Compléments Maths et Oral : Exercices sur les suites et les séries.

Exercice 4
Étudier la convergence et éventuellement les limites des suites de termes généraux
Compléments Maths et Oral : Exercices sur les
suites et les séries.
n Y
1)
k=1
1
1− 2
k
n Y
k
1+ 2 .
n
2)
k=1
Exercice 5
Licence 2 MAE 2016-2017
Université Paris Descartes
Marc Briant
1. Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites de [0, 1] telles que
lim an bn = 1. Que
n→+∞
peut-on dire des suites (an )n∈N et (bn )n∈N ?
2. Soient (xn )n∈N et (yn )n∈N deux suites réelles telles que lim (x2n + xn yn + yn2 ) =
n→+∞
0. Montrer que les suites (xn )n∈N et (yn )n∈N convergent vers 0.
Convergence, limites et équivalences de suites
Exercice 6 : Convergences de Cesàro
Exercice 1
Calculer les limites des suites suivantes :
n+2
n−1
x n
, x ∈ R 2)
1)
1+
n
n+1
4)
1
1
n2 cos − cos
n
n+1
tann
5)
π
4
+
x
n
Dans ce qui suit, (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles ou complexes qui
convergent respectivement vers l et l0 .
3)
ln(n + 1)
ln(n)
6)
1. Montrer que lim
nln(n)
arctan(n + 1)
arctan n
n→+∞
R
π
2
0
= l.
2. Montrer que la suite définie par zn =
vers ll0 .
1
n
(u1 vn + u2 vn−1 + · + un v1 ) converge
n2
.
Exercice 2 : Les intégrales de Wallis et formule de Stirling
Pour n dans N on définit In =
u1 +···+un
n
sinn (x) dx.
Exercice 7
Soit (an )n∈N une suite d’éléments de ]0, 1[ qui converge vers a. Pour n de N on
n
P
définit bn =
an−k
.
k
k=0
1. Montrer que la suite (In )n∈N est décroissante puis trouver une relation
r de récurπ
In+1
rence afin d’établir que lim In = 1. En déduire que In ∼
.
n→+∞
n→+∞
2n
2. Calculer In pour tout n.
nn e−n
n!
√
n
3. On considère la suite (un )n∈N définies par un =
. En étudiant la série de
n n
√
un+1
terme générale ln un
déduire la formule de Stirling n! ∼
2πn
.
n→+∞
e
Exercice 3
Déterminer les limites des suites de termes généraux
v
u n n−1
2n
X
uY
1
k
1
1 Y 2
2 n
n
t
√
1)
1+
2)
3)
n
+
k
.
n
n2
n2 − k 2
k=1
k=0
k=0
1. Montrer que (bn ) tend vers 1 si a = 0 et diverge vers +∞ si a = 1.
2. Étudier la convergence et, le cas échéant, donner la limite de (bn ) lorsque a ∈]0, 1[.
Exercice 8
Soit ϕ une bijection de N∗ dans N∗ telle que la suite
ϕ(n)
n
n∈N∗
converge. Que
peut-on dire de la limite ?
Exercice 9 : Racines itérées
Soit (an )n∈N une suite de R+ . On pose ac
n =
q
a1 +
p
a2 + · · · +
√
an .
1. Étudier (c
an )n∈N lorsque an est constante puis lorsque an = n.
1 2. Montrer que (c
an )n∈N converge si et seulement si an2n
est bornée.
n∈N
Exercice 10
Exercice 14
1. Montrer que pour tout n de N il existe une unique solution positive à x3 +nx = 1
que l’on notera xn . Donner un développement limité à deux termes de xn quand
n tend vers +∞.
Soit (an )n∈N une suite positive bornée et (un )n∈N la suite récurrente définie par
u0 > 0 et un+1 = un +a1 n +1 . Montrer que (un )n∈N converge si et seulement si (an )n∈N
converge.
2. Pour tout n ∈ N∗ montrer que ex = n − x admet une unique solution xn dans R
et donner un développement asymptotique à l’ordre 3 de xn quand n tend vers
+∞.
