FEUILLE D`EXERCICES NO 1 P(A ∩ B) = P(Ac)P(A)P(Bc)P(B) = 0

LM 347 : Analyse des données L3 de Mathématiques
A. Dalalyan Année 2007-2008
FEUILLE D’EXERCICES NO 1
Exercice 1. Soit nun entier naturel.
1. Quelle est la probabilité que sur npersonnes interrogées au hasard dans la rue il y
ait une personne née le même jour que vous (pas nécessairement de la même année).
2. Combien de personnes faut-il interroger pour qu’avec une probabilité 1/2 il y ait
une personne née le même jours que vous (pas nécessairement de la même année).
Exercice 2. Soit Aet Bdeux événements quelconques.
1. Montrer que si B⊂A, alors P(A\B) = P(A)−P(B)et en déduire que P(A)≥P(B).
2. Montrer que P(A∩Bc) = P(A)−P(A∩B).
3. Montrer que P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
4. Montrer que P(AMB) = P(A) + P(B)−2P(A∩B).
5. Montrer que si P(A) = P(B) = 1/2 alors P(A∩B) = P(Ac∩Bc).
DÉFINITION : On dit que deux événements Aet Bsont indépendants si P(A∩B) =
P(A)P(B). On écrit alors A⊥⊥ B.
Exercice 3. Soit Aet Bdeux événements indépendants.
1. Montrer que Ac⊥⊥ B,A⊥⊥ Bcet Ac⊥⊥ Bc.
2. Montrer que si de plus P(A∪B) = 1, alors P(A) = 1 ou P(B) = 1.
3. Supposons que les événements A∩Bet A∪Bsont indépendants. Prouver que
P(Ac)P(A)P(Bc)P(B) = 0.
4. Montrer que l’indépendance est une relation symétrique non-transitive.
DÉFINITION : On appelle probabilité conditionnelle de Asachant Bla valeur
P(A|B) = (P(A∩B)/P(B), si P(B)>0,
0, sinon.
Exercice 4. Soit Aet Bdeux événements tels que P(A)P(B)>0.
1. Montrer que A⊥⊥ Bssi P(A|B) = P(A).
2. Montrer que P(A|Ω) = P(A).
3. Peut-on affirmer que P(A|B) + P(A|Bc) = 1 quel que soient Aet B?
4. Soit {B1, . . . , Bn}une famille d’événements formant une partition de Ω. Montrer que
P(A) =
n
∑
i=1
P(A|Bi)P(Bi). (formule des probabilités totales)

5. Soit {B1, . . . , Bn}une famille d’événements formant une partition de Ω. Montrer que
P(Bk|A) = P(A|Bk)P(Bk)
∑n
i=1P(A|Bi)P(Bi). (formule de Bayes)
Exercice 5. Une urne contient une seule boule. On sait qu’elle est soit noire soit blanche
avec probabilités égales. On met une nouvelle boule blanche dans cet urne et ensuite on
tire une boule au hasard. Il s’avère qu’elle est blanche. Calculer la probabilité que la boule
qui reste dans l’urne est également blanche.
Exercice 6. On lance simultanément 3 dés équilibrés. Calculer la probabilité d’avoir la
face 6 sur tous les dés sachant que
1. au moins un des trois résultats est un 6,
2. le résultat du premier dé est un 6,
3. le résultat de deux dés est un 6,
4. les résultats des trois dés sont égaux,
5. au moins deux résultats sur trois sont égaux.
Exercice 7. Soit ξ:Ω→Ret η:Ω→Rdeux variables aléatoires. Montrer que :
1. Si pour tout (a,b)∈R2les variables aléatoire min(a,ξ)et min(b,η)sont indépen-
dantes, alors ξ⊥⊥ η.
2. Si P(ξ>0) = P(η>0) = 3/4 et P(ξ+η>0) = 1/2 alors ξet ηsont dépendantes.
3. Supposons que ξest continue de densité symétrique. Montrer que Fξ(−x) = 1−
Fξ(x)pour tout x∈R. Prouver que les variables aléatoires |ξ|et sgn(ξ)sont indé-
pendantes.
4. On suppose que ξvérifie P(ξ=0) = 0 et Fξ(−x−) = 1−Fξ(x)pour tout x∈R,
où Fξ(t−) = limz↑tFξ(z). Calculer la fonction de répartition du vecteur aléatoire ζ=
(|ξ|, sgn(ξ)) et prouver que les variables aléatoires |ξ|et sgn(ξ)sont indépendantes.
(Ici sgn(u) = 1l[0,+∞[(u)−1l]−∞,0[(u).)
Exercice 8. Soit (Ω,A,P) = ([0, 1],B([0, 1]),dx)où dx désigne la mesure de Lebesgue.
Pour tout n∈Net pour tout w∈[0, 1], on définit ξn(w)comme le nème chiffre après
la virgule dans la décomposition binaire du nombre w. Montrer que pour tout n6=kles
variables aléatoires ξnet ξksont indépendantes.
Exercice 9. Soit ξ1, . . . , ξndes variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de
paramètre λ/noù λest un réel positif.
1. Prouver que la variable aléatoire ηn=ξ1+. . . +ξnsuit la loi binômiale B(n,λ/n).
2. En utilisant la formule de Stirling, calculer la limite lorsque n→∞de la suite P(ηn=
k)pour tout k∈Nfixé.