RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
RAPPELS
1
1.1
ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS
VOCABULAIRE USUEL SUR LES FONCTIONS
VALEURS D’UNE
FONCTION
Définition (Ensemble de définition et image d’une fonction, image et antécédents d’un point) Soient A une partie
de R et f : A −→ R une fonction.
• L’ensemble A est appelé l’ensemble de définition de f et tout réel f (x) avec x ∈ A est appelé une valeur de f .
• Pour tous x ∈ A et y ∈ R, si y = f (x), on dit que y est L’image de x par f et que x est UN antécédent de y par f .
Explication
Sur la figure ci-contre, y possède plusieurs antécédents par f ,
y = f (x)
raison pour laquelle on parle d’UN antécédent et non de « l’ » antécédent de y.
b
b
b
x2
x3
y
x1
Définition (Image d’une partie par une fonction, image d’une fonction) Soient A une partie de R et f : A −→ R une
fonction.
• Pour toute partie A′ de A, on appelle image de A′ par f , notée f (A′ ), l’ensemble :
¦
© ¦
©
f (A′ ) = y ∈ R/ ∃ x ∈ A′ / y = f (x) = f (x)
x∈A′
.
• L’image de A tout entier est simplement appelée l’image de f et notée généralement Im f plutôt que f (A).
Explication
L’image f (A′ ) de A′ par f est l’ensemble des images par f des
éléments de A′ . Graphiquement, pour déterminer f (A′ ), on projette sur l’axe des ordonnées
la portion du graphe de f qui se situe au-dessus de A′ , comme l’illustre la figure de droite.
On fait pareil pour déterminer graphiquement l’image
Im f de f , mais avec le graphe de f tout entier.
Im f
ր
f (A′ )
ց
տ
A′
ր
Exemple
• L’image de R+ par la fonction exponentielle est l’intervalle [1, +∞[. L’image de R− est ]0, 1].
h π πi
• L’image de πZ par la fonction sinus est 0 , l’image de [0, π] est [0, 1], l’image de − ,
est [−1, 1] et l’image de
2 2
[0, 2π] est aussi [−1, 1].
Définition (Expression « à valeurs dans. . . ») Soient A et B deux parties de R et f : A −→ R une fonction. On dit que
f est à valeurs dans B si toute valeur de f est élément de B, i.e. si : ∀x ∈ A, f (x) ∈ B, ou encore si : Im f ⊂ B.
Dire que f est à valeurs dans B, ce n’est pas dire que l’image de f est B tout entier. La fonction
$ ATTENTION ! $
x 7−→ |x| + 1, par exemple, est définie sur R et à valeurs dans R+ , mais son image n’est pas R+ tout entier mais seulement
[1, +∞[ — car quand x décrit R+ , |x| + 1 décrit [1, +∞[.
1
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1.2
COMPOSITION
DES FONCTIONS
Définition (Composée de deux fonctions) Soient A et B deux parties de R et f : A −→ R et g : B −→ R deux fonctions.
On suppose f à valeurs dans B. On appelle composée de f suivie de g la fonction g ◦ f définie sur A par :
∀x ∈ A, g ◦ f (x) = g f (x) .
Pourquoi la condition « f est à valeurs dans B » est-elle si importante ? Pour pouvoir parler de g f (x)
Explication pour tout x ∈ A, on doit garantir que f (x) appartient à l’ensemble de définition B de g pour tout x ∈ A : ∀x ∈ A, f (x) ∈ B,
autrement dit que f est à valeurs dans B.
Exemple
•
˜
3
La fonction x −
7 → ln(2x + 3) est définie sur − , +∞ .
2
La fonction x 7−→ 2x + 3 est définie sur R et la fonction ln sur R∗+ , mais quand x décrit R, 2x + 3
˜
•
3
∗
n’appartient pas forcément à R+ . Pour quels x ∈ R est-il vrai que : 2x + 3 > 0 ? Réponse : x ∈ − , +∞ .
2
En effet
Exemple
La fonction x 7−→
p
1 − x 2 est définie sur [−1, 1].
p
En effet La fonction x 7−→ 1− x 2 est définie sur R et la fonction ·
2
sur R+ , mais quand x décrit R, 1 − x n’appartient pas forcément à
R+ . Pour quels x ∈ R est-il vrai que : 1−x 2 = (1+x)(1−x) ¾ 0 ?
Réponse : x ∈ [−1, 1].
x
1+ x
1− x
1− x
−∞
−
−
2
−1
0
+
0
+∞
1
+
+
−
−
0
0
La composition n’est pas commutative, ne confondez pas g ◦ f et f ◦ g. Il arrive d’ailleurs souvent
$ ATTENTION ! $
que l’une de ces fonctions soit définie sans que l’autre le soit. Par exemple, si f est la fonction x 7−→ x 2 et si g la fonction
2
x 7−→ x 2 + 1, toutes deux définies sur R, g ◦ f est la fonction : x 7−→ x 2 + 1 = x 4 + 1 et f ◦ g la fonction :
2
x 7−→ x 2 + 1 = x 4 +2x 2 +1. Ce n’est pas pareil !
Théorème (Associativité de la composition) Soient A, B et C trois parties de R et f : A −→ R, g : B −→ R et
h : C −→ R trois fonctions. On suppose f à valeurs dans B et g à valeurs dans C. Alors :
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
p
Exemple
1+e x
La fonction x 7−→ p
est définie sur ]0, 2[.
x 2− x
En effet La construction de cette fonction requiert plus qu’une simple composition, également des sommes,
produits et quotients.
x 7−→ 1
p
x 7−→ 1 + e
p
p
x 7−→ e
x
1+e
x−
7 → p
x 2− x
÷
×
x 7−→ x 2 − x
p
i.e. si et seulement si :
x 6= 0,
x 7−→
p
x
◦
x 7−→
x 7−→ x
p
1+e x
est bien définie
La quantité p
x 2− x
p
si et seulement si :
x 2 − x 6= 0,
x 7−→ e x
+
x
p
x 7−→
2− x
p
x
p
x
◦
x 7−→ 2 − x
x ∈ R,
x 6= 2,
2− x ¾ 0
x ¶2
2
et
et
x ¾ 0,
x ¾ 0,
i.e. x ∈ ]0, 2[.
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1.3
FONCTIONS
MONOTONES , FONCTIONS MAJORÉES / MINORÉES
Définition (Monotonie) Soient A une partie de R et f : A −→ R une fonction.
• On dit que f est croissante si :
∀x, y ∈ A,
x<y
=⇒
f (x) ¶ f ( y).
• On dit que f est strictement croissante si :
∀x, y ∈ A,
x<y
=⇒
f (x) < f ( y).
• On dit que f est décroissante si :
∀x, y ∈ A,
x<y
=⇒
f (x) ¾ f ( y).
• On dit que f est strictement décroissante si :
∀x, y ∈ A,
x<y
=⇒
f (x) > f ( y).
• On dit que f est (resp. strictement) monotone si f est (resp. strictement) croissante ou décroissante.
On peut bien sûr CARACTÉRISER la monotonie d’une fonction DÉRIVABLE par le signe de sa dérivée,
Explication mais c’est là un THÉORÈME et non une DÉFINITION. La définition ci-dessus est générale et ne requiert pas la dérivabilité.
Théorème (Somme de fonctions monotones) Soient A une partie de R et f : A −→ R et g : A −→ R deux fonctions.
Si f et g sont croissantes, alors f + g l’est aussi. Si de plus f ou g l’est strictement, alors f + g aussi.
On dispose d’un résultat analogue pour les fonctions décroissantes.
Démonstration
Dans le cas où f est croissante et g strictement croissante, soient x, y ∈ A avec x < y.
Comme f est croissante : f (x) ¶ f ( y), et comme g est strictement croissante : g(x) < g( y), donc
par somme : f (x) + g(x) < f ( y) + g( y).
„
Exemple
Pas besoin de dériver pour expliquer que la fonction x 7−→ x + ln x est strictement croissante sur R∗+ !
Théorème (Composée de fonctions monotones) Soient A et B deux parties de R et f : A −→ R et g : B −→ R deux
fonctions. On suppose f à valeurs dans B.
• Si f et g sont (resp. strictement) monotones de même sens de variation, alors g◦ f est (resp. strictement) croissante.
• Si f et g sont (resp. strictement) monotones de sens de variation opposés, alors g ◦ f est (resp. strictement)
décroissante.
Démonstration Dans le cas où f est croissante et g décroissante, soient
x, y ∈ A avec x < y. Comme f est
croissante : f (x) ¶ f ( y), puis comme g est décroissante : g f ( y) ¶ g f (x) .
„
Exemple
x
Pas besoin de dériver pour expliquer que la fonction x 7−→ ee est strictement croissante sur R !
Définition (Fonction majorée/minorée/bornée) Soient A une partie de R et f : A −→ R une fonction.
• On dit que f est majorée sur A si : ∃ M ∈ R/ ∀x ∈ A, f (x) ¶ M . Un tel réel M est appelé UN majorant de
f sur A. On dit ausi que f est majorée par M sur A ou que M majore f sur A.
• On dit que f est minorée sur A si : ∃ m ∈ R/ ∀x ∈ A, f (x) ¾ m. Un tel réel m est appelé UN minorant de f
sur A. On dit aussi que f est minorée par m sur A ou que m minore f sur A.
• On dit que f est bornée sur A si f est à la fois majorée et minorée sur A, i.e. si : ∃ K ∈ R+ / ∀x ∈ A, f (x) ¶ K.
Fonction majorée non minorée
Fonction minorée non majorée
3
Fonction bornée
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Démonstration
Par définition, la proposition « f est majorée et minorée sur A » s’écrit :
∃ m, M ∈ R/
∀x ∈ A,
m ¶ f (x) ¶ M ,
or ce n’est pas la définition donnée ci-dessus. Montrons donc l’équivalence des deux formulations.
• Si : ∃ K ∈ R+ / ∀x ∈ A, f (x) ¶ K, alors : −K ¶ f (x) ¶ K, donc f est minorée et majorée.
¦
©
• À présent, si : ∃ m, M ∈ R/ ∀x ∈ A, m ¶ f (x) ¶ M , posons : K = max |m|, |M | . Alors
pour tout x ∈ A : −K ¶ −|m| ¶ m ¶ f (x) ¶ M ¶ |M | ¶ K, donc : f (x) ¶ K.
„
Définition (Maximum/minimum d’une fonction) Soient A une partie de R, f : A −→ R une fonction et a ∈ A.
• On dit que f admet un maximum en a si pour tout x ∈ A :
maximum de f en a, on le note aussi max f ou max f (x).
f (x) ¶ f (a).
Le réel f (a) est alors appelé le
• On dit que f admet un minimum en a si pour tout x ∈ A :
minimum de f en a, on le note aussi min f ou min f (x).
f (x) ¾ f (a).
Le réel f (a) est alors appelé le
A
x∈A
A
x∈A
Une fonction peut ne pas avoir de maxi$ ATTENTION ! $
mum/minimum et quand elle en a un, il peut être atteint en plusieurs
points différents.
Maximum atteint deux fois
b
b
b
Pas un minimum
mais un minimum local
(notion étudiée plus tard)
TRANSFORMATIONS AFFINES
1.4
Pas un maximum
mais un maximum local
(notion étudiée plus tard)
b
Pas de minimum
DU GRAPHE D ’UNE FONCTION
Théorème (Transformations affines du graphe d’une fonction, cas des symétries) Soient A une partie de R et
→
→
f : A −→ R une fonction. Les graphes ci-dessous sont représentés dans un repère orthonormal O, −
ı ,−
 .
• La fonction x 7−→ − f (x) est définie sur A et
son graphe s’obtient à partir de celui de f
par une symétrie par rapport à (Ox).
−
→