Exercice 15
3. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , le polynôme X n −X −1 admet une unique racine
positive xn et donner un développement asymptotique à l’ordre 3 de xn quand
n tend vers +∞.
Suites définies par récurrence
Dans chacun des cas suivants, étudier la convergence et donner un équivalent quand
n tend vers +∞ des suites définies par récurrence :
√
1. u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 = u0 + · · · + un .
2. u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = |un − n|
3. u0 ∈]0, π2 [ et ∀n ∈ N, un+1 = sin un .
4. u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = un − u2n .
5. u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = un + e−un .
Exercice 11
Suites extraites et densité
Étudier les suites définies par récurrence :
√
1. u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 1 + un .
2. u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 =
Exercice 16
3
2u2n +1 .
3. u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = e
un
Soit (xn )n∈N une suite telle que les suites extraites (x2n )n∈N , (x2n+1 )n∈N et
(x3n )n∈N convergent. Montrer que (xn )n∈N converge.
− 1.
4. u0 ∈ C avec 0 < |u0 | < 1 et ∀n ∈ N, un+1 =
un
2−un .
Exercice 17
Exercice 12
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N définies par u0 > v0 > 0 et les relations de récurrences :
∀n ∈ N,
un+1 =
u n + vn
2
et vn+1 =
2un vn
.
un + vn
Établir la convergence des deux suites.
Exercice 13 : Moyenne arithmético-géométrique
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. On pose u0 = a et v0 = b puis on définit
par récurrence les suites
∀n ∈ N,
un+1 =
un + vn
2
et vn+1 =
√
un vn .
Montrer que (un )n∈N et (vn )n∈N convergent vers une limite commune M (a, b). En
√
b2 − a2
a
.
s’aidant de α = arccos b démontrer que M (a, b) =
arccos ab
On considère la suite (xn )n>2 définie par xn = dnn où dn désigne le plus petit
nombre premier positif divisant n.
1. Montrer que pour tout entier p > 2 la suite extraite (xpn )n>2 converge dans R.
2. Montrer que la suite (xn )n∈N est divergente.
Exercice 18
Soit (un )n∈N une suite réelle bornée.
1. Montrer que si (un )n∈N n’admet qu’une unique valeur d’adhérence alors elle
converge.
2. Montrer que si la suite un + u22n converge vers 1 alors (un )n∈N converge et déterminer sa limite.
Exercice 19
Soient (an )n∈N , (bn )n∈N et (cn )n∈N trois suites réelles vérifiant
lim (an + bn + cn ) = 0 et
n→+∞
lim
n→+∞
Montrer que les trois suites convergent vers 0.
ean + ebn + ecn = 3.
Exercice 25
Études asymptotiques et calculs de somme
Exercice 20
P
P
Soient un et vn deux séries à termes strictement positifs. Démontrer la conver√
vn
.
gence des séries de termes généraux max {un , vn }, un vn et uunn+v
n
Dans chacun des cas suivants étudier la nature de la série en fonction de (a, b, c) ∈
R3 et calculer sa somme lorsqu’il y a convergence :
X
X √
√
√
(ln(n) + aln(n + 1) + bln(n + 2))
2)
n+a n+1+b n+2
1)
n>1
n>1
Exercice 21 : La série harmonique
a
b
c
a
b
c
√ + √ + √ + √ + √ + √ + ··· .
1
2
3
4
5
6
3)
Pour n > 1 on pose Hn = 1 + 21 + · · · + n1 .
1. En étudiant H2n − Hn prouver que cette suite diverge vers +∞.
2. Montrer que les suites αn = Hn − ln(n) et βn = Hn − ln(n + 1) convergent dans
R. Cette limite notée γ est la constante d’Euler.
3. Démontrer le développement asymptotique suivant
1
1
1
Hn = ln(n) + γ +
−
+o
.
2
2n 12n
n2
4. On pose kn = min {k ∈ N∗ , Hk > n}. Déterminer lim
n→+∞
kn+1
kn .
Exercice 26 : Des termes généraux par récurrence
1. Soit u0 ∈]0, π2P
[ et un+1 = sin un pour tout n ∈ N. En considérant un+1 P
− un
u2n
montrer que
u3n converge puis en considérant vn = lnun montrer que
diverge.
