CARRÉ ET RACINE CARRÉE. 1. Carré ( )2 ( )2

C L A S S E
D E
T R O I S I E M E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S
CARRÉ ET RACINE CARRÉE.
1. Carré
1.1
Définition.
On appelle carré d'un nombre a, le nombre obtenu en multipliant a par lui même.
On note :
a2 = a × a
1.2
1.
Propriétés.
Tout carré est positif
En effet, par exemple :
(−5)
2
= ( −5) × ( −5) = 25
Puisqu'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le résultat sera positif.
2.
Deux nombres opposés possèdent le même carré.
En effet :
52 = 5 × 5 = 25
( −5)
et
2
= ( −5 ) × ( −5 ) = 25
Puisque les signes "− " disparaissent, il ne restera que la partie numérique, qui est la même dans
les deux cas.
1.3
Carré d'une puissance.
Le raisonnement est le même : si on doit élever une puissance d'un nombre au carré, il faut
multiplier cette puissance par elle même.
Ainsi :
(a )
3
2
= a3 × a3 = a6
Plus généralement :
(a )
n
2
= an × an = a2× n = a2n
On remarque que lorsque la puissance d'un nombre a est un carré, alors son exposant est pair.
Conclusions :
ƒ
Pour élever la puissance d'un nombre au carré, il suffit de multiplier son exposant par 2.
ƒ
Si l’exposant d’une puissance est pair, alors il s’agit d’un carré.
Exemples :
3
= ⎡( −3) ⎤
⎣
⎦
ƒ
( −3)
ƒ
810 = ( 85 )
6
2
2
ainsi
( −3)
10
ainsi 8
6
est le carré de
( −3)
3
5
est le carré de 8
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée.
1
C A R R É
E T
R A C I N E
C A R R É E
EXERCICE 1
A rédiger.
Donner sans aucun calcul le signe des nombres suivants :
( −3 )
6
−36
( −5 )
5
55
( −3 )
−2
( −3 )
7
− ( −3)
7
2. Racine carré d'un nombre positif a.
2.1
Définition.
On appelle racine carrée d'un nombre positif a, le nombre positif noté a , dont le carré est a.
Ainsi :
Si a ≥ 0 , alors
2.2
( a)
2
=a
Conséquences :
ƒ La fonction
doit obligatoirement s'appliquer à un nombre positif, car on considère
ce nombre comme un carré, et qu'un carré est toujours positif.
2.3
−16 n'a aucun sens !
ƒ
Ainsi l'écriture
ƒ
Par ailleurs, l'écriture
x − 3 n'aura de sens que si x − 3 ≥ 0 , donc si x ≥ 3
Propriété.
Le résultat du calcul d'une racine carrée est un nombre positif.
Ainsi :
a2 = a , avec a ≥ 0
Avec des nombres, cela donnera :
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée
2
C L A S S E
D E
T R O I S I E M E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S
62 = 6
ƒ
ƒ
( −6 )
2
mais :
= − ( −6 ) = 6
Remarquer qu'ici il a fallu prendre l'opposé de ( −6 ) , afin de rendre le résultat positif.
Rappel : deux nombres opposés on la même partie numérique, mais un signe différent.
C'est exactement pour cette raison que l'on écrira :
(1 − 5 )
2
ƒ
(
)
= − 1 − 5 = 5 −1
puisque le nombre 1 − 5 est négatif, on le rend positif en écrivant son opposé.
Je vous prie de bien étudier et comprendre cette notion importante : elle vous sera très utile pour plus
tard.
2.4
Racine carrée d'une puissance.
2.4.1
Si une puissance a un exposant pair, alors elle représente un carré.
ƒ Rappelons que pour élever une puissance au carré, il suffit de multiplier son
exposant par 2.
ƒ
Pour prendre la racine carrée d'une puissance, il suffit de diviser son exposant par 2.
Exemple :
54 = 52
EXERCICE 2
A chercher
ou encore :
Écrire sans le symbole
( −3)
(
1010 = 105
.
2
)
3 −1
2
(1 − 2 )
2
510
( −5 )
8
−58
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée.
3
C A R R É
2.4.2
E T
R A C I N E
C A R R É E
Attention : un exposant impair peut cacher un carré !
Ainsi :
47 = ( 22 ) = ( 27 ) = 214
7
2
On écrira donc que :
47 =
(2 )
7 2
= 27
3. Ordre des carrés et des racines carrées.
3.1
3.2
Observations :
ƒ
On sait que 3 < 5 , et on peut calculer que : 32 < 52 , c'est à dire que : 9 < 25
ƒ
On sait que 25 < 49 , et on peut calculer que :
25 < 49 , c'est à dire que : 5 < 7
On retiendra que :
Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés ou que leurs racines carrées.1
3.3
Utilisation :
On utilise cette propriété, pour comparer deux nombres.
Exemple :
On veut comparer 2 3 et 3 2
Pour cela, ces deux nombres étant positifs, nous allons comparer leurs carrés.
(2 3 )
2
On a :
Or : 12 < 18
EXERCICE 3
A chercher
= 12
(3 2 )
2
et
donc
12 < 18
= 18
c'est à dire : 2 3 < 3 2
Comparer les nombres suivants :
−7 2 et −5 3
1
Attention : cette remarque ne tient plus si les nombres sont négatifs.
En effet : on a −7 < −5 , mais ( −5) < ( −7 )
2
2
L'élévation au carré fait passer des nombres négatifs aux nombres positifs. Donc l'ordre change.
