Compléments Maths et Oral : Exercices sur les suites et les séries.

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Compléments Maths et Oral : Exercices sur les
suites et les séries.
Licence 2 MAE 2016-2017
Université Paris Descartes
Marc Briant
Convergence, limites et équivalences de suites
Exercice 1
Calculer les limites des suites suivantes :
1) 1 + x
nn
, x ∈R2) n−1
n+ 1n+2
3) ln(n+ 1)
ln(n)nln(n)
4) n2cos 1
n−cos 1 n+ 15) tannπ 4+x n6) arctan(n+ 1) arctan nn2
.
Exercice 2 : Les intégrales de Wallis et formule de Stirling
Pour ndans Non définit In=Rπ
2
0sinn(x)dx.
1. Montrer que la suite (In)n∈Nest décroissante puis trouver une relation de récur-
rence afin d’établir que lim
n→+∞
In+1
In= 1. En déduire que In∼
n→+∞rπ
2n.
2. Calculer Inpour tout n.
3. On considère la suite (un)n∈Ndéfinies par un=nne−n√n
n!. En étudiant la série de
terme générale ln un+1
undéduire la formule de Stirling n!∼
n→+∞
√2πn n
en
.
Exercice 3
Déterminer les limites des suites de termes généraux
1) n
v
u
u
t
n
Y
k=1 1 + k
n2)
n−1
X
k=0
1
√n2−k23) 1
n2
2n
Y
k=0 n2+k21
n.
Exercice 4
Étudier la convergence et éventuellement les limites des suites de termes généraux
1)
n
Y
k=1 1−1
k22)
n
Y
k=1 1 + k
n2.
Exercice 5
1. Soient (an)n∈Net (bn)n∈Ndeux suites de [0,1] telles que lim
n→+∞anbn= 1. Que
peut-on dire des suites (an)n∈Net (bn)n∈N?
2. Soient (xn)n∈Net (yn)n∈Ndeux suites réelles telles que lim
n→+∞(x2
n+xnyn+y2 n) =
0. Montrer que les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nconvergent vers 0.
Exercice 6 : Convergences de Cesàro
Dans ce qui suit, (un)n∈Net (vn)n∈Nsont deux suites réelles ou complexes qui
convergent respectivement vers let l0.
1. Montrer que lim
n→+∞
u1+···+un
n=l.
2. Montrer que la suite définie par zn=1
n(u1vn+u2vn−1+·+unv1)converge
vers ll0.
Exercice 7
Soit (an)n∈Nune suite d’éléments de ]0,1[ qui converge vers a. Pour nde Non
définit bn=
n
P
k=0
an−k
k.
1. Montrer que (bn)tend vers 1si a= 0 et diverge vers +∞si a= 1.
2. Étudier la convergence et, le cas échéant, donner la limite de (bn)lorsque a∈]0,1[.
Exercice 8
Soit ϕune bijection de N∗dans N∗telle que la suite ϕ(n)
nn∈N∗
converge. Que
peut-on dire de la limite ?
Exercice 9 : Racines itérées
Soit (an)n∈Nune suite de R+. On pose can=qa1+pa2+··· +√an.
1. Étudier (can)n∈Nlorsque anest constante puis lorsque an=n.
2. Montrer que (can)n∈Nconverge si et seulement si a
1
2n
nn∈N
est bornée.

Exercice 10
1. Montrer que pour tout nde Nil existe une unique solution positive à x3+nx = 1
que l’on notera xn. Donner un développement limité à deux termes de xnquand
ntend vers +∞.
2. Pour tout n∈N∗montrer que ex=n−xadmet une unique solution xndans R
et donner un développement asymptotique à l’ordre 3de xnquand ntend vers
+∞.
3. Montrer que pour tout n∈N∗, le polynôme Xn−X−1admet une unique racine
positive xnet donner un développement asymptotique à l’ordre 3de xnquand
ntend vers +∞.
Suites définies par récurrence
Exercice 11
Étudier les suites définies par récurrence :
1. u0= 1 et ∀n∈N, un+1 =√1 + un.
2. u0∈Ret ∀n∈N, un+1 =3
2u2
n+1 .
3. u0∈Ret ∀n∈N, un+1 =eun−1.
4. u0∈Cavec 0<|u0|<1et ∀n∈N, un+1 =un
2−un.