(−1)n un
2. Soit u0 > 0 et un+1 = 1 − e−un . Étudier les séries de termes généraux
P
P un+1 2
un en vous aidant de
ln un .
et un . Enfin, déterminer la nature de
P
3. Soit u0 > 0 et un+1 = ln(1 + un ). Étudier
un .
Exercice 27
Exercice 22 : Les séries de Bertrand
cos(ln(n))
n sin(ln(n))
et vn = (−1)
.
n
n
1. Montrer que la série de terme général un diverge.
P
2. Montrer que
vn converge. On pourra se servir de v2n + v2n+1 ...
Pour α et β deux réels, montrer que
X
1
converge ⇔ (α > 1) ou (α = 1 et β > 1) .
β
α
n>2 n (ln(n))
On considère les suites définies par un =
Exercice 23
Exercice 28
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
n
n2
e − 1 + n1
ch(n)
n
1) un =
2) un =
3) un = 3/2
ch(2n)
n+1
n − bn3/2 c + n
1
a(a + 1) · · · (a + n − 1)
4) un = cos n2 πln 1 −
5) un =
, pour a > 0.
n
n!
Étudier lim n
n→+∞
+∞
P
k=n
k
1 n
k2 e .
Exercice 29
On pose sn =
n
P
k=1
(−1)k
k
et un = ln (esn − 1). Étudier la nature de
P
un . On pourra
écrire sn comme s − rn où s = lim sn ...
n→+∞
Exercice 24
Des séries plus théoriques
Calculer la valeur des sommes suivantes où a > 0 et x ∈ R\ {1} :
1)
4)
X
1
n(n + 1)(n + 2)
X
1+
22
1
+ · · · + n2
2)
5)
X
X
n
P
a
+∞
X
n>0 k=n
k=1
1
k
3)
k
(−1)
k2
6)
Exercice 30 : Critère de condensation de Cauchy
X
1
n
(−1) ln 1 +
n
x
X
(1 −
n
xn )(1
− xn+1 )
.
SoitP(un )n∈N une suite réelle décroissante
P net positive. Montrer que pour tout entier
p > 2,
un converge si et seulement si
p upn converge.
X 1
X
1
Appliquer ce critère aux séries
et
.
nln(n)
nln(n)ln (ln(n))
Un petit mélange de genres
Exercice 31 : Règle de Raabe-Duhamel
1. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de R+∗ telles qu’à partir d’un certain rang
vn+1
un+1
= O(vn ).
un 6 vn . Montrer que un
n→+∞
2. Supposons que nous ayons le développement asymptotique suivant :
un+1
1
α
=1− +o
.
un
n
n2
P
Étudier la nature de la série
un en fonction de α.
Soient α ∈ R et f ∈ C ([0, 1], R) avec f (0) 6= 0. Étudier la convergence de la série
Z 1/n
1
de terme général un = α
f (tn ) dt.
n 0
Soit (an )n∈N une suite positive décroissante de limite nulle et (Sn )n∈N une suite
bornée.
P
1. P
Montrer que la série (an+1 − an )Sn est convergente. En déduire que la série
an (Sn − Sn−1 ) est convergente.
P cos(nθ)
2. Établir que pour tout θ ∈ R\2πZ,
est convergente.
n
P zn
3. Soit zn le terme général d’une série réelle convergente.
Démontrer que
n =
P
o n1 . On pourra introduire le reste d’ordre n de
zn ...
P
P
4. Soit (un )P
un et
|un+1 − un | convergent. Monn∈N une suite réelle telle que
trer que
u2n converge.
Soit (un )n∈N une suite réelle décroissante et positive.
P
P
vn et
un sont de même nature.
1. On pose vn = nun2 et montrer que
2. On pose maintenant vn = n2 un2 . Le résultat précédent est-il toujours vrai ?
Exercice 34
1
1+n2 un .
Montrer
Exercice 35
Soit
Rn =
P
un une série à termes strictement positifs convergente. On note son reste
+∞
P
uk et on suppose que un
k=n+1
∼
n→+∞
Exercice 39
Soit f : [1, +∞[−→ R∗+ de classe C 1 telle que
P
Rn2 . Déterminer un équivalent de un .
