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2. Si f est une forme bilinéaire symétrique, alors
∀x∈E,∀y∈E,f(x+y,x+y) = f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y)
3. Si f est antisymétrique, alors
∀x∈E,f(x,x) = 0
Notations
On désigne par L2(E)l’ensemble de toutes les formes linéaires sur E, S2(E)l’ensemble de toutes les
formes bilinéaires symétriques sur E et A2(E)celui de toutes les formes bilinéaires antisymétriques
sur E
Soit Eun K-espace vectoriel quelconque, alors
i) L2(E)est un K-espace vectoriel.
ii) Si Kest un corps de caractéristique 6=2, alors L2(E) = S2(E)LA2(E)
Proposition 1.3.
Preuve
i) Il est facile de vérifier que la somme de deux formes linéaires et la multiplication d’une forme
linéaire par un scalaire sont aussi des formes linéaires, donc L2(E)est un sous-espace vectoriel
du K-espace vectoriel de toutes les applications de E ×E vers K.
ii) Remarquons d’abord que si K est un corps de caractéristique =2, alors 1K=−1K, donc dans ce
cas S2(E) = A2(E).
Supposons, maintenant que K est un corps de caractéristique 6=2. Soit f une forme bilinéaire
qui est à la fois symétrique et antisymétrique, alors on aura
∀(x,y)∈E×E,f(x,y) = f(y,x)et f (x,y) = −f(y,x)
Donc ∀(x,y)∈E×E,2Kf(x,y) = 0K, puisque 2K6=0K, alors on a,
∀(x,y)∈E×E,f(x,y) = 0K
Donc S2(E)TA2(E) = {0}.
Soit f ∈L2(E)et soient g et h les applications de E ×E vers K définies par
∀(x,y)∈E×E,g(x,y) = f(x,y) + f(y,x)
2et h(x,y) = f(x,y)−f(y,x)
2
Alors, il est facile de vérifier que g est bilinéaire symétrique, que h est bilinéaire antisymétrique
et que f =g+h. Donc L2(E) = S2(E) + A2(E).
Dans toute la suite, sauf indication du contraire, on suppose que Kest un corps commutatif de carac-
téristique 6=2.
1.3.1 Matrice d’une forme bilinéaire
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie =n,(e1,e2,...,en)une base de Eet f
une forme bilinéaire sur E. On dit qu’une matrice A= (ai j)1≤i,j≤nest la matrice de fpar
rapport à la base (e1,e2,...,en), si
∀(i,j)∈ {1,2,...,n}2,ai j =f(ei,ej)
Définition 1.4.
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