−
→
ı
b
O
• La fonction x 7−→ f (−x) est définie sur −A,
i.e. le symétrique de A par rapport à (O y),
et son graphe s’obtient aussi à partir de celui
de f par la même symétrie.
y = f (x
)
y = − f (x
)
)
(−x
y=f
−
→

y=
f (x)
b
O
−
→
ı
Théorème (Transformations affines du graphe d’une fonction, cas des translations) Soient A une
partie de R et
→
→
f : A −→ R une fonction. Les graphes ci-dessous sont représentés dans un repère orthonormal O, −
ı ,−
 .
→
−x 0 −
ı
+ y0
= f (x)
y
→
y −

y=
b
y=
0
−
→

b
−
→

y = f (x )
b
O
f(
x
f(
x)
+ x )
0
b
−
→
ı
O
−
→
ı
• Soit y0 ∈ R. La fonction x 7−→ f (x) + y0 est définie sur A et son graphe s’obtient à partir de celui
→
de f par une translation de vecteur y0 −
.
• Soit x 0 ∈ R. La fonction x 7−→ f (x + x 0 ) est définie sur A − x 0 , i.e. l’ensemble A décalé vers la
gauche de x 0 , et son graphe s’obtient à partir de
→
celui de f par une translation de vecteur −x 0 −
ı .
Dans le cas de la fonction x 7−→ f (x + x 0 ), il y a bien un signe « moins » dans l’expression du vecteur
$ ATTENTION ! $
→
de translation −x 0 −
ı et c’est normal, la fonction x 7−→ f (x + x 0 ) atteint la valeur f (0) en −x 0 , puis la valeur f (1) en −x 0 +1,
etc. Pour résumer, on peut dire que x 7−→ f (x + x 0 ) est EN AVANCE de x 0 sur x 7−→ f (x).
4
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Théorème (Transformations affines du graphe d’une fonction, cas des contractions/dilatations) Soient A une
→
→
partie de R et f : A −→ R une fonction. Les graphes ci-dessous sont représentés dans un repère orthonormal O, −
ı ,−
 .
f ( x)
x
y = f(
−
→

=
λ
y
• Soit λ > 0. La fonction x 7−→ λ f (x) est définie sur A et son graphe s’obtient à partir
de celui de f par une dilatation verticale de
rapport λ si λ ¾ 1 et une contraction verti1
cale de rapport si λ < 1.
λ
x)
f(
y
=
−
→

)
y = λ f (x
)
b
b
−
→
O
ı
Dilatation verticale (λ ¾ 1)
−
→
O
ı
Contraction verticale (λ < 1)
y = f (λx)
y = f (λx)
−
→