Exercice 36
Soit (un )n>1 une suite de réels strictement positifs.
Pour n > 1 on pose vn =
P
où Sn = u1 + · · · + un . Déterminer la nature de
vn .
un
Sn
xf 0 (x)
= l. Montrer que
x→+∞ f (x)
lim
f (n) converge si l > −1 et diverge si l < −1.
Exercice 40
Soit f à valeurs réelles de classe C 2 sur [0, +∞[ telle que f 00 et f sont intégrables
sur [0, +∞[.
1. Prouver que lim f 0 (t) = 0 et lim f 0 (t) = 0.
t→+∞
t→+∞
P
P 0
2. Étudier les séries
f (n) et
f (n).
Exercice 33 : Un peu plus de critères de concentration
N
Soit f : [a, b] −→ [a, b] une fonction de classe C 1 telle que ∀x ∈ [a, b], |f 0 (x)| < 1.
Montrer que f admet un unique point fixe α puis que pour tout a0 de [a, b], la suite
définie par u0 = a0 et un+1 = f (un ) converge vers α.
Exercice 38
Exercice 32 : Des transformations d’Abel
+
Soient
P (un )n∈N et (vn )n∈N
P dans (R ) telles que : ∀n ∈ N, vn =
que si
vn converge alors
un diverge.
Exercice 37
Exercice 5
Compléments Maths et Oral : Exercices sur les
espaces vectorielles et les applications linéaires.
Pour p ∈ N et a ∈ R\ {0, 1} on note Sp l’ensemble des suites (un )n∈N telles que :
∃P ∈ Rp [X], ∀n ∈ N, un+1 = aun + P (n).
1. Montrer que Sp est un R-ev et que si u ∈ Sp alors P est unique, on le notera Pu .
2. Montrer que φ : u 7→ Pu est linéaire et décrire son noyau et son image.
3. Donner une base de Sp et en déduire l’expression de un définie par u0 = −2 et
un+1 = 2un − 2n + 7. On pourra utiliser Rk = (1 + X)k − aX k ...
Licence 2 MAE 2016-2017
Université Paris Descartes
Marc Briant
Exercice 6
On considère C comme un R-ev. Montrer que les endomorphismes f de C sont exactement les (z 7→ az + bz) avec a et b complexes puis donner une condition nécessaire
et suffisante sur a et b pour que f soit bijective.
Des espaces vectorielles particuliers
Exercice 7
Exercice 1
Pour n ∈ N nous considérons E = Rn [X] et pour tout i de {0, . . . , n} on note
Fi = {P ∈ E : ∀j ∈ {0, n} \ {i} , P (j) = 0}.
L L
Montrer que les Fi sont des sous-ev de E et que E = F0 · · · Fn .
Montrer que pour tout n ∈ N il existe un unique polynôme Pn dans Rn+1 [X] tel
que Pn (0) = 0 et Pn (X + 1) − Pn (X) = X n .
Des espaces vectorielles en toute généralité
Exercice 8
Exercice 2
On se place dans l’espace E des fonctions continues de [−1, 1] à valeurs réelles.
L L
1. Établir que E = F1 F2 F3 où nous prenons F1 = {f ∈ E : f est constante},
F2 = {f ∈ E : ∀t ∈ [−1, 0], f (t) = 0} et F3 = {f ∈ E : ∀t ∈ [0, 1], f (t) = 0}.
o
n
R1
2. On définit F = f : −1 f (t)dt = 0 et G = {f : f = cte}. Montrer que F et G
sont des sous-ev supplémentaires de E.
Exercice 3
Sous E un R-ev.
1. À quelle condition la réunion de deux sous-ev de E est-elle un sous-ev ?
2. Soient V1 , . . . , Vn des sous-ev de E différents de E. Montrer que E 6= V1 ∪· · ·∪Vn .
Exercice 9
Soit E un K-ev. Caractériser les endomorphisme f ∈ L(E) telle que pour tout x
de E la famille (x, f (x)) est liée.
