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Probabilités élémentaires – HLMA 311
TD n˚3 : Variables aléatoires discrètes
Exercice 1. (***) On lance nfois une pièce, puis de nouveau nfois.
1. Avec quelle probabilité pnobtient-on les deux fois le même nombre de "faces" ? Simplifier le
résultat obtenu en s’intéressant au coefficient de degré ndu polynôme (X+1)2n= [(X+1)n]2.
2. En utilisant la formule de Stirling, déterminer un équivalent de pnlorsque n→+∞.
Exercice 2. (**) Une urne contient initialement une boule noire et une boule blanche et on répète
l’expérience aléatoire suivante : on tire une boule, on la remet dans l’urne et on ajoute aussitôt une
boule supplémentaire de la même couleur. Ce modèle d’urne est connu sous le nom d’urne de Pólya.
Pour tout k∈N, on note Nkle nombre de boules blanches dans l’urne après ktirages. Montrer par
récurrence que, pour tout k∈N,Nksuit la loi uniforme U({1,· · · , k + 1}).
Exercice 3. (***) Soit p∈]0,1[ et X1,· · · , Xndes variables aléatoires indépendantes et de même
loi définies pour tout k∈ {1,· · · , n}par : P(Xk= 1) = pet P(Xk=−1) = 1 −p. On pose pour
tout k∈ {1,· · · , n}:Πk= Πk
i=1Xiet :
uk=P(Πk= 1) et vk=P(Πk=−1).
1. a) Montrer que pour tout k∈ {1,· · · , n −1}:
uk+1 =puk+ (1 −p)vket vk+1 = (1 −p)uk+pvk.
b) Déterminer, grâce à uk+vket uk−vk, une expression explicite de uket vken fonction de
k. Interpréter le résultat pour de grandes valeurs de k.
2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les variables aléatoires Π1et Π2
soient indépendantes.
Exercice 4. (**) Soit Uet Vdeux variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur
{1,· · · , n}. On pose :
I= min(U, V )et S= max(U, V ).
1. Que vaut P(I≥i), pour tout i∈ {1,· · · , n}? En déduire la loi de I.
2. Montrer que E(I) = (n+1)(2n+1)
6net en déduire l’espérance de Ssans calculer sa loi.
3. Les variables Iet Ssont-elles indépendantes ? Donner la loi du couple (I, S).
Exercice 5. (*) Soit Xune variable aléatoire discrète de moyenne met de variance σ2.
1. Démontrer que la fonction g(t) = E(X−t)2est minimale pour t=m. Que vaut son minimum ?
2. Démontrer que
E(X2)=0⇔P(X= 0) = 1 et σ2= 0 ⇔P(X=m)=1.
Exercice 6. (*) Soit Aet Bdeux événements aléatoires tels que
P(A)=1/2,P(B) = 1/3et P(A∩B) = 1/4.
Déterminer la loi, l’espérance et l’écart-type de X= 11A+ 211B.
Exercice 7. (**) Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur
{0,· · · , n}. On pose Z=|X−Y|. Calculer l’espérance de Zsans calculer sa loi et en donner
un équivalent lorsque n→+∞.
Exercice 8. (*) Deux amis font partie d’un groupe de npersonnes, auxquelles on a distribué au
hasard des numéros d’ordre pour constituer une file d’attente (cf exo 12 du TD 1). Quelle est la
distance moyenne entre les deux amis ? Donner également sa variance.
1

Exercice 9. (**) Soit Uet Vdeux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans {−1,1}et de
même loi telle que P(U=−1) = 1/3et P(U= 1) = 2/3. On pose X=Uet Y=signe(U)V.
1. Quelle est la loi du couple (X, Y )? Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes ?
2. Les variables aléatoires X2et Y2sont-elles indépendantes ?
Exercice 10. (*) Une machine à sous fonctionne de la manière suivante : on introduit une pièce
de 1 euro et 3 roues se mettent à tourner : ces roues représentent les dix chiffres de 0 à 9 et chaque
roue s’arrête en montrant un chiffre au hasard. Si les trois chiffres sont différents, le joueur perd sa
mise ; s’il y a un "double", le joueur récupère sa mise plus deux euros ; s’il y a un "triple", le joueur
récupère sa mise plus xeuros.
1. Soit Xla variable aléatoire associée au gain d’un joueur. Déterminer la loi de X.
2. Jusqu’à quelle valeur de xle jeu est-il favorable au propriétaire de la machine ?
Exercice 11. (*) Soit Xune variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p. Montrer que la
loi est sans mémoire, i.e.
∀(k, n)∈N∗2,P(X > n +k|X > k) = P(X > n).
Exercice 12. (**) Un insecte pond des oeufs suivant une loi de Poisson P(λ). Chaque oeuf à une
probabilité pd’éclore, indépendamment des autres oeufs. Soit Zle nombre d’oeufs qui ont éclos.
Donner la loi de Zet en déduire son espérance.
Exercice 13. (*) Un voyage organisé (séjour au ski par exemple) peut accueillir 95 personnes. La
pratique montre que l’on peut estimer à 5% la probabilité qu’une réservation soit annulée avant le
départ. Le voyagiste fait du surbooking et il accepte 100 réservations. Quelle est la probabilité que
le voyagiste soit obligé de refuser un client ayant réservé ?
Exercice 14. (**) Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N.
1. Montrer que E(X) = P+∞
k=1 P(X≥k).
2. Une urne contient des boules numérotées de 1àN. On fait un tirage avec replacement de n
boules et on note Xle plus grand numéro tiré.
a) Déduire de la question 1 que E(X) = N−Pn−1
k=0 k
Nn
.
b) Montrer que si Ngrand, E(X)≈Nn
n+1 .
Exercice 15. (**) Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Ndont la loi est définie par :
P(X=k) = pk,∀k∈N.
1. On considère la fonction génératrice de X:GX(s) = E(sX) = P+∞
k=0 skP(X=k).
a) Démontrer que E(X) = G0
X(1).
b) Démontrer que V(X) = G00
X(1) + G0 X(1) −G02 X(1).
2. Utiliser ces résultats pour retrouver la moyenne et la variance d’une variable aléatoire de loi
B(n, p).
3. Utiliser ces résultats pour retrouver la moyenne et la variance d’une variable aléatoire de loi
P(λ).
Exercice 16. (***) On considère des variables aléatoires indépendantes X1,· · · , Xnsuivant la loi
de Poisson de paramètre λ > 0.
1. Quelle est la probabilité de l’événement {X1=k1,· · · , Xn=kn}? Pour quelle valeur de λ
cette probabilité est-elle maximale ?
2. On pose, pour tout i= 1,· · · , n,Yi= min(Xi,1). Quelle est la probabilité de l’événement
{Y1=y1,· · · , Yn=yn}? Pour quelle valeur de λcette probabilité est-elle maximale ?
3. Une suspension de 108bactéries est infectée par une population de phages (particules infec-
tieuses). A la fin de l’expérience, on a constaté que 75 ×106bactéries sont infectées par un ou
plusieurs phages. On admet que le nombre de phages infectant une bactérie est une variable
aléatoire suivant une loi de Poisson.
a) Choisir une valeur pertinente de λau vu des questions 1 et 2.
b) Estimer la probabilité pour qu’une bactérie soit contaminée par un seul phage ? par deux
phages ? par au moins trois phages ?
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