−
→

y = f (x)
y = f (x)
b
b
−
→
O
ı
Contraction horizontale (λ ¾ 1)
−
→
O
ı
Dilatation horizontale (λ < 1)
y = sin x
• Soit λ > 0. La fonction x 7−→ f (λx) est définie
1
sur l’ensemble dilaté/contracté A et son graphe
λ
s’obtient à partir de celui de f par une contraction horizontale de rapport λ si λ ¾ 1 et une di1
latation horizontale de rapport si λ < 1.
λ
y = sin(x + 1)
y = sin(2x + 1)
Exemple
y=
sin(2x + 1)
2
y =−
Définition (Parité/imparité)
Soit A une partie de R symétrique par rapport à 0, i.e. telle que :
∀x ∈ A,
−x ∈ A.
sin(2x + 1)
2
y =1−
Fonction
paire
sin(2x + 1)
2
Fonction
impaire
b
Soit f : A −→ R une fonction.
• On dit que f est paire si : ∀x ∈ A, f (−x) = f (x).
Cela revient à dire que le graphe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Le graphe
d’une fonction impaire
définie en 0
passe toujours par l’origine.
• On dit que f est impaire si : ∀x ∈ A, f (−x) = − f (x).
Cela revient à dire que le graphe de f est symétrique par rapport à l’origine.
En pratique suffit.
Pas besoin d’étudier une fonction f : A −→ R paire ou impaire sur A tout entier, une étude sur A∩ R+
Définition (Périodicité) Soient T > 0 et A une partie de R T -périodique, i.e. telle que :
∀x ∈ A,
x + T ∈ A et
x − T ∈ A.
T
Soit f : A −→ R une fonction. On dit que f est T -périodique ou périodique de période
T si : ∀x ∈ A, f (x + T ) = f (x). Le réel T est alors appelé UNE période de f .
Une fonction périodique ne possède jamais qu’une seule période. Tout multiple entier d’une période
$ ATTENTION ! $
T est encore une période : 2T, 3T, 4T . . . Voilà pourquoi on ne parle jamais de « la » période, mais toujours d’UNE période.
Pas besoin d’étudier une fonction f : A −→ R T -périodique sur A tout entier, une étude sur une
En pratique période suffit, par exemple A ∩ [0, T [.
5
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Théorème (Opérations sur les fonctions périodiques) Soient T > 0, A une partie de R T -périodique et f : A −→ R
et g : A −→ R deux fonctions T -périodiques.
(i) Les fonctions f + g et f × g sont aussi T -périodiques, ainsi que
(ii) Pour tout ω > 0, la fonction x 7−→ f (ωx) est
f
si g ne s’annule pas.
g
T
1
-périodique sur l’ensemble dilaté/contracté
A.
ω
ω
Si par exemple ω = 2, le graphe de la fonction x 7−→ f (2x) est la contraction horizontale de facteur
T
2 de celui de f . Si f est T -périodique, rien d’étonnant du coup à ce que x 7−→ f (2x) soit -périodique.
2
Explication
Démonstration
(i) Concernant f + g, pour tout x ∈ A :
( f + g)(x + T ) = f (x + T ) + g(x + T ) = f (x) + g(x) = ( f + g)(x).
1
(ii) Notons g la fonction x 7−→ f (ωx) définie en tout point x pour lequel ωx ∈ A, i.e. sur
A. Pour tout
ω
‹
• 
‹˜

