Cours PCSI 2 Lycée Joffre ——————————————————————————————————————– FONCTIONS USUELLES ——————————————————————————————————————– 1 fonctions polynomiales et rationnelles • fonction polynomiale : une fonction polynomiale sur R est une fonction f pour laquelle il existe un entier naturel d, des réels a0 , a1 , · · · , ad tels que : ∀x ∈ R, f (x) = d X ak x k k=0 • la limite d’une fonction polynomiale en +∞ ou −∞ est la limite de son terme dominant, i.e son terme de plus haut degré ( on le met en facteur). • expression des dérivées : une fonction polynomiale est D∞ sur R et ses dérivées sont des fonctions polynomiales. Plus précisément : si f : x → d X ak xk alors f 0 : x → d X kak xk−1 k=1 k=0 et plus généralement : ∀j ∈ [0; d], f (j) :x→ d X k=j k! ak xk−j (k − j)! ∀j > d + 1, f (j) : x → 0 • fonction rationnelle : une fonction rationnelle est une fonction qui est le quotient de deux fonctions polynomiales, définie sur une partie de R ( en les points où le dénominateur ne s’annule pas). • une fonction rationnelle est D∞ sur son domaine et ses dérivées sont des fonctions rationnelles sur le même domaine. 1 2 2.1 exponentielle et logarithme logarithme népérien • définition : la fonction ln ( logarithme népérien) est par définition l’unique primitive sur ]0, +∞[, qui s’annule en 1, de la fonction x → 1/x. - la fonction ln est strictement croissante. - la fonction ln est D∞ sur R∗+ et ses dérivées multiples se déduisent de celles de x → x−1 . • propriétés fonctionnelles : ∀x, y ∈]0, +∞[, ln(xy) = ln(x) + ln(y) ∀x ∈]0, +∞[, ∀n ∈ Z, ln(xn ) = n ln(x) • limites remarquables : ln(x) −−−−→ +∞ et ln(x) −−→ −∞ x→+∞ x→0 ln(1 + t) −−→ 1 t→0 t - limite classique, que l’on peut retenir avec la définition de la dérivée en 1 de ln en 1. • inégalités à conna^ ıtre : inégalité classique qui traduit le fait que la courbe est en dessous de la tangente en 1 : ∀t > −1, ln(1 + t) 6 t la même après le changement de variable x = 1 + t : ∀x > 0, ln(x) 6 x − 1 2 2.2 exponentielle • definition : la fonction exp ( exponentielle ) est la réciproque de ln. Elle est définie sur R, est à valeurs dans ]0, +∞[. - la fonction exp est strictement croissante. • expression de ses dérivées : la fonction exp est D∞ sur R et : ∀k ∈ N, exp(k) = exp. • propriétés fonctionnelles : ∀a, b ∈ R, exp(a + b) = exp(a) exp(b) et exp(a − b) = exp(a) exp(b) ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, (exp(x))n = exp(nx) • limites à conna^ ıtre : exp(x) −−−−→ +∞ et exp(x) −−−−→ 0 x→+∞ x→−∞ - une limite classique, que l’on peut retenir avec la définition de la dérivée en 0 de exp : exp(t) − 1 −−→ 1 t→0 t • inégalité à conna^ ıtre : une inégalité classique qui traduit le fait que la courbe est au dessus de la tangente en 0 : ∀t ∈ R, exp(t) > 1 + t 3 2.3 exposants réels • définition : on définit pour deux réels x et y où x > 0, xy par : ∀x > 0, ∀y ∈ R, xy = exp(y ln(x)) - ainsi, comme on note e = exp(1), on a ∀x ∈ R, ex = exp(x). • formules classiques : ∀x, t > 0, ∀y, y 0 ∈ R, (xt)y = xy ty 2.4 ; 0 (xy )y = xyy 0 ; 0 xy+y = xy xy 0 fonctions puissances : • fonctions puissances : ce sont les fonctions x → xa , où a est un réel fixe, définies sur ]0, +∞[. - on retrouve parmi ces fonctions puissances, la fonction carré x → x2 , la fonction racine carrée x√ → x1/2 , mais aussi la fonction inverse x → 1/x = x−1 , ainsi que la fonction x → 1/ x = x−1/2 . - si a > 0, on peut prolonger la fonction puissance x → xa par continuité en 0, en posant 0a = 0. • monotonie et limites : - si a > 0, la fonction x → xa est strictement croissante et tend vers +∞ en +∞. - si a < 0, la fonction x → xa est strictement décroissante et tend vers +∞ en 0 et vers 0 en +∞. • expression des dérivées : - les fonctions puissances sont D∞ sur ]0, +∞[. - Attention : la dérivabilité en 0, de même que la k fois dérivabilité en 0 dépend de la valeur de a et nécessite une étude précise. si f : x → xa alors f 0 : x → axa−1 Qui se généralise