynomiales.
Plus pr´ecis´ement :
si f:x→
d
X
k=0
akxkalors f0:x→
d
X
k=1
kakxk−1
et plus g´en´eralement :
∀j∈0; d , f(j):x→
d
X
k=j
k!
(k−j)!akxk−j
∀j>d+ 1, f(j):x→0
•fonction rationnelle :
une fonction rationnelle est une fonction qui est le quotient de deux fonctions po-
lynomiales, d´efinie sur une partie de R( en les points o`u le d´enominateur ne s’annule
pas).
•une fonction rationnelle est D∞sur son domaine et ses d´eriv´ees sont des fonctions ra-
tionnelles sur le mˆeme domaine.
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2 exponentielle et logarithme
2.1 logarithme n´ep´erien
•d´efinition :
la fonction ln ( logarithme n´ep´erien) est par d´efinition l’unique primitive sur ]0,+∞[, qui
s’annule en 1, de la fonction x→1/x.
- la fonction ln est strictement croissante.
- la fonction ln est D∞sur R∗
+et ses d´eriv´ees multiples se d´eduisent de celles de x→x−1.
•propri´et´es fonctionnelles :
∀x, y ∈]0,+∞[,ln(xy) = ln(x) + ln(y)
∀x∈]0,+∞[,∀n∈Z,ln(xn) = nln(x)
•limites remarquables :
ln(x)−−−−→
x→+∞+∞et ln(x)−−→ x→0−∞
ln(1 + t)
t−−→
t→01
- limite classique, que l’on peut retenir avec la d´efinition de la d´eriv´ee en 1 de ln en 1.
•in´egalit´es `a conna^ıtre :
in´egalit´e classique qui traduit le fait que la courbe est en dessous de la tangente en 1 :
∀t > −1,ln(1 + t)6t
la mˆeme apr`es le changement de variable x= 1 + t:
∀x > 0,ln(x)6x−1
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2.2 exponentielle
•definition :
la fonction exp ( exponentielle ) est la r´eciproque de ln. Elle est d´efinie sur R, est `a valeurs
dans ]0,+∞[.
- la fonction exp est strictement croissante.
•expression de ses d´eriv´ees :
la fonction exp est D∞sur Ret : ∀k∈N,exp(k)= exp.
•propri´et´es fonctionnelles :
∀a, b ∈R,exp(a+b) = exp(a) exp(b) et exp(a−b) = exp(a)
exp(b)
∀x∈R,∀n∈Z,(exp(x))n= exp(nx)
•limites `a conna^ıtre :
exp(x)−−−−→
x→+∞+∞et exp(x)−−−−→ x→−∞ 0
- une limite classique, que l’on peut retenir avec la d´efinition de la d´eriv´ee en 0 de exp :
exp(t)−1
t−−→
t→01
•in´egalit´e `a conna^ıtre :
une in´egalit´e classique qui traduit le fait que la courbe est au dessus de la tangente en 0 :
∀t∈R,exp(t)>1 + t
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2.3 exposants r´eels
•d´efinition :
on d´efinit pour deux r´eels xet yo`u x > 0, xypar :
∀x > 0,∀y∈R, xy= exp(yln(x))
- ainsi, comme on note e= exp(1), on a ∀x∈R, ex= exp(x).
•formules classiques :
∀x, t > 0,∀y, y0∈R,(xt)y=xyty; (xy)y0=xyy0;xy+y0=xyxy0
2.4 fonctions puissances :
•fonctions puissances :
ce sont les fonctions x→xa, o`u aest un r´eel fixe, d´efinies sur ]0,+∞[.
- on retrouve parmi ces fonctions puissances, la fonction carr´e x→x2, la fonction racine
carr´ee x→x1/2, mais aussi la fonction inverse x→1/x =x−1, ainsi que la fonction
x→1/√x=x−1/2.
- si a > 0, on peut prolonger la fonction puissance x→xapar continuit´e en 0, en posant
0a= 0.
•monotonie et limites :
- si a > 0, la fonction x→xaest strictement croissante et tend vers +∞en +∞.
- si a < 0, la fonction x→xaest strictement d´ecroissante et tend vers +∞en 0 et vers 0
en +∞.
•expression des d´eriv´ees :
- les fonctions puissances sont D∞sur ]0,+∞[.
- Attention : la d´erivabilit´e en 0, de mˆeme que la kfois d´erivabilit´e en 0 d´epend de la
valeur de aet n´ecessite une ´etude pr´ecise.
si f:x→xaalors f0:x→axa−1
Qui se g´en´eralise comme suit :
∀k∈N, f(k):x→a(a−1) ···(a−k+ 1)xa−k
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2.5 autres exponentielles et logarithmes :
•fonctions exponentielles de base b:
ce sont les fonctions d´efinies sur Rpar : ∀t∈R, bt=etln(b)( o`u best un r´eel >0) .
•fonctions logarithmes de base α:
ce sont les fonctions d´efinies sur ]0,+∞[ par : ∀x > 0,logα(x) = ln(x)
ln(α)( o`u αest un r´eel
>0).
•r`egle d’or :
avec les fonctions pr´esentant un exposant d´ependant de la variable, on ” passe `a l’ex-
ponentielle” :
u(x)v(x)= exp(v(x) ln(u(x)))
2.6 comparaison asymptotique
•comparaison en 0et +∞des puissances positives de xet de ln(x) :
∀a, b > 0, xa|ln(x)|b−−→
x→00 et (ln(x))b
xa−−−−→
x→+∞0
•comparaison en +∞des puissances positives de xet exp(x):
∀a, b > 0,ebx
xa−−−−→
x→+∞+∞
Attention : pas de conclusion hˆative, si vous n’ˆetes pas dans ce cadre l`a. Par exemple,
l’´etude de la limite de xe−x2en +∞n´ecessite un changement de variable ( ici y=x2) ou
l’´etude de la limite du ln de cette expression ( ici de ln(x)−x2en +∞).
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