T
T
1
=f ω x+
= f (ωx + T ) = f (ωx) = g(x).
A: g x+
„
x∈
ω
ω
ω
Exemple
2
La fonction x 7−→ sin(2x) est π-périodique car la fonction sinus est 2π-périodique.
RAPPELS SUR LA DÉRIVATION
Définition (Dérivabilité, tangente) Soient I un intervalle, f : I −→ R une fonction et a ∈ I .
• On dit que f est dérivable en a si lim
dérivé de f en a et notée f ′ (a).
x→a
f (x) − f (a)
EXISTE ET EST FINIE . Cette limite est alors appelée le nombre
x−a
L’ensemble des fonctions dérivables sur I tout entier, i.e. dérivables en tout point de I , est noté D(I , R). Pour tout
f ∈ D(I , R), la fonction x 7−→ f ′ (x) sur I est appelée la dérivée de f .
• Si f est dérivable en a, la droite d’équation :
y = f (a) + f ′ (a)(x − a)
est appelée la tangente de f en a.
f (x) − f (a)
≈ f ′ (a), donc : f (x) ≈ f (a)+ f ′ (a)(x −a).
Si f est dérivable en a, alors pour x ≈ a :
Explication x−a
Ce raisonnement sans rigueur justifie tout de même rapidement le fait que la tangente de f en a est LA DROITE LA PLUS
f (b) − f (a)
PROCHE DU GRAPHE DE f AU VOISINAGE DE a. Plus géométriquement, sachant que
est le coefficient directeur
b−a
f (b) − f (a)
représente la
de la corde reliant les points de coordonnées a, f (a) et b, f (b) , la limite : f ′ (a) = lim
b→a
b−a
« pente limite » des cordes précitées.
y = f (x)
f (b)
f (a)
y = f (x)
On fait tendre b vers a.
b
La corde reliant
a, f (a) et b, f (b)
b
a
f (a)
b
a
b
6
La tangente de f en a
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Théorème (Opérations sur les dérivées) Soient I un intervalle et f , g ∈ D(I , R).
(λ f )′ = λ f ′ .
• Multiplication par un réel : Pour tout λ ∈ R, λ f est dérivable sur I et :
• Somme : f + g est dérivable sur I et :
( f + g)′ = f ′ + g ′ .
• Produit : f g est dérivable sur I et :
• Quotient : Si g ne s’annule pas sur I ,
( f g)′ = f ′ g + f g ′ .
 ‹′
f ′ g − f g′
f
.
=
g
g2
• Composée : g ◦ f est dérivable sur I et :
(g ◦ f )′ = f ′ × g ′ ◦ f .
f
est dérivable sur I et :
g
Soient I et J deux intervalles, f ∈ D(I , R) et g ∈ D(J , R). On suppose f à valeurs dans J .
Exemple
€
Š
p
f
La fonction x 7−→ ln x + x(1 − x) est définie sur ]0, 1] et dérivable sur ]0, 1[.
Étudiez scrupuleusement la raison pour laquelle f n’a pas a priori les mêmes ensembles de définition et de dérivabilité.
En effet
x
x
Š
€
p
• Ensemble de définition : La quantité ln x + x(1 − x) est
bien définie sip: x(1 − x) ¾ 0 à cause de la racine carrée
et si : x + x(1 − x) > 0 à cause du logarithme, i.e. si
x ∈ [0, 1] et x > 0. Conclusion : f est définie sur ]0, 1].
1− x
x(1 − x)
−∞
−
0
0
+
−
0
+∞
1
+
+
0
0
−
−
• Ensemble de dérivabilité : La fonction racine carrée est définie sur R+ mais dérivable seulement sur R∗+ .
Nous allons donc devoir modifier un peu ce qui précède, remplacer « x(1− x) ¾ 0 » par « x(1− x) > 0 ».
— La fonction x 7−→ x(1− x) est dérivable sur ]0, 1[ À VALEURS DANS R∗+ et la fonction racine carrée
p
est dérivable sur R∗+ , donc x 7−→ x(1 − x) est dérivable sur ]0, 1[ par composition.
p
— Par somme, x 7−→ x + x(1 − x) est dérivable sur ]0, 1[, À VALEURS DANS R∗+ . La fonction
logarithme étant dérivable sur R∗+ , f est enfin dérivable sur ]0, 1[ par composition.
• Remarque : Nous n’avons pas prouvé que f N’est PAS dérivable en 1, le raisonnement qui prouve sa
bonne définition sur ]0, 1] montre seulement sa dérivabilité sur ]0, 1[.
Théorème
(Caractérisation des fonctions dérivables constantes/monotones)
f ∈ D(I , R). Afin d’alléger, on n’énonce ci-dessous que le cas des fonctions croissantes.
Soient I un INTERVALLE et
• f est constante sur I si et seulement si f ′ est nulle sur I .
• f est croissante sur I si et seulement si f ′ est positive ou nulle sur I .
• f est strictement croissante sur I si et seulement si f ′ est positive ou nulle sur I et n’est identiquement nulle sur
aucun intervalle [a, b] avec a < b.
En particulier, si f ′ est strictement positive sur I , alors f est strictement croissante sur I .
En pratique À ce stade de l’année, c’est pour leur SIGNE qu’on calcule des dérivées.
FACTORISEZ TOUJOURS VOS DÉRIVÉES LE PLUS POSSIBLE !
Conséquence :
Rappelons que le signe d’une fonction s’obtient souvent grâce à un TABLEAU DE SIGNE.
Mine de rien, l’hypothèse selon laquelle I est un INTERVALLE est indispensable. Le théorème est faux
$ ATTENTION ! $
si I est une réunion d’intervalles non vides disjoints.
f est constante sur I1 et sur I2 ,
donc f ′ = 0 sur I1 et sur I2 ,
mais f n’est pas constante
sur I1 ∪ I2 .
y = f (x)
b
b
y = f (x)
b
b
b
b
b
b
I1
I2
I1
7
I2
f est croissante sur I1 et sur I2 ,
donc f ′ ¾ 0 sur I1 et sur I2 ,
mais f n’est pas croissante
sur I1 ∪ I2 .
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Définition (Dérivées successives) Soit f : I −→ R une fonction.
On commence par poser : f (0) = f . Ensuite, pour tout k ∈ N, SI on a réussi à définir f (k) sur I au cours des étapes
′
précédentes, et SI f (k) est dérivable sur I , on pose : f (k+1) = f (k) .
Pour tout k ∈ N, si la fonction f (k) est bien définie, dite dérivée kème de f , on dit que f est k fois dérivable sur I . On note
généralement f , f ′ , f ′′ et f ′′′ plutôt que f (0) , f (1) , f (2) et f (3) respectivement.
Pour tout k ∈ N, l’ensemble des fonctions k fois dérivables sur I tout entier est noté D k (I , R).
Le théorème « Opérations sur les dérivées » se généralise bien aux dérivées successives. Ainsi la
En pratique somme et le produit de deux fonctions k fois dérivables sont eux-mêmes k fois dérivables. Il en va de même de leur quotient
et de leur composée quand ils ont un sens.
ex
est dérivable autant de fois qu’on le veut sur R car les fonctions x 7−→ e x et x 7−→ x 2 +1
x2 + 1
le sont. On n’a pas besoin de dériver 99 fois pour savoir que la dérivée 100ème est bien définie !
Exemple
La fonction x 7−→
On a souvent besoin de démontrer des inégalités en mathématiques, et s’il n’y a pas de méthode
En pratique unique pour y parvenir, il y en a quand même une qu’il faut toujours avoir en tête, l’ÉTUDE DES VARIATIONS D’UNE FONCTION.
Exemple
Pour tout x ∈ ] − 1, +∞[ :
Un grand classique !
x
f ′ (x)
−1
−
La fonction x 7−→ x − ln(1 + x) est définie et dérivable sur ] − 1, +∞[
x
1
=
. On conclut grâce
et pour tout x ∈ ] − 1, +∞[ : f ′ (x) = 1 −
f (x)
1+ x
1+ x
au tableau ci-contre.
˜
˜
•
•
x +1
1 1
1 1
x +1
.
Par
ailleurs,
pour
tout
x
∈
R
:
.
∈
,
∈
−
,
Pour tout x ∈ [0, 2] :
x2 + 3
3 2
x2 + 3
6 2
En effet
En effet
Exemple
ln(1 + x) ¶ x.
f
0
0
+∞
+
0
• Tentative naïve : Pour tout x ∈ [0, 2] : 0 ¶ x 2 ¶ 4 donc 3 ¶ x 2 + 3 ¶ 7, et par ailleurs :
1
x +1
3
1 ¶ x + 1 ¶ 3, donc par quotient :
¶ 2
¶ = 1 — sauf que ce résultat est moins fin
7
x +3
3
que celui que nous souhaitons. En encadrant SÉPAREMENT le numérateur et le dénominateur, nous ne
les avons pas fait communiquer assez, cette tentative naïve est un échec.
f
• Solution via une étude de fonction : La fonction x 7−→
x +1
x2 + 3
est définie et dérivable sur R et pour tout x ∈ R :
1 × x 2 + 3 − (x + 1) × 2x
x 2 + 2x − 3
(x − 1)(x + 3)
′
f (x) =
=−
2
2 = −
2 .
2
2
x +3
x +3
x2 + 3
On conclut grâce au tableau ci-contre, sachant que :
Exemple
Pour tout x ∈ R∗+ \ 1 :
f (0) =
x
f ′ (x)
−
1
6
x
Nous pourrions étudier la fonction x 7−→
R∗+ .
nous allons plutôt étudier le SIGNE de x 7−→ (x + 1) ln x − 2(x − 1) sur
Nous diviserons par x − 1 en fin d’étude pour obtenir le résultat.
1
x −1
Or pour tout x ∈ R∗+ : f ′ (x) = ln x + − 1 et f ′′ (x) =
. On
x
x2
conclut grâce au tableau ci-contre.
−
f ′ (x)
f ′ (x)
+
f (x)
f (x)
f (x)
x −1
Les fonctions ne sont pas toutes aussi faciles à étudier les unes que les autres, faites le bon choix !
8
1
0
1
2
+∞
−
0
0
f ′′ (x)
Relisez bien le début de l’exemple précédent :
+
3
1
¶ = f (2).
3
7
x +1
ln x ¾ 2.
x −1
f
En pratique −3
0
0
f (x)
x +1
ln x et la comparer
x −1
à 2, mais la dérivée d’un quotient occasionne souvent d’affreux calculs, donc
En effet
−∞
−
1
0
+∞
+
0
0
+
0
−
+
0
+
+
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Exemple
Pour tout x, y ∈ ] − 1, 1[ :
x+y
∈ ] − 1, 1[.
1+ xy
En effet Comment prouver une inégalité sur deux variables ? Idée : on « gèle » l’une des variables, par exemple
y, et on considère que seule x est réellement variable. On dérive alors par rapport à x.
ª
§
f
x+y
1
x
−1
1
Soit y ∈ ] − 1, 1[ FIXÉ. La fonction x 7−→
,
est définie et dérivable sur R \ −
′
1+ xy
y
+
f (x)
1 − y2
1
> 0. On
donc a fortiori sur ] − 1, 1[. Pour tout x ∈ ] − 1, 1[ :
f ′ (x) =
f (x)
(1 + x y)2
−1
conclut grâce au tableau ci-contre.
3
FONCTIONS ET BONNE RÉDACTION
Ensemble de définition
$ ATTENTION ! $
• Pour définir une fonction, on peut procéder ainsi :
« On note f la fonction
p
ou ainsi :
« On note f la fonction n 7−→ n définie sur N. »
« On note f la fonction définie sur N par : ∀n ∈ N,
p
« On pose pour tout n ∈ N : f (n) = n. »
f (n) =
§
N
n
p
n. »
−→
7−→
Ensemble d’arrivée
R
p
»
n.
Flèche avec un PETIT TRAIT !
On s’interdira en revanche scrupuleusement les formulations suivantes :
p
p
p
« On note f la fonction n sur N. »
« On note f la fonction n −→ n sur N. »
« On pose f (n) = n. »
Problème de flèche !
• Pour parler d’une fonction, on écrit « . . . la fonction x 7−→ sin x 2 . . . » et non pas « . . . la fonction sin x 2 . . . »
• On dit qu’une fonction est définie SUR tel ou tel domaine. On s’interdira scrupuleusement toute formulation du type :
1
est définie pour tout x ∈ R \ 5 . »
« La fonction x 7−→
x −5
On dit qu’une fonction est monotone SUR tel ou tel domaine. On s’interdira scrupuleusement toute formulation du
type : « La fonction x 7−→ e2x + 1 est monotone pour tout x ∈ R. »
On dit qu’une fonction est dérivable SUR tel ou tel domaine. On s’interdira scrupuleusement toute formulation du
x
est dérivable pour tout x ∈ R. »
x2 + 1
type : « La fonction x 7−→
LA NOTATION « f (x)′ » EST TOTALEMENT INTERDITE.
Quand vous dérivez une fonction,
Š
€
′
f
disons x 7−→ esin x , n’écrivez pas : « Pour tout x ∈ R :
f ′ (x) = esin x = esin x cos x », mais simplement :
• Last but not least :
« Pour tout x ∈ R :
4
4.1
f ′ (x) = esin x cos x. »
FONCTIONS USUELLES
FONCTIONS
AFFINES
Définition (Fonctions affines) On appelle fonction affine toute fonction de la forme x 7−→ mx + p avec m, p ∈ R.
En pratique Le graphe de f est alors la droite de coefficient directeur m et d’ordonnée à
l’origine p. Si on connaît deux valeurs f (a) et f (b) de f avec a 6= b, alors :
m=
f (b) − f (a)
.
b−a
Souvent, en réalité, ce n’est pas l’ordonnée à l’origine qu’on connaît, mais l’ordonnée en un autre
point a. Le résultat suivant est FONDAMENTAL :
f (x) = m(x − a) + f (a).
9
m
y=
b
b
b
+1
b
p
x+
m
p
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
y = |x|
On appelle fonction affine par morceaux toute fonction f dont le domaine de définition est la réunion
d’un nombre fini d’intervalles disjoints sur lesquels f est affine. La fonction valeur absolue, par exemple,
est affine par morceaux, paire, continue sur R MAIS dérivable seulement sur R∗ .
Exemple
f
Pas dérivable en 0, il y a un « angle ».
Le graphe de la fonction x 7−→ |x + 1| − |x| + |x − 2| est représenté ci-dessous.
En effet
b
Tout simplement, pour tout x ∈ R :
y = f (x)
f (x) =