comme suit : ∀k ∈ N, f (k) : x → a(a − 1) · · · (a − k + 1)xa−k 4 2.5 autres exponentielles et logarithmes : • fonctions exponentielles de base b : ce sont les fonctions définies sur R par : ∀t ∈ R, bt = et ln(b) ( où b est un réel > 0) . • fonctions logarithmes de base α : ce sont les fonctions définies sur ]0, +∞[ par : ∀x > 0, logα (x) = > 0). ln(x) ln(α) ( où α est un réel • règle d’or : avec les fonctions présentant un exposant dépendant de la variable, on ” passe à l’exponentielle” : u(x)v(x) = exp(v(x) ln(u(x))) 2.6 comparaison asymptotique • comparaison en 0 et +∞ des puissances positives de x et de ln(x) : ∀a, b > 0, xa | ln(x)|b −−→ 0 x→0 et (ln(x))b −−−−→ 0 x→+∞ xa • comparaison en +∞ des puissances positives de x et exp(x) : ∀a, b > 0, ebx −−−−→ +∞ xa x→+∞ Attention : pas de conclusion hâtive, si vous n’êtes pas dans ce cadre là. Par exemple, 2 l’étude de la limite de xe−x en +∞ nécessite un changement de variable ( ici y = x2 ) ou l’étude de la limite du ln de cette expression ( ici de ln(x) − x2 en +∞). 5 3 fonctions hyperboliques • définition : et − e−t et + e−t ; ch(t) = 2 2 sh est le ” sinus hyperbolique” et ch est le ” cosinus hyperbolique” ( nommés ainsi, car ils permettent de paramétrer les hyperboles). ∀t ∈ R, sh(t) = • propriétés globales : la fonction sh est strictement croissante et impaire. - la fonction ch est paire et strictement croissante sur [0, +∞[. • limites : on a les limites suivantes en +∞ ( celles en −∞ s’en déduisant par parité ou imparité) : sh(t) −−−−→ +∞ t→+∞ ; ch(t) −−−−→ +∞ t→+∞ • formule : ∀t ∈ R, ch2 (t) − sh2 (t) = 1 • dérivées : sh0 = ch ; 6 ch0 = sh 4 4.1 sin, cos, tan et réciproques de leurs restrictions sin et Arcsin • propriétés de sin : la fonction sin est impaire, 2π-périodique, D∞ sur R et on a la formule : π ∀k ∈ N, ∀x ∈ R, sin(k) (x) = sin(x + k ) 2 ( ce qui se résume en disant : ” dériver sin revient à ajouter π/2 à son angle”) • définition de Arcsin : la restriction de la fonction sin à [−π/2; π/2] est bijective de [−π/2; π/2] sur [−1, 1]. Sa réciproque est notée Arcsin. ( [−1, 1] → [−π/2, π/2] Arcsin : y → unique x de [−π/2, π/2]/ sin(x) = y • propriétés de Arcsin : la fonction Arcsin est impaire ∀y ∈ [−1, 1], sin(Arcsin(y)) = y et ∀t ∈ [−π/2, π/2], Arcsin(sin(t)) = t — attention : la dernière formule n’est pas valable en dehors de l’intervalle [−π/2, π/2]. • dérivée de Arcsin : Arcsin est dérivable ( et même D∞ ) sur ] − 1, 1[ et : 1 ∀y ∈] − 1, 1[, Arcsin0 (y) = p 1 − y2 7 4.2 cos et Arccos • propriétés de cos : la fonction cos est paire, 2π-périodique, D∞ sur R et on a la formule : π ∀k ∈ N, ∀x ∈ R, cos(k) (x) = cos(x + k ) 2 ( ce qui se résume en disant : ” dériver cos revient à ajouter π/2 à son angle”) • définition de Arccos : la restriction de la fonction cos à [0; π] est bijective de [0; π] sur [−1, 1]. Sa réciproque est notée Arccos. ( [−1, 1] → [0; π] Arccos : y → unique x de [0; π]/ cos(x) = y • propriétés de Arccos : ∀y ∈ [−1, 1], cos(Arccos(y)) = y et ∀t ∈ [0, π], Arccos(cos(t)) = t — attention : la dernière formule n’est pas valable en dehors de l’intervalle [0, π]. • dérivée de Arccos : Arccos est dérivable ( et même D∞ ) sur ] − 1, 1[ et : 1 ∀y ∈] − 1, 1[, Arccos0 (y) = − p 1 − y2 8 4.3 tan et Arctan • propriétés de tan : la fonction tan est impaire π-périodique, D∞ sur son domaine et on a la formule : ∀x ∈ R/x 6= π/2[π], tan0 (x) = 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) • définition de Arctan : la restriction de la fonction tan à ] − π/2; π/2[ est bijective de ] − π/2; π/2[ sur R. Sa réciproque est notée Arctan. ( R →] − π/2, π/2[ Arctan : y → unique x de ] − π/2, π/2[/ tan(x) = y • propriétés de Arctan : la fonction Arctan est impaire, dérivable sur R et : ∀y ∈ R, tan(Arctan(y)) = y et ∀t ∈] − π/2, π/2[, Arctan(tan(t)) = t — attention : la dernière formule est fausse en dehors de l’intervalle ] − π/2, π/2[. • dérivée de Arctan : ∀y ∈ R, Arctan0 (y) = 9 1 1 + y2