CARRÉ ET RACINE CARRÉE. 1. Carré ( )2 ( )2

CLASSE DE TROISIEME
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Carré et racine carrée. 1
CARRÉ ET RACINE CARRÉE.
1. Carré
1.1 Définition.
On appelle carré d'un nombre a, le nombre obtenu en multipliant a par lui même.
On note :
2
aaa=×
1.2 Propriétés.
1. Tout carré est positif
En effet, par exemple :
() ()()
2
55525−=−×−=
Puisqu'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le résultat sera positif.
2. Deux nombres opposés possèdent le même carré.
En effet :
2
55525=×=
et
() ()()
2
55525−=−×−=
Puisque les signes ""− disparaissent, il ne restera que la partie numérique, qui est la même dans
les deux cas.
1.3 Carré d'une puissance.
Le raisonnement est le même : si on doit élever une puissance d'un nombre au carré, il faut
multiplier cette puissance par elle même.
Ainsi :
(
)
2
3336
aaaa=×=
Plus généralement :
(
)
222nnnnn
aaaaa
×
=×= =
On remarque que lorsque la puissance d'un nombre a est un carré, alors son exposant est pair.
Conclusions :
 Pour élever la puissance d'un nombre au carré, il suffit de multiplier son exposant par 2.
 Si l’exposant d’une puissance est pair, alors il s’agit d’un carré.
Exemples :
() ()
2
63
33
⎡⎤
−=−
⎣⎦
ainsi
()
6
3− est le carré de
()
3
3−
()
2
10 5
88= ainsi
10
8 est le carré de 5 8

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Donner sans aucun calcul le signe des nombres suivants :
()
()
()
()
()
6
6
5
5
2
7
7
3
3
5
5
3
3
3
−
−
−
−
−
−
−−
2. Racine carré d'un nombre positif a.
2.1 Définition.
On appelle racine carrée d'un nombre positif a, le nombre positif noté a, dont le carré est a.
Ainsi :
Si 0a≥, alors
(
)
2
aa=
2.2 Conséquences :
 La fonction doit obligatoirement s'appliquer à un nombre positif, car on considère
ce nombre comme un carré, et qu'un carré est toujours positif.
 Ainsi l'écriture 16− n'a aucun sens !
 Par ailleurs, l'écriture 3x− n'aura de sens que si 30x−≥, donc si 3x≥
2.3 Propriété.
Le résultat du calcul d'une racine carrée est un nombre positif.
Ainsi :
2
aa=, avec 0a≥
Avec des nombres, cela donnera :
EXERCICE 1
 A rédiger.

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 2 66=
 mais :
() ()
2
666−=−−=
Remarquer qu'ici il a fallu prendre l'opposé de
(
)
6−, afin de rendre le résultat positif.
Rappel : deux nombres opposés on la même partie numérique, mais un signe différent.
C'est exactement pour cette raison que l'on écrira :
()()
2
15 15 51−=−−=−
puisque le nombre 15− est négatif, on le rend positif en écrivant son opposé.
Je vous prie de bien étudier et comprendre cette notion importante : elle vous sera très utile pour plus
tard.
2.4 Racine carrée d'une puissance.
2.4.1 Si une puissance a un exposant pair, alors elle représente un carré.
 Rappelons que pour élever une puissance au carré, il suffit de multiplier son
exposant par 2.
 Pour prendre la racine carrée d'une puissance, il suffit de diviser son exposant par 2.
Exemple :
42
55= ou encore : 10 5 10 10=
Écrire sans le symbole .
()
()
()
()
2
2
2
10
8
8
3
31
12
5
5
5
−
−
−
−
−
EXERCICE 2
 A chercher

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2.4.2 Attention : un exposant impair peut cacher un carré !
Ainsi :
() ()
72
72 7 14
42 2 2===
On écrira donc que :
()
2
777
422==
3. Ordre des carrés et des racines carrées.
3.1 Observations :
 On sait que35<, et on peut calculer que : 22
35<, c'est à dire que : 925<
 On sait que25 49<, et on peut calculer que : 25 49<, c'est à dire que : 57<
3.2 On retiendra que :
Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés ou que leurs racines carrées.1
3.3 Utilisation :
On utilise cette propriété, pour comparer deux nombres.
Exemple :
On veut comparer 23 et 32
Pour cela, ces deux nombres étant positifs, nous allons comparer leurs carrés.
On a :
(
)
2
23 12= et
(
)
2
32 18=
Or : 12 18< donc 12 18< c'est à dire : 23 32<
Comparer les nombres suivants :
72− et 53−
1 Attention : cette remarque ne tient plus si les nombres sont négatifs.
En effet : on a 75−<−, mais
() ()
22
57−<−
L'élévation au carré fait passer des nombres négatifs aux nombres positifs. Donc l'ordre change.
EXERCICE 3
 A chercher

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4. Règles de calcul.
4.1 Produit ou quotient de racines carrées.
Pour tout a et b positifs, on a :
ab ab×=
Si en plus on a 0b≠, alors :
aa
b
b=
Exemples :
 50 25 2 25 2 5 2=×= ×=
 555
49 7
49
==
Simplifier les expressions :
24 6
80 5
2627
80
80
5
6
15 125
×=
×=
×× =
=
=
×=
4.2 Somme de racines carrées.
Il n'existe aucune règle de calcul.
Si a et b sont non nuls, alors :
ab ab+≠+
En effet 916 25+≠, car 3475+=≠
EXERCICE 4
 A rédiger.