corrige rattrapage math2 sm s2 15 16

Université Abou Bekr Belkaid
A.U 2015/2016
Faculté des Sciences
16 juin 2016
Durée 1h30mn,
Examen de rattrapage Maths2
EXERCICE1 (5pts)
.
(U
définie par
.
, il en est de même pour .
ie
nc
1) Montrer que est dérivable sur ]0,+
et calculer
2) Montrer que pour
, il existe
tel que
3) Montrer que si est strictement croissante sur
au voisinage de
de
s
1) Donner le développement limité de
Sc
EXERCICE2 :(5pts)
à l’ordre 3.
.
ul
té
2) Appliquer la règle de l’Hôpital au calcul de la limite suivante
Fa
c
3) Calculer l’intégrale suivante
(S
2
On considère la matrice
)~
EXERCICE3 :(5pts)
SM
/S
T
1) Calculer
En déduire que est inversible et calculer son inverse.
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de
par
3) En déduire l’expression de la matrice
D
EXERCICE4 :(5pts)
iè
r
e
LM
1) Résoudre l’équation différentielle suivante :
.
2) En utilisant les coordonnées polaires calculer l’intégrale double suivante :
Pr
em
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On désigne par
, telle que
ni
v.
une application continue, dérivable sur ]0,+
es
Soit
Tl
em
ce
n
)
LMD SM
Où D désigne le disque de centre 0 et de rayon
.
Bon courage !
Juin 2016
A.U 2015/2016
TRONC COMMUN SM
Corrigé du rattrapage
Durée 1h30mn,
ce
n
)
Université Abou Bekr Belakaid
f est dérivable sur
(hyp) (0.25), la fonction
Tl
em
EXERCICE1 :1) g dérivable ?
est dérivable sur
(0.25)
tel que
. (0.25)
Sc
c-à-d
3) Supposons f’ strictement croissante sur
et montrons que g est strictement
de
s
croissante : on a 
=
;
ul
té
(0.25)

(0.5)
(0.25) alors
Fa
c
(0.25) et f’ strictement croissante
(0.5). Ainsi g strictement croissante (0.25).
(0.25)
SM
/S
T
(S
2
EXERCICE2 : 1) Méthode1 :
)~
Puisque
(0.25), alors d’après le
(0.5)
ie
nc
2) Soit
: f continue sur
(0.25),dérivable sur
théorème des accroissement finis :il existe
tel que
(U
(01).
es
:
(0.5) (par division euclidienne ou produit
). On a
(0.25) d’où
iè
r
e
LM
Méthode2 :
pour
D
(0.25) ou
+ (
Pr
em
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Pour tout
ni
v.
donc g est dérivable sur ]0,+∞[.(0.25).
=
(
(0.25) ou (
+
pour
)
(0.25)=
(0.25)
)
2) soit
, f et g sont continues sur [0,1], dérivables au voisinage de
1 (sur ]0,1[),f(1)=g(1)=0 et g’(x)0 si x 1 (hypothèses de la règle de l’Hôpital)(0.25), alors d’après la
règle de l’Hôpital
Tl
em
ce
n
(0.5)
,
3)
ni
v.
On décompose la fraction
es
ie
nc
(01)matrice nulle.On a
(0.5)
, d’où A est inversible (0.25) et
(0.5)
)~
3)En remplaçant X par A, on obtient
(0.25)
(0.5)
Fa
c
ul
té
son inverse
de
s
1)
Sc
EXERCICE3 :
(0.25) d’où
(S
2
Or
/S
T
EXERCICE4 :
(0.25)
SM
1)A)ESSM : y’’+y=0, on écrit l’équation caractéristique :
Qui admet deux solutions complexes ;
D’où la solution générale de l’ESSM :
LM
D
(0.25)
iè
r
e
B)EASM :Par variation de la constante ; cherchons une solution particulière de la forme :
, où
sont solutions du
système :
Pr
em
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(U
D’où
(0.25)
∆=
,
∆
(0.25)
est une solution particulière de l’EASM
(0.25). (ou par la méthode de la solution
ni
v.
particulière : ici i est sol de l’EC on cherche donc une sol particulie de la forme
(0.25)
(U
(0.5)
es
ie
nc
On remplace dans l’EASM, on obtient :-2Asin x +2B cos x=3cos x(0.5)
,
iè
r
e
LM
D
SM
/S
T
(S
2
)~
Fa
c
ul
té
(0.25)
de
s
;
Sc
Ainsi
2) Soit
Pr
em
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(0.5)
D’où B= et
Tl
em
Ainsi
(0.25+0.25)
ce
n
D’où
)
∆