corrige rattrapage math2 sm s2 15 16

Université Abou Bekr Belkaid A.U 2015/2016
Faculté des Sciences 16 juin 2016
LMD SM Examen de rattrapage Maths2 Durée 1h30mn,
EXERCICE1 (5pts)
Soit   une application continue, dérivable sur ]0,+ , telle que   
On désigne par   définie par 
.
1) Montrer que  est dérivable sur ]0,+ et calculer 
2) Montrer que pour   
, il existe  tel que  .
3) Montrer que si  est strictement croissante sur , il en est de même pour .
EXERCICE2 :(5pts)
1) Donner le développement limité de 
  au voisinage de  à l’ordre 3.
2) Appliquer la règle de l’Hôpital au calcul de la limite suivante 
.
3) Calculer l’intégrale suivante 
EXERCICE3 :(5pts)
On considère la matrice   
1) Calculer  En déduire que  est inversible et calculer son inverse.
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de  par   
3) En déduire l’expression de la matrice 
EXERCICE4 :(5pts)
1) Résoudre l’équation différentielle suivante :   .
2) En utilisant les coordonnées polaires calculer l’intégrale double suivante :
Où D désigne le disque de centre 0 et de rayon .
Bon courage !
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Université Abou Bekr Belakaid Juin 2016 A.U 2015/2016
TRONC COMMUN SM Corrigé du rattrapage Durée 1h30mn,
EXERCICE1 :1) g dérivable ?
f est dérivable sur  (hyp) (0.25), la fonction 
 est dérivable sur (0.25)
donc g est dérivable sur ]0,+∞[.(0.25).
Pour tout  :
 (01).
2) Soit 
 : f continue sur  (0.25),dérivable sur  (0.25), alors d’après le
théorème des accroissement finis :il existe   tel que (0.5)
c-à-d  tel que . (0.25)
3) Supposons f’ strictement croissante sur  et montrons que g est strictement
croissante : on a 
 =  ; (0.5)
(0.25)
Puisque  (0.25) et f’ strictement croissante  (0.25) alors
 (0.5). Ainsi g strictement croissante (0.25).
EXERCICE2 : 1) Méthode1 : 
(0.25)
(0.25) ou 
 pour 
Méthode2 :  (0.5) (par division euclidienne ou produit
 ). On a 
 (0.25) d’où 
+( (0.25)=
=
(+
(0.25)
(0.25) ou (
 pour 
)
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2) soit , f et g sont continues sur [0,1], dérivables au voisinage de
1 (sur ]0,1[),f(1)=g(1)=0 et g’(x) 0 si x 1 (hypothèses de la règle de l’Hôpital)(0.25), alors d’après la
règle de l’Hôpital
 (0.5)
3) 
,
On décompose la fraction 
D’où 
EXERCICE3 :
1)   (01)matrice nulle.On a  (0.5)
, d’où A est inversible (0.25) et
son inverse  
 (0.5)
 (0.5)
3)En remplaçant X par A, on obtient 
(0.25)
Or   (0.25) d’où  
EXERCICE4 :
1)A)ESSM : y’’+y=0, on écrit l’équation caractéristique : (0.25)
Qui admet deux solutions complexes ; 
D’où la solution générale de l’ESSM :(0.25)
B)EASM :Par variation de la constante ; cherchons une solution particulière de la forme :
, où  sont solutions du
système :
 (0.25)
= 
,
(0.25)
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D’où 
 est une solution particulière de l’EASM
Ainsi 
(0.25). (ou par la méthode de la solution
particulière : ici i est sol de l’EC on cherche donc une sol particulie de la forme
(0.25)
(0.5)
 (0.5)
On remplace dans l’EASM, on obtient :-2Asin x +2B cos x=3cos x(0.5)
D’où B=
 et   Ainsi 
2) Soit 
 ; , (0.25+0.25)
(0.25)
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