(x + 1)


 (x + 1)
(x + 1)



−(x + 1)
−x
+(x − 2)
=
+x
−(x − 2)
=
−x
+x
−(x − 2)
−(x − 2)
=
=
x −1
si x ¾ 2
x +3
si − 1 ¶ x < 0
3− x
1− x
si 0 ¶ x < 2
si x < −1,
et nous n’avons alors plus qu’à tracer des morceaux de droites selon les principes
de la remarque précédente.
4.2
FONCTIONS
POLYNOMIALES ET RATIONNELLES
Théorème (Fonctions puissances entières) Pour tout n ∈ Z, la fonction x 7−→ x n est définie et dérivable sur son
ensemble de définition, à savoir R si n ¾ 0 et R∗ si n < 0, de dérivée x 7−→ nx n−1 .
n pair > 0
n impair ¾ 3
n pair < 0
n impair < 0
Nous aurons plus tard dans l’année un chapitre « Polynômes » et un chapitre « Fractions rationnelles » importants. Il s’agit
ici seulement de faire rapidement connaissance avec ces objets.
Définition (Fonctions polynomiales et rationnelles)
• On appelle fonction polynomiale toute fonction P : R −→ R de la forme x 7−→ an x n +an−1 x n−1 +. . .+a2 x 2 +a1 x +a0
avec a0 , . . . , an ∈ R. Les réels a0 , . . . , an sont appelés les coefficients de P et le plus grand exposant de x doté d’un
coefficient non nul est appelé le degré de P.
• On appelle fonction rationnelle tout quotient d’une fonction polynomiale par une fonction polynomiale non nulle.
Exemple
La fonction x 7−→ 3x 5 − x 4 + 7x 2 + x − 2 est polynomiale de degré 5.
Pour calculer la limite en +∞ ou −∞ d’une fonction polynomiale ou rationnelle, on factorise par
En pratique le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie. Par exemple :

‹
−→ +∞
2
7
2
7
x →+∞
‹
x2 1 + + 2
1+ + 2
z}|{ 
2
1
x
+
2x
+
7
1
5
3
x
x
x
x
‹ = ×

