![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/b2904da779d538eb68a28641d49a5c0a/1/003844540.htmlex.zip/bg5.jpg)
1
Compléments Maths et Oral : Exercices sur les
espaces vectorielles et les applications linéaires.
Licence 2 MAE 2016-2017
Université Paris Descartes
Marc Briant
Des espaces vectorielles particuliers
Exercice 1
Pour n∈Nnous considérons E=Rn[X]et pour tout ide {0, . . . , n}on note
Fi={P∈E:∀j∈ {0, n} \ {i}, P (j)=0}.
Montrer que les Fisont des sous-ev de Eet que E=F0L· · · LFn.
Exercice 2
On se place dans l’espace Edes fonctions continues de [−1,1] à valeurs réelles.
1. Établir que E=F1LF2LF3où nous prenons F1={f∈E:fest constante},
F2={f∈E:∀t∈[−1,0], f(t)=0}et F3={f∈E:∀t∈[0,1], f(t)=0}.
2. On définit F=nf:R1
−1f(t)dt = 0oet G={f:f=cte}. Montrer que Fet G
sont des sous-ev supplémentaires de E.
Exercice 3
Soient 0 = x0< x1<· · · < xn= 1 des réels et Fl’ensemble des fonctions continues
de [0,1] dans Rdont la restriction à chaque [xi, xi+1]est affine. Établir que Fest un
R-ev et déterminer sa dimension.
Exercice 4
On considère le R-ev des fonctions C∞de Rdans R. On fixe ndans N∗et on se
donne (a1, . . . , an)∈Rndeux à deux distincts.
1. Les fonctions x7→ sin(x+ai)sont-elles linéairement indépendantes ?
2. Montrer que la famille des fonctions x7→ sin(aix)est libre.
Exercice 5
Pour p∈Net a∈R\ {0,1}on note Spl’ensemble des suites (un)n∈Ntelles que :
∃P∈Rp[X],∀n∈N, un+1 =aun+P(n).
1. Montrer que Spest un R-ev et que si u∈Spalors Pest unique, on le notera Pu.
2. Montrer que φ:u7→ Puest linéaire et décrire son noyau et son image.
3. Donner une base de Spet en déduire l’expression de undéfinie par u0=−2et
un+1 = 2un−2n+ 7.On pourra utiliser Rk= (1 + X)k−aXk...
Exercice 6
On considère Ccomme un R-ev. Montrer que les endomorphismes fde Csont exac-
tement les (z7→ az +bz)avec aet bcomplexes puis donner une condition nécessaire
et suffisante sur aet bpour que fsoit bijective.
Exercice 7
Montrer que pour tout n∈Nil existe un unique polynôme Pndans Rn+1[X]tel
que Pn(0) = 0 et Pn(X+ 1) −Pn(X) = Xn.
Des espaces vectorielles en toute généralité
Exercice 8
Sous Eun R-ev.
1. À quelle condition la réunion de deux sous-ev de Eest-elle un sous-ev ?
2. Soient V1, . . . , Vndes sous-ev de Edifférents de E. Montrer que E6=V1∪· · ·∪Vn.
Exercice 9
Soit Eun K-ev. Caractériser les endomorphisme f∈ L(E)telle que pour tout x
de Ela famille (x, f(x)) est liée.
Exercice 10
Soit Eun plan vectoriel. Montrer que f∈ L(E)non nul est nilpotent si et seule-
ment si Im(f) = Ker(f). En déduire que fne peut s’écrire v◦uavec vet unilpotents.
Exercice 11 : Opérations sur des projecteurs
Soient Eun K-ev et pet qdeux projections de Edans E.
1. Pour λ∈K\ {0,1}, montrer que p−λest un automorphisme.
2. Si Im(p)⊂Ker(q)montrer que r=p+q−pq est une projection dont on précisera
l’image et le noyau.