MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I
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MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Paul-Eugène Parent Département de mathématiques et de statistique Université d’Ottawa le 14 septembre 2015 MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Au menu aujourd’hui Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses 1 Trigonométrie 2 Fonctions trigonométriques inverses MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Les angles Soit un cercle de rayon r et considérons un arc de longueur a. Fonctions trigonométriques inverses Définition a . r On se rappellera que les angles sont mesurés en radian. N’oubliez pas de sélectionner l’option “radian” sur vos calculatrices avant de faire des calculs. L’angle θ est le quotient 360◦ = 2π, 180◦ = π, 45◦ = π 4 MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Le cercle trigonométrique Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Considérons un cercle de rayon 1 centré à l’origine. Les coordonnées du point A(θ) nous fournissent deux fonctions bien connues, c’est-à-dire, A(θ) = (cos(θ), sin(θ)). MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Propriétés Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Et donc • A(0) = (1, 0) implique cos(0) = 1 et sin(0) = 0. • A( π2 ) = (0, 1) implique cos( π2 ) = 0 et sin( π2 ) = 1. Évidemment la fonction A(θ) est périodique de période 2π, c’est-à-dire, A(θ) = A(θ + 2π). Et donc cos(θ) = cos(θ + 2π) et sin(θ) = sin(θ + 2π). De plus, cos et sin étant les fonctions coordonnées, par le Théorème de Pythagore, on doit avoir cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1. MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Soit à partir de leur définition ou de leur graphe, on déduit que • la fonction sin(θ) est une fonction impaire, c’est-à-dire, sin(−θ) = − sin(θ); et • la fonction cos(θ) est une fonction paire, c’est-à-dire, cos(−θ) = cos(θ). MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses y = sin(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses y = cos(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Les angles classiques Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses θ sin(θ) cos(θ) 0 0 1 π 6 1 √2 3 2 π √4 2 √2 2 2 π √3 3 2 1 2 π 2 1 0 π 0 −1 3π 2 −1 0 2π 0 1 MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Autres fonctions trigonométriques Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses tan(θ) := sin(θ) cos(θ) et cot(θ) := cos(θ) sin(θ) sec(θ) := 1 cos(θ) et csc(θ) := 1 . sin(θ) et MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Identités Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Du fait que cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1 on déduit que • 1 + tan2 (θ) = sec2 (θ) ; et • cot2 (θ) + 1 = csc2 (θ). On se rappellera que • sin(x ± y ) = sin(x) cos(y ) ± sin(y ) cos(x) ; et • cos(x ± y ) = cos(x) cos(y ) ∓ sin(x) sin(y ). MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Exercices à la maison Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Montrez que • sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ; et • cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Exercice Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Trouvez tous les x ∈ [0, 2π] tels que sin(x) = sin(2x). Solution : Comme sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), on considère donc sin(x) = 2 sin(x) cos(x), c’est-à-dire, sin(x)(1 − 2 cos(x)) = 0. Nous avons deux cas à considérer : • sin(x) = 0 ce qui implique x = 0, π, ou 2π ; ou • 1 − 2 cos(x) = 0 ce qui implique cos(x) = 21 , c’est-à-dire, x = π 3 ou 5π 3 . Conclusion : Les solutions sont x = 0, π3 , π, 5π 3 , ou 2π. MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Le problème Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Nous voulons “inverser” les fonctions trigonométriques. On se rappellera que le domaine ainsi que l’ensemble d’arrivé de sin(x) et cos(x) sont les nombres réels. Nous avons donc deux problèmes qui se présentent : • ces deux fonctions sont périodiques. Et donc elles ne sont pas injectives ; et • ces deux fonctions ne sont pas surjectives. Leur image respective est [−1, 1]. On doit donc restreindre leur domaine et ensemble d’arrivé comme dans le cas de l’exponentielle. MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I y = Sin(x) Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Dans le cas du sin(x) le domaine classique est [− π2 , π2 ]. On écrira la “nouvelle” fonction π π Sin : [− , ] −→ [−1, 1] 2 2 x 7→ sin(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Le graph vert est celui de y = Sin(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses La fonction y = Sin(x) est injective et surjective et donc elle est inversible. On notera cette inverse π π arcsin : [−1, 1] −→ [− , ]. 2 2 En particulier • arcsin(Sin(x)) = x pour tout x ∈ [− π2 , π2 ] ; • Sin(arcsin(x)) = x pour tout x ∈ [−1, 1] ; et • y = arcsin(x) si et seulement si Sin(y ) = x. MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses y = arcsin(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I y = Cos(x) et y = Tan(x) Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Nous appliquons le même raisonnement aux fonctions cos(x) et tan(x). Afin d’obtenir des fonctions à la fois injectives et surjectives on restreint leur domaine et ensemble d’arrivé respectif, c’est-à-dire, • Cos : [0, π] −→ [−1, 1] ; et • Tan : ] − π2 , π2 [−→ R. MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Le graphe bleu y = Cos(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Le graphe bleu y = Tan(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Dans ces deux cas y = Cos(x) et y = Tan(x) sont inversibles, c’est-à-dire, • arccos : [−1, 1] −→ [0, π] ; et • arctan : R −→ ] − π2 , π2 [ où les identités habituelles sont satisfaites : • arccos(Cos(x)) = x pour tout x ∈ [0, π] ; • Cos(arccos(x)) = x pour tout x ∈ [−1, 1] ; • arctan(Tan(x)) = x pour tout x ∈] − π2 , π2 [ ; et • Tan(arctan(x)) = x pour tout x ∈ R. MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses y = arccos(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses y = arctan(x) MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Exercices Trigonométrie Simplifiez l’expression cos(arctan(x)). Fonctions trigonométriques inverses Solution : D’une part nous savons que y = arctan(x) ⇐⇒ Tan(y ) = x lorsque y ∈] − π π , [. 2 2 D’autre part, nous avons l’identité trigonométrique sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + x2 pourquoi ? Et donc cos(arctan(x)) = cos(y ) = 1 1 =√ ...pourquoi ? sec(y ) 1 + x2 MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I Trigonométrie Fonctions trigonométriques inverses Calculez la valeur exacte de tan(arcsin(1/3)) Solution : D’une part on a θ = arcsin(1/3) ⇐⇒ Sin(θ) = 1/3 pour un certain θ ∈ [− π2 , π2 ]. D’autre part, nous avons l’identité trigonométrique cos2 θ = 1 − sin2 θ. p Comme θ ∈ [− π2 , π2 ], on a donc cos θ = 1 − sin2 θ. Finallement tan(arcsin(1/3)) = tan θ = √ 1/3 1−(1/3)2 √ = 2 4 . sin θ cos θ = √ sin θ 2 = 1−sin θ