−→ +∞
et
−→
+
=
.
4x 5 −6x 4 +5 = 4x 5 × 1 −
5
2
x→+∞
x→+∞ 3
1
1
2x 4x
3x − 1
3
{z
}
|
1−
3x 2 1 −
3x 2
3x 2
−→ 1
x →+∞
Définition-théorème (Racine d’une fonction polynomiale) Soient P : R −→ R une fonction polynomiale et λ ∈ R.
• On dit que λ est une racine de P si :
P(λ) = 0.
• Factorisation par une racine : λ est racine de P si et seulement s’il existe une fonction polynomiale Q : R −→ R
telle que pour tout x ∈ R : P(x) = (x − λ)Q(x).
10
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Exemple
f
La fonction x 7−→ x 3 − 3x 2 + x + 3 s’annule en 2, et en effet, pour tout x ∈ R :
f (x) = (x − 2) x 2 − x − 1 .
Ce chapitre est consacré aux fonctions de R dans R, mais on peut bien sûr définir des fonctions
Explication polynomiales et rationnelles de C dans C au moyen de coefficients complexes et disposer naturellement d’une notion de
racine complexe. Le nombre i est par exemple racine de x 7−→ x 2 + 1, d’où la factorisation suivante pour tout x ∈ C :
x 2 + 1 = (x − i)(x + i).
4.3
FONCTIONS
EXPONENTIELLE , LOGARITHME ET PUISSANCES
Définition-théorème (Fonctions exponentielle et logarithme) La fonction exponentielle exp est définie et dérivable
sur R de dérivée elle-même. On pose e x = exp(x) pour tout x ∈ R et le nombre e1 est noté e : e ≈ 2, 718.
1
La fonction logarithme (népérien) ln est définie et dérivable sur R∗+ de dérivée la fonction inverse x 7−→ .
x
• Réciprocité : Pour tout x ∈ R : ln e x = x et pour tout x ∈ R∗+ : eln x = x. Conséquence : les graphes d’exp
et ln sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite d’équation y = x — nous y reviendrons plus loin.
y = ex
• Transformation somme/produit : Pour tous x, y ∈ R : e x+ y = e x e y ,
1
donc en particulier : e−x = x , et pour tous x, y ∈ R∗+ :
e
1
ln(x y) = ln x + ln y,
donc en particulier : ln = − ln x.
x
• Croissances comparées :
y=x
e
b
1
b
1
e
ex
= +∞,
x→+∞ x
lim
lim xe−x = 0,
x→+∞
lim
x→+∞
• Inégalités classiques : Pour tout x ∈ R :
x ∈ ] − 1, +∞[ : ln(1 + x) ¶ x.
y = ln x
ln x
= 0 et
x
ex ¾ x + 1
lim x ln x = 0.
x→0
et pour tout
x
Le réel ep
n’est pas « e multiplié x fois par lui-même », car en général x n’est pas un entier naturel
$ ATTENTION ! $
— que signifierait « e multiplié 2 fois par lui-même » ? La notation « puissance » de e x n’est qu’une NOTATION, utilisée
par souci de commodité parce que l’exponentielle transforme les sommes en produits comme les puissances classiques. Mais
dans ce cas, qu’est-ce donc qu’e x si ce n’est pas « e multiplié x fois par lui-même » ? Mystère, mystère. . .
Jusqu’ici, nous avions seulement défini les puissances x n pour n ENTIER. Nous pouvons maintenant généraliser.
Définition (Puissances quelconques et racines nèmes d’un réel STRICTEMENT POSITIF) Soit x ∈ R∗+ .
• Pour tout y ∈ R, on appelle x puissance y le réel :
x y = e y ln x .
• Pour tout n ∈ N∗ (ENTIER, donc), on appelle racine nème de x le réel :
p
n
1
x = xn.
$ ATTENTION ! $
• Cette re-définition « x y = e y ln x » n’est valable que pour des valeurs STRICTEMENT POSITIVES de x à cause du ln x.
• Ici aussi, la notation « puissance » n’est qu’une NOTATION, x y n’est pas le produit y fois de x. Il n’existe aucune autre
définition de x y dans le cas où y est un réel quelconque. Par conséquent, quand vous voyez x y quelque part, IL FAUT
que l’exponentielle et le logarithme vous sautent aux yeux instantanément.
Exemple
Pour tout x > 1 :
x
ln ln x
ln x
=e
ln ln x ×ln x
ln x
= eln ln x = ln x.
11
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Théorème (Propriétés algébriques des puissances) La nouvelle définition des puissances généralise bien l’ancienne.
(i) Pour tout x ∈ R∗+ et pour tout n ∈ N, les définitions « x n = x × x × . . . × x (n fois) » et « x n = en ln x » coïncident.
(ii) Pour tous x, x ′ ∈ R∗+ et y, y ′ ∈ R :
ln x y = y ln x,
′
′
′
x y+ y = x y x y ,
xyy = xy
Démonstration
y′
(x x ′ ) y = x y x ′ y
,
n fois
n ln x
′
′
ln x
= ey
x − y = e− y ln x =
′
ln(x y )
′
= xy
1
1
= y
e y ln x
x
y′
et
x y+ y = e( y+ y ) ln x = e y ln x+ y
′
′
′
′
ln x
(i) La fonction x 7−→ x
x 7−→ αx α−1 .
 ‹y
1
.
x
= e y ln x e y
′
ln x
′
= xyxy .
′
(x x ′ ) y = e y ln(x x ) = e y ln x+ y ln x = e y ln x e y ln x = x y x ′ y .
 ‹y
€ Š
1
y ln 1
− y ln x
x
=
.
=e
=e
x
.
x−y
Théorème (Étude des fonctions puissances) Soit α ∈ R.
α
1
=
xy
n fois
fois
}|
{ z
z
}|
{ z n}|
{
ln x
ln x
ln x + . . . + ln x
= e × . . . × e = x × . . . × x.
=e
(i) Tout simplement : e
(ii)
ln x y = ln e y ln x = y ln x.
x y y = ey y
x−y =
et
„
α>1
est définie et dérivable sur
R∗+
de dérivée
α=1
(ii) Positions relatives :
Pour tous x ∈ ]0, 1] et α, β ∈ R :
α¶β
Pour tous x ∈ [1, +∞[ et α, β ∈ R :
α¶β
0<α<1
x β ¶ x α.
=⇒
bc
En particulier :
α=0
b
xα ¶ xβ .
=⇒
α<0
b
— pour x ∈ ]0, 1] :
Prolongement
par continuité en 0 pour α > 0
1
1
1
¶ 2 ¶ 3 ¶ ...
x
x
x
1
1
1
0 ¶ . . . ¶ 3 ¶ 2 ¶ ¶ 1 ¶ x ¶ x2 ¶ x3 ¶ . . .
x
x
x
0 ¶ . . . ¶ x3 ¶ x2 ¶ x ¶ 1 ¶
— pour x ∈ [1, +∞[ :
(iii) Prolongement par continuité en 0 pour α > 0 : Dans le cas où α > 0, on prolonge la fonction x 7−→ x α en 0
en posant : 0α = 0. La nouvelle fonction ainsi obtenue est définie et continue sur R+ tout entier, y compris en
0. Un tel prolongement est appelé prolongement par continuité.
Pour α ∈ ]0, 1[, la fonction x 7−→ x α est continue en 0 mais elle y a une tangente verticale, signe
$ ATTENTION ! $
p
qu’elle n’est pas dérivable en 0. C’est notamment ce qui arrive à la fonction racine carrée ·.
Démonstration
f
(i) x 7−→ eα ln x est dérivable comme composée et pour tout x ∈ R∗+ :
f ′ (x) =
α α ln x
e
= αx −1 x α = αx α−1 .
x
(ii) Soient x ∈ R∗+ et α, β ∈ R tels que α ¶ β .
— Si x ∈ ]0, 1] :
ln x ¶ 0,
— Si x ∈ [1, +∞[ :
(iii) Pour α > 0 :
donc :
ln x ¾ 0,
lim x α = 0,
x→0
β ln x ¶ α ln x,
donc :
et donc :
α ln x ¶ β ln x,
x β = eβ ln x ¶ eα ln x = x α .
x α = eα ln x ¶ eβ ln x = x β .
et donc :
donc on obtient une fonction continue en 0 en posant :
0α = 0.
„
Théorème (Croissances comparées des fonctions logarithme, exponentielle et puissances) Le principe général,
c’est que l’exponentielle est plus puissante que les puissances, qui sont elles-mêmes plus puissantes que le logarithme.
Précisément, pour tous α > 0 et β > 0 :
lim
x→+∞
ex
= +∞,
xα
12
xα
= +∞
x→+∞ (ln x)β
lim
et
lim x α | ln x|β = 0.
x→0
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
4.4
FONCTIONS
HYPERBOLIQUES
sh, ch
ET
th
Définition-théorème (Fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique)
e x − e−x
et cosinus