Exercice 12
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndéfinies par u0> v0>0et les relations de récurrences :
∀n∈N, un+1 =un+vn
2et vn+1 =2unvn un+vn
.
Établir la convergence des deux suites.
Exercice 13 : Moyenne arithmético-géométrique
Soient aet bdeux réels tels que 0< a < b. On pose u0=aet v0=bpuis on définit
par récurrence les suites
∀n∈N, un+1 =un+vn
2et vn+1 =√unvn.
Montrer que (un)n∈Net (vn)n∈Nconvergent vers une limite commune M(a, b). En
s’aidant de α=arccos a
bdémontrer que M(a, b) = √b2−a2
arccosa
b
.
Exercice 14
Soit (an)n∈Nune suite positive bornée et (un)n∈Nla suite récurrente définie par
u0>0et un+1 =1
un+an+1 . Montrer que (un)n∈Nconverge si et seulement si (an)n∈N
converge.
Exercice 15
Dans chacun des cas suivants, étudier la convergence et donner un équivalent quand
ntend vers +∞des suites définies par récurrence :
1. u0>0et ∀n∈N, un+1 =√u0+··· +un.
2. u0∈Ret ∀n∈N, un+1 =|un−n|
3. u0∈]0,π
2[et ∀n∈N, un+1 = sin un.
4. u0= 1 et ∀n∈N, un+1 =un−u2
n.
5. u0= 1 et ∀n∈N, un+1 =un+e−un.
Suites extraites et densité
Exercice 16
Soit (xn)n∈Nune suite telle que les suites extraites (x2n)n∈N,(x2n+1)n∈Net
(x3n)n∈Nconvergent. Montrer que (xn)n∈Nconverge.
Exercice 17
On considère la suite (xn)n>2définie par xn=dn
noù dndésigne le plus petit
nombre premier positif divisant n.
1. Montrer que pour tout entier p>2la suite extraite (xpn)n>2converge dans R.
2. Montrer que la suite (xn)n∈Nest divergente.
Exercice 18
Soit (un)n∈Nune suite réelle bornée.
1. Montrer que si (un)n∈Nn’admet qu’une unique valeur d’adhérence alors elle
converge.
2. Montrer que si la suite un+u2n
2converge vers 1alors (un)n∈Nconverge et dé-
terminer sa limite.
Exercice 19
Soient (an)n∈N,(bn)n∈Net (cn)n∈Ntrois suites réelles vérifiant
lim
n→+∞(an+bn+cn)=0 et lim n→+∞ean+ebn+ecn= 3.
Montrer que les trois suites convergent vers 0.

Études asymptotiques et calculs de somme
Exercice 20
Soient Punet Pvndeux séries à termes strictement positifs. Démontrer la conver-
gence des séries de termes généraux max {un, vn},√unvnet unvn
un+vn.
Exercice 21 : La série harmonique
Pour n>1on pose Hn= 1 + 1
2+··· +1 n.
1. En étudiant H2n−Hnprouver que cette suite diverge vers +∞.
2. Montrer que les suites αn=Hn−ln(n)et βn=Hn−ln(n+ 1) convergent dans
R. Cette limite notée γest la constante d’Euler.
3. Démontrer le développement asymptotique suivant
Hn=ln(n) + γ+1
2n−1 12n2+o1 n2.
4. On pose kn= min {k∈N∗, Hk>n}. Déterminer lim
n→+∞
kn+1
kn.
Exercice 22 : Les séries de Bertrand
Pour αet βdeux réels, montrer que
X
n>2
1
nα(ln(n))βconverge ⇔(α > 1) ou (α= 1 et β > 1) .
Exercice 23
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
1) un=ch(n)
ch(2n)2) un=n n+ 1n2
3) un=e−1 + 1
nn
n3/2− bn3/2c+n
4) un= cos n2πln 1−1
n 5) un=a(a+ 1) ···(a+n−1) n!,pour a > 0.
Exercice 24
Calculer la valeur des sommes suivantes où a > 0et x∈R\{1}:
1) X1
n(n+ 1)(n+ 2) 2) Xa
n
P
k=1
1
k3) X(−1)nln 1 + 1
n
4) X1
1+22+··· +n25) X
n>0
+∞
X
k=n
(−1)k
k26) Xxn (1 −xn)(1 −xn+1).