Soient 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 des réels et F l’ensemble des fonctions continues
de [0, 1] dans R dont la restriction à chaque [xi , xi+1 ] est affine. Établir que F est un
R-ev et déterminer sa dimension.
Exercice 10
Exercice 4
Exercice 11 : Opérations sur des projecteurs
∞
∗
On considère le R-ev des fonctions C de R dans R. On fixe n dans N et on se
donne (a1 , . . . , an ) ∈ Rn deux à deux distincts.
1. Les fonctions x 7→ sin(x + ai ) sont-elles linéairement indépendantes ?
2. Montrer que la famille des fonctions x 7→ sin(ai x) est libre.
Soit E un plan vectoriel. Montrer que f ∈ L(E) non nul est nilpotent si et seulement si Im(f ) = Ker(f ). En déduire que f ne peut s’écrire v ◦ u avec v et u nilpotents.
Soient E un K-ev et p et q deux projections de E dans E.
1. Pour λ ∈ K\ {0, 1}, montrer que p − λ est un automorphisme.
2. Si Im(p) ⊂ Ker(q) montrer que r = p+q −pq est une projection dont on précisera
l’image et le noyau.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que p + q soit un projecteur
et préciser dans ce cas son noyau et son image.
Exercice 12
Soit E un C-ev et G un sous-groupe fini de GL(E). On considère F un sous-ev de
E stable par G : ∀g ∈ G, g(F ) ⊂ F . On prend p un projecteur de E d’image F .
P
1
g ◦ p ◦ g −1 est un projecteur de E et déterminer
1. Montrer que p̂ = Card
(G)
g∈G
son image.
2. Montrer que F admet un supplémentaire dans E qui est stable par G.
Exercice 18
Soient E un K-ev de dimension finie n > 1 et u ∈ L(E).
1. Montrer que rg(un+1 ) = rg(un ). On pourra regarder la suite des images successives Im(uk )...
2. En déduire que si u est nilpotente alors un = 0.
Exercice 19
Soient E et F deux K-ev de dimensions finies n et m respectivement, avec n > m.
On considère u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, E) vérifiant u ◦ v = IdF . Montrer que v ◦ u est
un projecteur et déterminer son rang, son image et son noyau.
Exercice 13
Exercice 20
Soient E un K-ev et f ∈ L(E) tel qu’il existe un unique g ∈ L(E) tel que f ◦g = Id.
Montrer que f est un automorphisme avec f −1 = g.
Soient f et g dans L(E) tels que f ◦ g = 0 et f + g est un automorphisme de E.
Montrer que rg(f ) + rg(g) = n où n est la dimension du K-ev E.
Quand la dimension est finie
Exercice 21
Soit f ∈ L(R6 ) tel que rg(f 2 ) = 3. Quels sont les rangs possibles pour f ?
Exercice 14
Soient U , V et W trois sous-ev d’un R-ev E de dimension n.
Exercice 22
1. On suppose que dimU + dimV > n. Montrer que U ∩ V 6= {0}.
Soient E un R-ev de dimension finie et u ∈ L(E).
2. Si dimU + dimV + dimW > 2n que dire de U ∩ V ∩ W ?
1. Montrer qu’il existe v ∈ L(E) tel que u ◦ v ◦ u = u.
Exercice 15
Soient E un K-ev de dimension fini et F1 , . . . , Fn des sous-ev de E tels que
E = F1L+ · ·L
· + Fn . Montrer qu’il existe G1 , . . . , Gn des sous-ev de E tels que
E = G1 · · · Gn et Gi ⊂ Fi pour tout i.
Exercice 16
Soient f et g dans L(E) où E est un K-ev de dimension finie. Montrer que
|rg(g) − rg(f )| 6 rg(f + g) 6 rg(g) + rg(f ).
Exercice 17
Soit E un K-ev de dimension finie et on considère F un sous-ev de E.
1. Si H est un hyperplan de E tel que F 6⊂ H déterminer dim (F ∩ H).
2. Si F 6= E, montrer que F peut s’écrire comme l’intersection finie d’hyperplans.
Quel est le nombre minimal d’hyperplans nécessaire ?
2. Montrer que A(u) = {v ∈ L(E) : u ◦ v ◦ u = 0} est un sous-ev de L(E) et donner
sa dimension.