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée
4
C L A S S E
D E
T R O I S I E M E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S
4. Règles de calcul.
4.1
Produit ou quotient de racines carrées.
Pour tout a et b positifs, on a :
a × b = ab
Si en plus on a b ≠ 0 , alors :
a
b
=
a
b
Exemples :
EXERCICE 4
ƒ
50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2
ƒ
5
=
49
5
49
=
5
7
Simplifier les expressions :
A rédiger.
24 × 6 =
80 × 5 =
2 × 6 × 27 =
80 =
80
=
5
15 ×
4.2
6
=
125
Somme de racines carrées.
Il n'existe aucune règle de calcul.
Si a et b sont non nuls, alors :
a + b ≠ a+b
En effet 9 + 16 ≠ 25 , car 3 + 4 = 7 ≠ 5
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée.
5
C A R R É
4.3
E T
R A C I N E
C A R R É E
Retenir que :
a× a =a
ƒ
mais que :
a+ a=2 a
ƒ
Exemples de calcul.
1.
(2 3 )
2.
Avec les identités remarquables :
2
= 22 ×
ƒ
(
( 3)
2
5+ 3
)
2
= 4 × 3 = 12
= 5 + 2 15 + 3 = 8 + 2 15 .
Ici on a développé une forme ( a + b) = a2 + 2ab + b2
2
ƒ
(2
3 −3 5
)
2
= 12 − 2 × 2 3 × 3 5 + 45 = 57 − 12 15 .
Ici on a développé une forme ( a − b) = a2 − 2ab + b2 .
2
ƒ
(2
)(
)
3 + 3 5 2 3 − 3 5 = 12 − 45 = −33 .
Ici on a développé une forme ( a − b)( a + b) = a2 − b2
Remarque :
Vous pouvez constater que dans le dernier exemple, le produit ( a + b)( a − b) fourni
comme réponse une différence de deux carrés, de la forme a2 − b2 , qui de par sa structure, ne
possède plus de racine carrée.
(
)
On dit que des expressions telles que 2 3 + 3 5 et
(2
)
3 − 3 5 sont conjuguées l'une
de l'autre.
EXERCICE 5
A rédiger.
Effectuer les calculs suivants :
(2 3)
(3 5 )
4
=
2
=
(2
3+5
)
(2
14 − 5 7
2
=
)
2
=
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée
6
C L A S S E
D E
T R O I S I E M E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S
⎛3
⎞⎛ 2
⎞
2 + 5⎟ ⎜
2 − 3⎟ =
⎜
⎝4
⎠⎝ 3
⎠
4.4
1.
Application : rendre rationnel le dénominateur d'une fraction.
3
Soit la fraction
2
, dont on veut faire disparaître
2 du dénominateur.
Principe : si on multiplie le numérateur et le dénominateur par
valeur de la fraction, et on atteint l'objectif fixé.
2 , on ne modifiera pas le
Il vient donc :
3
2
2.
=
3× 2
2× 2
=
6
2
Autre exemple : rendre rationnel le dénominateur de la fraction :
3
2 3 −1
Pour y parvenir, nous allons multiplier les deux membres de cette fraction par l'expression
(
)
conjuguée du dénominateur, qui est 2 3 + 1 .
Il vient :
3
2 3 −1
EXERCICE 6
=
3
2 3 −1
×
2 3 +1
2 3 +1
=
2× 3 + 3 6 + 3
=
12 − 1
11
Rendre rationnel le dénominateur des fractions suivantes, puis effectuer le calcul :
A rédiger.
A=
3
1
2 3
−
+
3
3 −1 3 3 +1
A=
A=
A=
A=
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée.
7
C A R R É
E T
R A C I N E
C A R R É E
5. Équations avec des carrés.
Résolution de l'équation x2 = a
5.1
Le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de a.
ƒ
Si a > 0 , alors l'équation x2 = a admet les deux solutions :
ƒ
Si a < 0 , alors l'équation x2 = a n'a aucune solution.
ƒ
Si a = 0 , alors l'équation x2 = a a une seule solution qui est : x = 0
a et − a .
Exemples :
ƒ
L'équation : x2 = 81 a deux solutions, qui sont : −9 et 9.
ƒ
L'équation : x2 = 3 a deux solutions qui sont : − 3 et
ƒ
l'équation : x2 = −16 n'admet aucune solution.
5.2
3
Résolution d'une équation du second degré.
Exemples :
1.
Résoudre l'équation :
( x + 1)( x + 2) − 5 ( x + 2) = 0
Le principe est simple : vous devez factoriser cette expression.
( x + 2) ( x + 1) − 5
On écrira donc :
=0
( x + 2)( x − 4 ) = 0
d'où, en réduisant le crochet :
Ceci est une équation produit.
Un produit est nul si un de ses facteurs est nul. Donc ce produit es nul si :
ƒ
x+2=0
donc si :
ƒ
ou si : x − 4 = 0
donc si :
x = −2
x=4
Conclusion :
Cette équation admet les deux solutions : 4 et −2
2.
Résoudre l'équation :
9 x2 − 12 x + 4 = 0
Cette équation peut s'écrire :
(3 x − 2 )
2
=0
On a en effet reconnu le développement d'une identité remarquable.
Ce carré est nul si :
3 x − 2 = 0 , donc si :
x=
2
3
Conclusion :
L'équation admet l'unique solution :
2
3
www.maths-learning.fr
Carré et racine carrée
8