Exercice 25
Dans chacun des cas suivants étudier la nature de la série en fonction de (a, b, c)∈
R3et calculer sa somme lorsqu’il y a convergence :
1) X
n>1
(ln(n) + aln(n+ 1) + bln(n+ 2)) 2) X
n>1√n+a√n+1+b√n+ 2
3) a
√1+b √2+c √3+a √4+b √5+c √6+··· .
Exercice 26 : Des termes généraux par récurrence
1. Soit u0∈]0,π
2[et un+1 = sin unpour tout n∈N. En considérant un+1 −un
montrer que Pu3
nconverge puis en considérant vn=lnunmontrer que Pu2 n
diverge.
2. Soit u0>0et un+1 = 1 −e−un. Étudier les séries de termes généraux (−1)nun
et u2
n. Enfin, déterminer la nature de Punen vous aidant de Pln un+1
un.
3. Soit u0>0et un+1 =ln(1 + un). Étudier Pun.
Exercice 27
On considère les suites définies par un=cos(ln(n))
net vn= (−1)nsin(ln(n)) n.
1. Montrer que la série de terme général undiverge.
2. Montrer que Pvnconverge. On pourra se servir de v2n+v2n+1...
Exercice 28
Étudier lim
n→+∞n
+∞
P
k=n
1
k2ek
n.
Exercice 29
On pose sn=
n
P
k=1
(−1)k
ket un=ln (esn−1). Étudier la nature de Pun.On pourra
écrire sncomme s−rnoù s= lim
n→+∞sn...
Des séries plus théoriques
Exercice 30 : Critère de condensation de Cauchy
Soit (un)n∈Nune suite réelle décroissante et positive. Montrer que pour tout entier
p>2,Punconverge si et seulement si Ppnupnconverge.
Appliquer ce critère aux séries X1
nln(n)et X1 nln(n)ln (ln(n)).

Exercice 31 : Règle de Raabe-Duhamel
1. Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de R+∗telles qu’à partir d’un certain rang
un+1
un6vn+1 vn. Montrer que un=
n→+∞O(vn).
2. Supposons que nous ayons le développement asymptotique suivant :
un+1
un
= 1 −α
n+o1 n2.
Étudier la nature de la série Punen fonction de α.
Exercice 32 : Des transformations d’Abel
Soit (an)n∈Nune suite positive décroissante de limite nulle et (Sn)n∈Nune suite
bornée.
1. Montrer que la série P(an+1 −an)Snest convergente. En déduire que la série
Pan(Sn−Sn−1)est convergente.
2. Établir que pour tout θ∈R\2πZ,Pcos(nθ)
nest convergente.
3. Soit znle terme général d’une série réelle convergente. Démontrer que Pzn
n=
o1
n.On pourra introduire le reste d’ordre nde Pzn...
4. Soit (un)n∈Nune suite réelle telle que Punet P|un+1 −un|convergent. Mon-
trer que Pu2
nconverge.
Exercice 33 : Un peu plus de critères de concentration
Soit (un)n∈Nune suite réelle décroissante et positive.
1. On pose vn=nun2et montrer que Pvnet Punsont de même nature.
2. On pose maintenant vn=n2un2. Le résultat précédent est-il toujours vrai ?
Exercice 34
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndans (R+)Ntelles que : ∀n∈N, vn=1
1+n2un. Montrer
que si Pvnconverge alors Pundiverge.
Exercice 35
Soit Punune série à termes strictement positifs convergente. On note son reste
Rn=
+∞
P
k=n+1
uket on suppose que un∼
n→+∞R2
n. Déterminer un équivalent de un.
Exercice 36
Soit (un)n>1une suite de réels strictement positifs. Pour n>1on pose vn=un
Sn
où Sn=u1+··· +un. Déterminer la nature de Pvn.
Un petit mélange de genres
Exercice 37
Soit f: [a, b]−→ [a, b]une fonction de classe C1telle que ∀x∈[a, b],|f0(x)|<1.
Montrer que fadmet un unique point fixe αpuis que pour tout a0de [a, b], la suite
définie par u0=a0et un+1 =f(un)converge vers α.
Exercice 38
Soient α∈Ret f∈C([0,1],R)avec f(0) 6= 0. Étudier la convergence de la série
de terme général un=1
nαZ1/n
0
f(tn)dt.
