5. Soit {B1, . . . , Bn}une famille d’événements formant une partition de Ω. Montrer que
P(Bk|A) = P(A|Bk)P(Bk)
∑n
i=1P(A|Bi)P(Bi). (formule de Bayes)
Exercice 5. Une urne contient une seule boule. On sait qu’elle est soit noire soit blanche
avec probabilités égales. On met une nouvelle boule blanche dans cet urne et ensuite on
tire une boule au hasard. Il s’avère qu’elle est blanche. Calculer la probabilité que la boule
qui reste dans l’urne est également blanche.
Exercice 6. On lance simultanément 3 dés équilibrés. Calculer la probabilité d’avoir la
face 6 sur tous les dés sachant que
1. le résultat d’un dé est un 6,
2. le résultat du premier dé est un 6,
3. le résultat de deux dés est un 6,
4. les résultats des trois dés sont égaux,
5. au moins deux résultats sur trois sont égaux,
6. au moins un des trois résultat est un 6.
Exercice 7. Soit ξ:Ω→Ret η:Ω→Rdeux variables aléatoires.
1. Si pour tout (a,b)∈R2les variables aléatoire min(a,ξ)et min(b,η)sont indépen-
dantes, alors ξ⊥⊥ η.
2. Si P(ξ>0) = P(η>0) = 3/4 et P(ξ+η>0) = 1/2 alors ξet ηsont dépendantes.
3. Supposons que ξest continue de densité symétrique. Montrer que Fξ(−x) = 1−
Fξ(x)pour tout x∈R. Prouver que les variables aléatoires |ξ|et sgn(ξ)sont indé-
pendantes.
4. On suppose que ξvérifie Fξ(−x) = 1−Fξ(x)pour tout x∈R. Calculer la fonction
de répartition du vecteur aléatoire ζ= (|ξ|, sgn(ξ)) et prouver que les variables
aléatoires |ξ|et sgn(ξ)sont indépendantes. (Ici sgn(u) = 1l[0,+∞[(u)−1l]−∞,0[(u).)
Exercice 8. Soit (Ω,A,P) = ([0, 1],B([0, 1]),dx)où dx désigne la mesure de Lebesgue.
Pour tout n∈Net pour tout w∈[0, 1], on définit ξn(w)comme le nème chiffre après
la virgule dans la décomposition binaire du nombre w. Montrer que pour tout n6=kles
variables aléatoire ξnet ξksont indépendantes.
Exercice 9. Soit ξ1, . . . , ξndes variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre λ/noù λest un réel positif.
1. Prouver que la variable aléatoire ηn=ξ1+. . . ξnsuit la loi binômiale B(n,λ/n).
2. En utilisant la formule de Stierling, calculer la limite lorsque n→∞de la suite
P(ηn=k)pour tout k∈Nfixé.