EFREI- L`3- juin 2010 DEVOIR DE RATTRAPAGE – PROBABILITÉS

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EFREI- L’3- juin 2010
DEVOIR DE RATTRAPAGE – PROBABILITÉS
La calculatrice et les documents sont interdits.
EXERCICE N°1 :
Dans cet exercice, toutes les boules sont supposées indiscernables au toucher.
Une urne contient une boule blanche et une boule noire.
On tire une boule de cette urne. Si elle est blanche, le jeu s’arrête ; si elle est noire, on la
remet dans l’urne et on ajoute une nouvelle boule noire dans l’urne.
On répète alors la même opération, le jeu ne s’arrêtant que lorsqu’on a tiré une boule blanche.
On considère la variable aléatoire X égale au nombre de tirages effectués.
1. Calculer p(X=1), p(X=2) et p(X=3).
2. Montrer que la probabilité que le jeu s’arrête au tirage n°k est égale à

.
k (k  )
EXERCICE N°2 :
Soit a un nombre réel et X une variable aléatoire telle que :
X ()  N et n  N, P( X  n) 
a
.
(n   )(n   )
Déterminer la valeur de a puis calculer, si elle existe, E(X).
EXERCICE N°3 :
Un détecteur automatique d’erreurs est chargé de vérifier des listes de codes.
On sait que, en moyenne, un code sur 100 est erroné. D’autre part, les états « erroné » et
« juste » de chaque code sont indépendants les uns des autres.
On décide d’appliquer ce détecteur sur une page contenant 20 codes.
1. Quelle est la probabilité que celui-ci ne détecte aucun code erroné ?
2. Quelle est la probabilité que celui-ci détecte au moins un code erroné ?
3. Quelle est la probabilité que celui détecte cinq codes erronés ?
EXERCICE N°4 :
Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est la fonction f définie par :
f (t )  0 si t  1 et f(t) 
2
si t  1.
t
1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire X ainsi que, si elles
existent, son espérance et sa variance.
3. On considère la variable aléatoire Y = 3X-2.
a. Déterminer, pour tout y réel la probabilité P( Y  y ). Pour cela on sera amené
à distinguer les deux cas : y   et y>1.
b. En déduire la loi de la variable Y.
QUELQUES FORMULES UTILES

 nu'
)  n 
n
u
u

(

Loi binomiale
Soit n un entier naturel non nul, p un réel appartenant à l’intervalle 0 ;1. On appelle loi
binomiale de paramètres n et p notée B(n,p) la loi de la variable aléatoire X telle que :
X (  )  ;;;.....; n


k  X ( Ω), P(X=k ) =  n  p k (   p ) n k
k 

 

n
n!
On rappelle que   
.
 k  k ! ( n  k )!
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