Exercice 39
Soit f: [1,+∞[−→ R∗+de classe C1telle que lim
x→+∞
xf0(x)
f(x)=l. Montrer que
Pf(n)converge si l > −1et diverge si l < −1.
Exercice 40
Soit fà valeurs réelles de classe C2sur [0,+∞[telle que f00 et fsont intégrables
sur [0,+∞[.
1. Prouver que lim
t→+∞f0(t)=0et lim t→+∞f0(t)=0.
2. Étudier les séries Pf(n)et Pf0(n).

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Compléments Maths et Oral : Exercices sur les
espaces vectorielles et les applications linéaires.
Licence 2 MAE 2016-2017
Université Paris Descartes
Marc Briant
Des espaces vectorielles particuliers
Exercice 1
Pour n∈Nnous considérons E=Rn[X]et pour tout ide {0, . . . , n}on note
Fi={P∈E:∀j∈ {0, n} \ {i}, P (j)=0}.
Montrer que les Fisont des sous-ev de Eet que E=F0L· · · LFn.
Exercice 2
On se place dans l’espace Edes fonctions continues de [−1,1] à valeurs réelles.
1. Établir que E=F1LF2LF3où nous prenons F1={f∈E:fest constante},
F2={f∈E:∀t∈[−1,0], f(t)=0}et F3={f∈E:∀t∈[0,1], f(t)=0}.
2. On définit F=nf:R1
−1f(t)dt = 0oet G={f:f=cte}. Montrer que Fet G
sont des sous-ev supplémentaires de E.
Exercice 3
Soient 0 = x0< x1<· · · < xn= 1 des réels et Fl’ensemble des fonctions continues
de [0,1] dans Rdont la restriction à chaque [xi, xi+1]est affine. Établir que Fest un
R-ev et déterminer sa dimension.
Exercice 4
On considère le R-ev des fonctions C∞de Rdans R. On fixe ndans N∗et on se
donne (a1, . . . , an)∈Rndeux à deux distincts.
1. Les fonctions x7→ sin(x+ai)sont-elles linéairement indépendantes ?
2. Montrer que la famille des fonctions x7→ sin(aix)est libre.
Exercice 5
Pour p∈Net a∈R\ {0,1}on note Spl’ensemble des suites (un)n∈Ntelles que :
∃P∈Rp[X],∀n∈N, un+1 =aun+P(n).
1. Montrer que Spest un R-ev et que si u∈Spalors Pest unique, on le notera Pu.
2. Montrer que φ:u7→ Puest linéaire et décrire son noyau et son image.
3. Donner une base de Spet en déduire l’expression de undéfinie par u0=−2et
un+1 = 2un−2n+ 7.On pourra utiliser Rk= (1 + X)k−aXk...
Exercice 6
On considère Ccomme un R-ev. Montrer que les endomorphismes fde Csont exac-
tement les (z7→ az +bz)avec aet bcomplexes puis donner une condition nécessaire
et suffisante sur aet bpour que fsoit bijective.
Exercice 7
Montrer que pour tout n∈Nil existe un unique polynôme Pndans Rn+1[X]tel
que Pn(0) = 0 et Pn(X+ 1) −Pn(X) = Xn.
Des espaces vectorielles en toute généralité
Exercice 8
Sous Eun R-ev.
1. À quelle condition la réunion de deux sous-ev de Eest-elle un sous-ev ?
2. Soient V1, . . . , Vndes sous-ev de Edifférents de E. Montrer que E6=V1∪· · ·∪Vn.
Exercice 9
Soit Eun K-ev. Caractériser les endomorphisme f∈ L(E)telle que pour tout x
de Ela famille (x, f(x)) est liée.
Exercice 10
Soit Eun plan vectoriel. Montrer que f∈ L(E)non nul est nilpotent si et seule-
ment si Im(f) = Ker(f). En déduire que fne peut s’écrire v◦uavec vet unilpotents.
Exercice 11 : Opérations sur des projecteurs
Soient Eun K-ev et pet qdeux projections de Edans E.
1. Pour λ∈K\ {0,1}, montrer que p−λest un automorphisme.
2. Si Im(p)⊂Ker(q)montrer que r=p+q−pq est une projection dont on précisera
l’image et le noyau.