Exercice 23 : Sur des corps finis
Soit K un corps commutatif fini de cardinal q > 2. On considère E un K-ev de
dimension finie n > 1.
1. Montrer que E est fini et déterminer son cardinal.
2. Établir que L(E) et GL(E) sont finis et donner leurs cardinaux.
3. Déterminer le nombre de sous-ev de E de dimension k pour 0 6 k 6 n.
Exercice 24
Montrer que deux sous-ev d’un ev de dimension finie qui sont de même dimension
ont un supplémentaire commun.
Exercice 4 : Polynômes de Tchebychev le retour
Pour n ∈ N on pose fn : [−1, 1] −→ R définies par fn (x) = cos(n arccos x).
1. Calculer f0 , f1 , f2 et f3 .
2. Exprimer fn+1 + fn−1 en fonction de fn . En déduire qu’il existe un unique polynôme Tn de R[X] qui coïncide avec f sur [−1, 1]. Donner son degré et son
coefficient dominant.
3. Observer que Tn possède n racines distinctes dans ] − 1, 1[ et que l’on exprimera.
Compléments Maths et Oral : Exercices sur les
polynômes.
Licence 2 MAE 2016-2017
Université Paris Descartes
Marc Briant
Autour des racines d’un polynômes
Exercice 5
Soit P = X 3 − X − 1 de C[X] et nous notons α, β et γ ses racines. Calculer
α + β4 + γ4.
4
Des polynômes renommés
Exercice 6
Exercice 1 : Polynômes de Tchebychev
1. Pour n dans N montrer qu’il existe un unique polynôme Tn de C[X] tel que
∀θ ∈ R, Tn (cos θ) = cos(nθ).
(k)
2. Donner ensuite une équation différentielle vérifiée par Tn et calculer Tn (1) et
(k)
Tn (−1) pour tout k de N.
Exercice 2 : Polynômes d’interpolation de Lagrange
Pour K = R ou C et n ∈ N on considère a0 , a1 ,...,an des éléments de K deux à
deux distincts.
1. Montrer que pour tout i de {0, . . . , n} il existe un unique polyôme de Kn [X],
noté Li tel que : ∀j ∈ {0, . . . , n} , Li (aj ) = δij .
2. Montrer que pour tout P de Kn [X], P (X) =
n
P
(n)
n!
(X 2 − 1)n
.
(2n)!
1. Montrer que Ln est un polynôme unitaire de degré n.
Z 1
2. Montrer que pour tout Q de Rn−1 [X],
Ln (t)Q(t) dt = 0. En déduire que Ln
possède n racines simples toutes dans ] − 1, 1[.
=
Exercice 7
On prend dans C[X] : P = (X + i)n − (X − i)n .
1. Écrire P comme un produit de polynômes du premier degré.
n
2 n−1
Y
kπ
3 −1
=
4 + tan−2
.
2. En déduire que pour n impair :
2n
n
k=1
Exercice 3 : Polynômes de Legendre
−1
2. On pose ∆P = (z1 − z2 )2 (z2 − z3 )2 (z3 − z1 )2 . Établir que ∆P
−P 0 (z1 )P 0 (z2 )P 0 (z3 ) et exprimer ∆P à l’aide de p et q.
P (ai )Li (X).
i=0
Pour tout n ∈ N, on pose Ln (X) =
Dans C[X] on considère P = X 3 + pX 2 + qX + r avec (p, q, r) ∈ C × C × C∗ .
On désigne par (z1 , z2 , z3 ) un système de racines de P dans C. Les deux questions
suivantes sont indépendantes.
1. Déterminer un polynôme Q de C[X] ayant pour racine dans C : z2z1z3 , z3z2z1 et
z1 z2
z3 .
Exercice 8
Le but de cet exercice est de trouver tous les polynômes P de C[X] dans les cas
suivants :
1. P satisfait (X + 3)P (X) = XP (X + 1).
2. P vérifie P (X 2 ) = P (X)P (X + 1).
Exercice 9
Pour n > 1 on considère P = 1 + X +
P dans C sont deux à deux distinctes.
