Sujet

École des Mines de Douai — FI1A Mathématiques
Année 2007-2008
Devoir surveillé du 13 mai 2008
Durée : 2h. Aucun document n’est autorisé. La calculatrice école est autorisée.
L’orthographe et la clarté seront pris en compte dans l’appréciation de la copie.
Les quatre problèmes sont indépendants ; on veillera à bien numéroter les questions sur
la copie.
Problème 1
Une entreprise employant des personnes originaires de quatre villes A, B, C et D, a
son siège dans la ville A.
25
C
D
50
A
20
15
40
B
Cette entreprise envisage un déménagement dans la ville B, et effectue pour cela un
sondage auprès de ses employés, afin de savoir s’ils sont favorables à ce déménagement.
Les résultats sont consignés dans le tableau suivant.
Domicile de l’employé Proportion Favorables Trajet domicile-A Trajet domicile-B
A
30%
1%
0 km
20 km
B
30%
95%
20 km
0 km
C
20%
50%
25 km
15 km
D
20%
40%
50 km
40 km
1.
1.1 Un employé est choisi au hasard. Quelle est la probabilité qu’il soit favorable au
déménagement ?
1.2 On interroge cet employé et il se déclare favorable au déménagement. Quelle est
la probabilité qu’il provienne de chacune des villes A, B, C ou D ?
2. On note G la variable aléatoire indiquant le gain (éventuellement négatif) en km sur
chaque trajet domicile-travail d’un employé.
2.1 Quelles sont les valeurs possibles de G ? Préciser la loi de probabilité de G.
2.2 En déduire l’espérance mathématique de G.
3. Parmi tous les employés favorables au déménagement, quelle est l’espérance de ce gain ?
1
Année 2007-2008
Mathématiques École des Mines de Douai — FI1A
Problème 2
Un étudiant se présente à une épreuve de type QCM où, pour chacune des n questions
posées, 5 réponses sont proposées dont une seule est correcte.
S’il connaît la bonne réponse, l’étudiant la sélectionne. Sinon, il sélectionne une réponse
au hasard.
Le nombre de questions dont l’étudiant connaît la réponse est noté c. On suppose que
toutes les questions sont de difficultés égales.
1. On considère une question particulière. Les résultats demandés seront donnés en fonction de
c et n, puis explicités sous forme de fraction irréductible lorsque nc = 12 .
1.1 Montrer que la probabilité que l’étudiant sélectionne la bonne réponse est
n + 4c
p=
.
5n
1.2 Si l’étudiant donne la bonne réponse, quelle est la probabilité qu’il connaisse effectivement la réponse ?
2. On note X le nombre de bonnes réponses données par l’étudiant.
2.1 En précisant les hypothèses éventuellement nécessaires, déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2.2 Donner l’espérance et la variance de X en fonction de c et n. Expliciter ces valeurs
lorsque n = 20 et c = 10.
3. Le correcteur décide d’attribuer, pour chaque question, un score de 1 si la réponse est
correcte, et score de −m (où m est un réel strictement positif, «malus») si la réponse est
mauvaise. Le score total est noté S.
3.1 Exprimer S en fonction de X. En déduire l’espérance et la variance de S en fonction
de c et n.
3.2 Pour quelle(s) valeur(s) de m a-t-on E[S] = c ?
Problème 3
On considère une variable aléatoire X continue dont la densité de probabilité est la
fonction f définie sur R par
f (x) =

1


 2 cos x
1
2



0
sin x
si 0 6 x < π2
si π2 6 x < π
sinon.
1.
1.1 Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
1.2 Étudier f et la représenter graphiquement.
1.3 Calculer la fonction de répartition de X et la représenter graphiquement.
2. Justifier que l’espérance de X existe et la calculer.
3. On pose Y = cos X.
3.1 Justifier que E[Y ] existe et la calculer.
3.2 Déterminer la fonction de répartition de Y .
2
École des Mines de Douai — FI1A Mathématiques
Année 2007-2008
Problème 4
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X suit la loi de
Poisson P(λ) (où λ > 0) et Y suit la loi géométrique de paramètre p (où p ∈]0, 1[).
On rappelle que dans ce cas
Y (Ω) = N∗
et ∀n ∈ N∗ ,
P (Y = n) = p(1 − p)n−1 .
1. Cours Rappeler la définition de cette loi P(λ). Donner (sans démonstration) l’espérance et la variance de X.
2. Démontrer que l’espérance de Y existe et la calculer.
3.
3.1 Exprimer la probabilité P (X = Y ) en fonction de p et λ.
3.2 Que vaut l’espérance de X Y ?
Bon courage !
Barème indicatif :
Problème
Problème
Problème
Problème
1
2
3
4
Question 1
1.1 1.2 1.3
1
1
1
1
1
1
2
1
Question 2
2.1
2.2
1,5
1
1
1
1,5
1,5
Question 3
3.1
3.2
1
1,5
1
2
2
1,5
1
Total
5,5
6,5
9,5
5
3