Master1 , UE4, EC4A : Eléments de mathématiques chapitre 7 multiplication et division Page 1
7. CORRIGES DES PROBLEMES : MULTIPLICATION ET DIVISION
Problème 1 : concours :
1/ si abc est divisible par 11 alors 100a +10b + c = 11 k avec k entier.
100a +10b + c = 99a + a + 11b – b + c = 99a + 11b +(a – b + c) = 11( 9a + b ) + (a – b +c ).
Donc 11( 9a + b ) + (a – b +c ) = 11k donc a – b +c = 11k – 11 (9a + b) soit:
a – b +c = 11 (k - 9a - b) donc a – b +c est un multiple de 11. VRAI.
2/ Soit n un entier. Le programme correspond à :
301053357537)5( nnnnn
301053357537)5( nnnnn
qui est un multiple de 10. VRAI.
3/ La lettre x désigne un nombre
Enoncé 1 : contre exemple : Si 2x = 1 alors x = ½ = 0,5 donc FAUX.
Enoncé 2 : alors x/2 = n avec n entier naturel donc x = 2 n produit de deux entiers naturels donc entier
naturel. VRAI.
Enoncé 3 : si x + 1 = 0 alors x = - 1 donc FAUX.
4/ Soit aaa ce nombre alors aaa = 100a + 10a + a = 111a = 37
a. VRAI.
5/ deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1 : contre exemple : 3 et 9 qui sont
divisibles par 3. FAUX.
6/ Soient ab et bc deux nombres entiers naturels écrits en base dix. Montrer que si 7 est un diviseur
commun à ces deux entiers naturels, alors 7 divise également le nombre ca.
(1) ab = 10a + b = 7k et (2) bc = 10b + c = 7k’ avec k et k’ entiers naturels.
Alors
).143100'10(7
1001)100'10(7
1000700'70
(1) aprèsd' )107(100'70
100'70
(2) aprèsd' )10'7(10
10
akkca
akkca
aakkca
aakkca
abkca
abkca
acca
Donc ca est bien un multiple de 7 et 7 divise ca.
Problème 2 :concours :
1a/ q = 3 361 674 et r = 10.
1b/ 23 = 17 + 6 donc q = 4 957 630 + 1 = 4 957 631 et r = 6.
1c/ 57 148 468 + 84 279 733 = (3 361 674 + 4 957 630)
17 + 10 + 23 mais 33 > 17.
= 8 319 304
17 + (17 + 16)
= 8 319 305
17 + 16.
q = 8 319 305 et r = 16.
57 148 468
2 = 3 361 674
2
17 + 10
2 mais 20 > 17.
= 6 723 348
17 + 17 + 3
= 6 723 349
17 + 3.
q = 6 723 349 et r = 3.
2a/
, r < 17 et
, r’ < 17 donc
, r + r’ < 34.
Si r + r’ < 17 alors le quotient est q + q’ et le reste est r + r’.
Si
alors
soit
Et
.17')1'(17'1717)'(17' rrqqrrqqaa
alors le quotient est q + q’+1 et le
reste est r + r’ – 17.