X2
2!
+ ··· +
Xn
n! .
Montrer que les racines de
Exercice 10
Exercice 17
Pour n ∈ N, on considère Pn = X 2n − 2X 2n−1 + 3X 2n−2 − · · · − 2nX + 2n + 1.
Combien Pn possède-t-il de racines réelles ?
Soit a ∈]0, π[ et n ∈ N∗ . Factoriser dans C[X] puis dans R[X] le polynôme
P = X 2n − 2 cos(na)X n + 1.
Exercice 11
Exercice 18
Soit P ∈ R[X] tel que degP = n > 2 et admettant n racines réelles deux à deux
distinctes. Montrer que P 0 admet n − 1 racines deux à deux distinctes puis que pour
tout α ∈ R∗ les racines de P 2 + α2 sont simples.
Exercice 12
On considère p et q dans N∗ .
1. Déterminer le pgcd de X p − 1 et X q − 1.
2. Montrer que si p et q sont premiers entre eux alors (X p − 1)(X q − 1)|(X −
1)(X pq − 1).
On considère P = an X n +· · ·+a1 X +a0 un polynôme de C[X] de degré n. Montrer
max |ak |
06k6n−1
.
que pour toute racine λ de P dans C on a : |λ| 6 1 +
|an |
Exercice 19
Exercice 13
Exercice 20
Soit K = R ou C. Montrer que pour tout P de K[X], P (X) − X divise P ◦n (X) − X
où P ◦n (X) = P ◦ P ◦ · · · ◦ P (X).
n
P
m
P
Soit P ∈ R[X] unitaire de degré 1. Montrer que P est scindé sur R si et seulement
n
si pour tout complexe z, |P (z)| > |Im(z)| .
Soient P =
Exercice 14
1. Montrer que P et Q ont au moins une racine commune si et seulement si il existe
U dans Cm−1 [X]\ {0} et V dans Cn−1 [X]\ {0} tels que P U + QV = 0.
Soit P = an X n + an−1 X n−1 · · · + a0 dans C[X] et on appelle λ1 ,...,λn (non nécesn
P
sairement distinctes). Pour tout p de {1, . . . , n} on définit Sp =
λpk ; montrer que
2. Dans le cas n = m = 2 montrer
que P et Q ont au
une racine commune
moins
a2 a0 a2 a1 a1 a0 =
×
.
dans C si et seulement si b2 b0 b2 b1 b1 b0 p−1
P
3. Déterminer les valeurs du réel λ pour lesquelles X 4 − 2X 3 + λX 2 + 2X − 1 admet
une racine triple dans R.
k=1
0
ai Sp−i + pap = 0. On pourra se servir de P (X)/P (X)...
i=1
k=0
ak X k et Q =
bk X k .
k=0
Arithmétique des polynômes
Exercice 21
Exercice 15
∗
Qn Soit n ∈ N et p1 ,..,pn des entiers deux à deux distincts. Montrer que P =
i=1 (X − pi ) − 1 est irréductible dans Z[X].
Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X] du polynôme A par B.
n
1. Pour n ∈ N et θ ∈ R, A = (sin(θ)X + cos(θ)) et B = X 2 + 1.
2. A quelconque et B = (X − a)(X − b) pour a 6= b réels.
3. A quelconque et B = (X − a)2 pour a dans R.
Exercice 22
Combien existe-t-il de polynômes P de Rn−1 [X] tels que X n − 1|P 2 − X ?
Exercice 23
Exercice 16
Effectuer la division euclidienne dans R[X] de A par B dans les cas suivants.
1. Pour φ réel, A = X n+1 cos((n − 1)φ) − X n cos(nφ) − X cos(φ) + 1 et B =
X 2 − 2X cos(φ) + 1.
2. A = X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2 et B = X 2 + 2, pour λ et µ réels.
Soit P ∈ R[X] tel que P (x) > 0 pour tout réel x. Les questions suivantes sont
indépendantes.
1. Montrer qu’il existe A et B dans R[X] tels que P = A2 + B 2 .
2. On définit Q = P + P 0 + · · · + P (n) . Montrer que Q(x) > 0 pour tout x de R.