Pour tout x ∈ R, on appelle sinus hyperbolique de x le réel : sh x =
2
x
−x
e +e
.
hyperbolique de x le réel : ch x =
2
Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique, respectivement impaire et paire, sont
définies et dérivables sur R avec :
sh′ = ch
et
ch′ = sh.
Enfin, pour tout x ∈ R :
y = ch x
ch2 x − sh2 x = 1.
y = sh x
x
Démonstration
• Variations : Elles sont étudiées sur le tableau ci-contre.
ch x
• Relation « ch2 x − sh2 x = 1 » :
sh x
ch2 x − sh2 x = ch x + sh x × ch x − sh x = e x × e−x = 1.
Exemple
Les solutions de l’équation :
En effet
×e x
⇐⇒
⇐⇒
Pour tout x ∈ R :
x 2
ch x = 2
x
Second degré en e x
p
2+ 3>0
⇐⇒
p
2− 3>0
e =
p
4+
x = ln 2 +
12
2
p 3
x
th =
ou
1
.
ch2
Elle possède enfin une asymptote d’équation y = 1 au voisinage de +∞ (resp.
y = −1 au voisinage de −∞).
Démonstration La fonction th est dérivable par quotient et :
la limite en +∞ :
1
sh2
= 1 − th2 .
ch2
ch2
e x − e−x
1 − e−2x
sh x
= x
=
th x =
ch x
e + e−x
1 + e−2x
tité qui vaut à la fois :
et
1−
13
th′ =
4−
x = ln 2 −
p
12
2
p 3 .
1
sh
.
ch
th′ = 1 − th2 =
Elle est dérivable sur R et impaire et :
1
ou e =
Définition-théorème (Fonction tangente hyperbolique)
La fonction tangente hyperbolique est définie sur R par la relation :
+
0
e x − 4 + e−x = 0
⇐⇒
x
⇐⇒
−
ch x
e x + e−x
=2
2
⇐⇒
+∞
0
+
0
sh x
d’inconnue x ∈ R sont :
p et
ln 2 − 3 .
ch x = 2
p ln 2 + 3
− 4e + 1 = 0
p
p
e x = 2 + 3 ou e x = 2 − 3
e
„
−∞
y = th x
−1
sh′ × ch − ch′ × sh
2
ch
=
ch2 − sh2
ch2
,
quan-
L’étude des variations est très simple à mener. Pour
−→ 1.
x→+∞
„
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
4.5
TABLEAU
RÉCAPITULATIF DES DÉRIVÉES USUELLES
Fonction
Ensemble
de définition
Ensemble
de dérivabilité
Dérivée
ex
R
R
ex
ln x
R∗+
R∗+
1
x
R si α ∈ N
Par convention,
0α = 0
si α > 0.
x α = eα ln x
sh x =
α x α−1
R si α ∈ Z \ N
R∗+ si α ∈ R \ Z
R∗+ si α ∈ R \ Z
R
R
ch x
R
R
sh x
R
R
1 − th2 x =
e x − e−x
2
e x + e−x
2
sh x
th x =
ch x
5.1
∗
R si α ∈ Z \ N
ch x =
5
R si α ∈ N
∗
1
ch2 x
INTRODUCTION AUX BIJECTIONS ET AUX RÉCIPROQUES
NOTIONS
DE BIJECTION ET DE RÉCIPROQUE
Définition (Bijection) Soient A et B deux parties de R et f : A −→ B une fonction. On dit que f est bijective de A sur B,
ou que f est une bijection de A sur B, ou que f réalise une bijection de A sur B, si tout élément de B possède un et un seul
antécédent par f , i.e. si :
∀ y ∈ B,
∃ ! x ∈ A/
y = f (x).
b
B
Explication
bc
b
b
B
b
b
B
b
b
Fonction bijective
de A sur B
b
x1
A
$ ATTENTION ! $
y
y
b
A
x2
Fonction NON bijective
de A sur B,
y a PLUSIEURS antécédents.
A
Fonction NON bijective
de A sur B,
y n’a AUCUN antécédent.
• Une bijection n’est pas forcément strictement monotone. La figure de gauche le montre bien.
• À moins qu’il n’y ait pas d’ambiguïté, il faut toujours préciser « de A sur B » quand on évoque la bijectivité d’une
fonction. À ce propos, on ne confondra pas « de A DANS B » avec « de A SUR B » :
— Dire qu’une fonction est définie de A DANS B, c’est dire que ses valeurs sont toutes DES éléments de B mais pas
forcément TOUS les éléments de B. Il y en a peut-être qu’elle n’atteint pas. C’est le même « dans » que dans
l’expression « à valeurs dans B ».
— Dire qu’une fonction est bijective de A SUR B, c’est au contraire affirmer en particulier qu’elle atteint TOUS les
éléments de B, que son image est B tout entier.
14
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Définition (Identité) Soit A une partie de R. On appelle identité de A et on note IdA la fonction
§
A
x
−→
7−→
A
x.
Définition (Réciproque) Soient A et B deux parties de R et f : A −→ B une fonction. On appelle réciproque de f toute
fonction g : B −→ A pour laquelle : g ◦ f = IdA et f ◦ g = IdB .
Les identités « ∀x ∈ A, g ◦ f (x) = x » et « ∀ y ∈ B, f ◦ g( y) = y » expriment l’idée que g défait
Explication le travail que f opère — et vice versa. Ce que l’une tricote, l’autre le détricote.
Exemple
• Les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l’une de l’autre car pour tout x ∈ R :
tout x ∈ R∗+ : eln x = x.
ln e x = x
1
xα
• Soit α ∈ R∗ . Les fonctions x 7−→ x α et x 7−→ x α sont réciproques l’une de l’autre car pour tout x ∈ R∗+ :
1 α
p
et
x α = x. C’est en particulier le cas des fonctions x 7−→ x n et x 7−→ n x pour tout n ∈ N∗ sur R+ .
et pour
α1
=x
Théorème (Bijectivité et réciproque) Soient A et B deux parties de R et f : A −→ B une fonction.
f est bijective de A sur B si et seulement si f possède une réciproque.
Une telle réciproque est alors unique, appelée LA réciproque de f et notée f −1 . Pour tous x ∈ A et y ∈ B :
y = f (x)
⇐⇒
x = f −1 ( y).
Cette équivalence signifie géométriquement que le graphe de f et celui de f −1 sont symétriques l’un de l’autre par rapport
à la droite d’équation y = x.
Explication
y=x
La symétrie des graphes de f et f −1 par
rapport à la droite d’équation y = x se visualise aisément sur les
figures ci-contre. La fonction exponentielle est bijective de R sur
R∗+ , tandis qu’à l’inverse la fonction logarithme est bijective de
R∗+ sur R. Pour tout α ∈ R∗ , la fonction x 7−→ x α est bijective de
y = xα
y=x
y = ex
1
y = xα
1
R∗+ sur R∗+ de réciproque x 7−→ x α .
Démonstration
y = ln x
Sur cette figure, α > 1.
Pour ne pas perdre de temps, nous laisserons de côté l’unicité de la réciproque.
• Supposons f bijective de A sur B : ∀ y ∈ B, ∃ ! x ∈ A/ y = f (x) et introduisons l’application g
qui, à tout y ∈ B, associe l’unique antécédent de y par f . Nous allons montrer que g est une réciproque
de f .
— Pour tout y ∈ B : y = f g( y)
par définition de g( y) comme antécédent de y par f . Conclusion :
f ◦ g = IdB .
— Pour tout x ∈ A, g f (x) est par définition de g l’unique antécédent de f (x) par f , or x est justement
un tel antécédent de f (x) par f , donc : g f (x) = x par unicité. Conclusion : g ◦ f = IdA.
• Supposons réciproquement que f possède une réciproque g et montrons qu’alors f est bijective de A
sur B. Soit y ∈ B. Nous devons prouver que y possède UN ET UN SEUL antécédent par f dans A.
— Par définition de g : y = f g( y) , donc y possède AU MOINS UN antécédent par f .
— Pour montrer qu’il en possède AU PLUS UN, donnons-nous-en deux x et x ′ :
Alors : x = g f (x) = g f (x ′ ) = x ′ par définition de g, donc : x = x ′
15
y = f (x) = f (x ′ ).
„
— unicité.
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Théorème (Réciproque d’une fonction bijective monotone/impaire) Soient A et B deux parties de R et f : A −→ B
une fonction bijective de A sur B.
