a)2

Cours - Racines Carrées
Un carré parfait est le carré d’un entier.
Par exemple :
122=144 est un carré parfait.
Voici les 13 premiers carrés parfaits :
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
Il faudra régulièrement les reconnaître...
La racine carrée du nombre positif Pest le
nombre positif Ntel que N2=P.
Notation : N=√P (symbole radical)
Remarques :
– On ne peut pas trouver de nombre dont le carré
est négatif ; il est donc impossible de parler de
racine carrée d’un nombre négatif.
– Les racines carrées des carrés parfaits
s’obtiennent « naturellement » :
√4=2 ; √9=3 ; √16 =4 ; √25 =5
√36 =6 ; √49 =7 ; √64 =8 ; √81 =9 ;
√100 =10 ; √121 =11 ; √144 =12 ; √169 =13
– Les racines carrées ne tombent pas toujours
« juste » ; par exemple :
√2≃1, 414 √42 ≃6, 481
Carré et Racine carrée...
Si a>0, alors √a2=aet √a2=a.
Commentaires :
– Par exemple, √32=3 et √32=√9=3.
–Attention !
Si a<0, la première formule n’a aucun sens : on
ne peut pas parler de racine carrée d’un nom-
bre négatif. La seconde formule est elle-aussi
fausse ; voici un contre-exemple :
p(−5)2=√25 =56= (−5)
Equation du type « x2=a» avec afixé
– Si a>0, cette équation possède exactement
deux solutions : +√aet −√a.
– Si a=0, cette équation possède exactement
une solution : zéro.
– Si a<0, cette équation n’a pas de solution.
Nous allons apprendre à manipuler des radicaux
sans les calculer (comme en calcul littéral, où on
manipule des lettres : les variables).
Racine carrée / Produit et Quotient
Si a>0 et b>0, alors :
√a×b=√a×√bra
b=√a
√b
– Par exemple :
√2×√18 =√2×18 =√36 =6
√14
√2=r14
2=√7
–Attention !
En général, (√a+b6=√a+√b
√a−b6=√a−√b
En voici deux contre-exemples :
(5=√25 =√16 +96=√16 +√9=4+3=7
4=√16 =√25 −96=√25 −√9=5−3=2
Calcul « quasi-litteral »
Le calcul avec des racines carrées fonctionne
parfois comme un calcul littéral ; ainsi :
6×xs’écrit 6x!6×√7 s’écrit 6√7.
De même :
6x−20x=−14x!6√7−20√7=−14√7
Simplification d’un radical
Par exemple :
√243 =p81 ×3=√81 ×√3=9√3
Application : Considérons l’expression :
E=3√28 −2√700
Elle est du type « 3x−2y» mais simplifiable :
E=3√28 −2√700
=3×p4×7−2×p100 ×7
=3×p4×√7−2×p100 ×√7
=3×2
|{z}×√7−2×10
|{z }×√7
=6√7−20√7
=−14√7