(i) Si f est monotone, elle l’est strictement et f −1 est strictement monotone de même sens de variation.
(ii) Si A est symétrique par rapport à 0 et si f est impaire, B est symétrique par rapport à 0 et f −1 est impaire.
Démonstration
(i) Traitons seulement le cas où f est croissante : ∀x, y ∈ A, x < y =⇒ f (x) ¶ f ( y). En fait
f est STRICTEMENT croissante, car s’il était possible d’avoir « f (x) = f ( y) », x et y seraient DEUX
antécédents d’un même élément de B alors que f est supposée bijective.
Montrons que f −1 est strictement
croissante.
Soient y, y ′ ∈ B tels que y < y ′ . Si : f −1 ( y) ¾ f −1 ( y ′ ),
−1
−1
′
alors :
y = f f ( y) ¾ f f ( y ) = y ′ par croissance de f , ce qui est faux. Conclusion :
−1
f ( y) < f −1 ( y ′ ).
(ii) Soit y ∈ B. Alors y = f (x) pour un certain x ∈ A. Or A est symétrique par rapport à 0 donc −x ∈ A. Et
comme f est impaire : − y = − f (x) = f (−x) ∈ B. Conclusion : B est symétrique par rapport à 0.
Par ailleurs : f −1 (− y) = f −1 − f (x) = f −1 f (−x) = −x = − f −1 ( y), donc f −1 est impaire. „
5.2
LE TVI
STRICTEMENT MONOTONE
Nous reviendrons très longuement et avec démonstrations sur les énoncés de ce paragraphe au chapitre « Continuité ».
Définition (Continuité) Soient I un intervalle, f : I −→ R une fonction et a ∈ I .
On dit que f est continue en a si :
f (a)
b
a
a
f N’est PAS
continue en a.
f est continue
en a.
bc
f (a)
lim f = f (a).
f (a)
f N’est PAS
continue en a.
b
bc
b
a
a
Théorème (Dérivabilité et continuité) Soient I un intervalle, f : I −→ R et a ∈ I . Si f est dérivable en a, alors f est
continue en a.
$ ATTENTION ! $
La réciproque est fausse ! Pensez à la valeur absolue ou à la racine carrée en 0.
Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires ou TVI)
Soient a, b ∈ R tels que a < b et f : [a, b] −→ R une fonction CONTINUE.
Alors tout réel y compris entre f (a) et f (b) possède AU MOINS UN antécédent par
f dans [a, b] :
∃ x ∈ [a, b]/ y = f (x).
$ ATTENTION ! $
y
Ici, PLUSIEURS antécédents.
b
b
x1
x2
b
b
x3x4
Avant de poursuivre, revenons un instant sur la notion d’image d’un intervalle par une fonction f .
En général :
f [a, b] = f (a), f (b) ,
f ]a, b[ = f (a), f (b) ,
etc.
Nous allons voir que ces égalités en apparence naturelles se déduisent généralement de deux hypothèses importantes, la
CONTINUITÉ et la STRICTE MONOTONIE .
16
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
f (b)
f (b)
b
Ici, f n’est pas
strictement monotone
sur [a, b].
bc
Ici, f n’est pas
continue sur [a, b].
b
f (a)
b
a
b
f (a)
b
b
a
b
b
Théorème (TVI strictement monotone) Soient a, b ∈ R tels que a < b.
(i) Soit f : [a, b] −→ R une fonctionCONTINUE et STRICTEMENT CROISSANTE.
Alors f est bijective de [a, b] sur f (a), f (b) .
(ii) Soit f : [a, b[ −→ R une fonction CONTINUE et
STRICTEMENT DÉCROISSANTE.
Alors f est bijective de [a, b[ sur lim f , f (a) .
b
(iii) Soit f : ]a, b[ −→ R une fonction
CONTINUE et STRICTEMENT CROISSANTE.
Alors f est bijective de ]a, b[ sur lim f , lim f .
a
b
(i)
f (b)
(ii)
b
f (a)
f (a)
bc
b
lim f
bc
a
b
a
bc
b
lim f
b
(iii)
lim f
b
a
a
b
b
Il existe bien sûr d’autres versions du théorème selon que f est croissante ou décroissante et définie ou non en a et b,
avec éventuellement a = −∞ et b = +∞.
Nous allons utiliser ce théorème une infinité de fois cette année. Brûleront donc en enfer tous ceux
$ ATTENTION ! $
d’entre vous qui l’utiliseront sans soin. TROIS choses essentielles :
la CONTINUITÉ,
Exemple
la STRICTE MONOTONIE,
La fonction f définie sur R par f (0) = 1 et pour tout x ∈ R∗ :
les VALEURS/LIMITES AUX BORNES.
f (x) =
ex − 1
x
est bijective de R sur R∗+ .
En effet
• Continuité : Comme quotient, f est continue sur R∗ — et en 0 ? Par définition du nombre dérivé :
ex − 1
lim
= exp′ (0) = e0 = 1, i.e. : lim f = f (0) — continuité en 0. Ainsi f est continue sur R
x→0
0
x
tout entier.
x
−∞
+∞
0
′
• Stricte monotonie : Comme quotient, f est dérivable sur R∗ et pour tout
+
−
g
(x)
0
e x (x − 1) + 1
. Le signe de f ′ dépend donc du signe
x ∈ R∗ : f ′ (x) =
g(x)
x2
g
0
de la fonction dérivable x 7−→ e x (x − 1) + 1 sur R, or pour tout x ∈ R :
′
x
g(x)
+
+
0
g (x) = xe . D’après le tableau ci-contre, f est finalement strictement
′
+
+
f (x)
croissante sur R.
+∞
• Étude aux bornes :
lim f = 0 et lim f = +∞.
f (x)
−∞
+∞
0
• On conclut grâce au TVI strictement monotone.
y=x
Définition (Point fixe)
b
Soient A une partie de R et f : A −→ R une fonction. On appelle point
fixe de f tout élément x de A pour lequel : f (x) = x.
y = f (x)
b
Points fixes de f
17
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
En pratique Exemple
Étudier les POINTS FIXES DE f , c’est étudier les ZÉROS DE x 7−→ f (x) − x.
La fonction x 7−→ e−x possède un et un seul point fixe sur R.
f
En effet La fonction x 7−→ e−x − x est continue sur R, strictement décroissante sur R comme somme de
fonctions strictement décroissantes, et enfin :
lim f (x) = −∞ et
lim f (x) = +∞, donc d’après
x→+∞
x→−∞
le TVI strictement monotone, f s’annule une et une seule fois sur R, ce qui est bien le résultat voulu.
5.3
CONTINUITÉ
ET DÉRIVABILITÉ D ’UNE RÉCIPROQUE
Les théorèmes de ce paragraphe seront démontrés dans les chapitres « Continuité » et « Dérivabilité ».
Théorème (Continuité et dérivabilité d’une réciproque) Soient I et J deux intervalles et f : I −→ J une fonction
bijective de I sur J .
• Continuité : Si f est continue sur I , alors f −1 est continue sur J .
• Dérivabilité : Si f est dérivable sur I ET SI f ′ NE S’ANNULE PAS SUR I , alors f −1 est dérivable sur J et :
′
1
.
f −1 = ′
f ◦ f −1
Démonstration La continuité et la dérivabilité de f −1 demandent du travail, mais la formule de dérivation
′
de f −1 en découle aisément ensuite, il suffit de dériver la relation « f ◦ f −1 = IdJ » :
f −1 × f ′ ◦ f −1 = 1. „
y = f −1 (x) y = x
$ ATTENTION ! $
L’hypothèse selon laquelle f ′ ne s’annule pas
est essentielle !
y = f (x)
b
Tangente VERTICALE,
donc f −1 n’est pas dérivable.
b
Tangente HORIZONTALE,
f ′ s’annule.
Exemple
Faisons l’hypothèse que nous connaissons tout de l’exponentielle mais rien du logarithme. La fonction logarithme peut dans ce cas être DÉFINIE comme comme réciproque de l’exponentielle : ln = exp−1 . Or l’exponentielle est
dérivable sur R et sa dérivée exp′ = exp ne s’annule pas sur R, donc en vertu du théorème précédent, la fonction logarithme
′
1
1
1
est dérivable sur R∗+ et pour tout x ∈ R∗+ : ln′ (x) = exp−1 (x) =
=
= .
exp′ ◦ exp−1 (x)
exp ◦ ln(x)
x
18