re multiplicatif d`un module de Fredholm

K-Theory 2 (1988) 431-463
9 1988 by Kluwer Academic Publishers.
431
Caract6re multiplicatif d'un module de Fredholm
ALAIN CONNES
Institut des Hautes Etudes Seientifiques, 35 Route de Chartres, F-91440, Bures-sur-Yvette, France
et
MAX KAROUBI
UER de Math~matiques, Universit~ de Paris VII, Tour 45.55, 5e'ne Etage, 2 Place Jussieu, F-75251 Paris
cedex 05, France
(Received: 7 December 1987)
Abstract. The main object of this paper is to define a pairing
EllP(A) x Kp+I(A) ~ C*,
where K,(A) is the algebraic K-theory of A and EIIP(A) is the group generated by Fredholm modules of
dimension p. We relate this pairing to Fredholm determinants and central extensions of loop groups and the
group of diffeomorphisms of the circle.
R6sums L'objectif essential de cet article est de d6finir un accouplement
EllV(A) x Kp+l(A) ~ C*
o6 K,(A) d&igne la K-th6orie alg~brique de Aet off EIIP(A) est le groupe engendr6 par les modules de
Fredholm de dimension p. Nous relions eet aecouplement au d~terminant de Fredholm et aux extensions
centrales des groupes de lacets et du groupe des diff6omorphismesdu cercle.
Key words. Cyclichomology, Fredholm modules,loop groups, C*-algebras,group of diffeomorphismsof the
circle.
0. I n t r o d u c t i o n
Soit H u n m o d u l e de F r e d h o l m de d i m e n s i o n p* sur u n e alg6bre A. Le c a r a c t & e additif
de ce m o d u l e de F r e d h o l m est u n 616ment de la cohomologie cyclique H~(A) d6fini
explicitement p a r une trace ou u n e supertrace de c o m p o s i t i o n d'op6rateurs dans H
(cf. [8] p. 56 o u le w de cet article). Ce caract6re additif i n d u i t en particulier u n
homomorphisme
z~l: K i ( A ) ~ C
avec i = 0 ou 1 s u i v a n t la parit6 de p, qui p r e n d en fait des valeurs enti6res.
L'objet de cet article est de m o n t r e r q u ' u n m o d u l e de F r e d h o l m de d i m e n s i o n
p i n d u i t aussi u n h o m o m o r p h i s m e
z~+l: K p + I ( A ) ~ C*
*Plus pr6cis6mentun module de Fredholm (p + 1)-sommableduns le sens de 1-8]p. 49 et de m~meparit6 que
p (la parit6 d'un module de Fredholm est d6finie darts le w
432
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
off les Ki(A ) sont les groupes de K-th6orie alg6brique de Quillen. Cet homomorphisme
peut atre interpr6t6 comme un caractOre multiplicatif dans la mesure off il induit un
accouplement
NEfP(A)
x
Kp+ I(A ) ~ C*,
gyvEr(A) d6signant le groupe engendr6 par les modules de Fredholm de dimension p.
Pour p = 1, la construction de ce caract6re multiplicatif se r6duit celle de rextension
centrale classique par C* du groupe de lacets G = C Oo(S~, SL(n)) des applications C ~ de
S 1 ~tvaleurs dans le groupe SL(n, C), dans le cas off l'alg6bre A est l'algbbre C~ 1) et off
le module de Fredholm est donn6 par L2(S 1) muni de l'op6rateur de Toeplitz. La
propri6t6 universelle de K2(A ) permet en effet d'interpr6ter une extension centrale de
SL(A) par C* comme un homomorphisme de K2(A )dans C*.
Si A est une alg6bre de Banach (ou plus g6n6ralement une alg6bre de Fr6chet), la
topologie alg6brique permet de d6finir des groupes de 'K-th6orie relative' K~el(A)
s'ins6rant dans des suites exactes du type (E) ci-dessous. Dans ces suites, les groupes
Kto~ = Ko(A ) et K~~
= ~ _ 1(GL(A)) pour i > 0 sont les groupes classiques de
K-th6orie topologique [19], [20]. Si la topologie de A est compatible avec la structure
de module de Fredholm, les caract6res additifs zf peuvent ~tre aussi d6finis sur les
groupes K~~
et on a le diagramme commutatif suivant
Kp +2(A) ~
top
Kp+z(A)--*
rel
Kp+I(A)~
l "Cp+2
0
~ Z--
i
>
C
Kp+I(A)~
t
p+l
>
K~I(A)
(E)
"Cp+l
C*
~0
Ici l'homomorphisme z ~ 1 peut atre d6fini de deux mani6res diff6rentes: la premi6re est
d'appliquer les id6es de [20] off on construit les classes caract6ristiques secondaires de
fibr6s plats dans le contexte g6n6ral de rhomologie cyclique (ou, ce qui revient au
marne, de l'homologie de De Rham non commutative). La seconde est d'utiliser la
relation &ablie par Loday-Quillen [24] et Tsygan [31] entre la cohomologie cyclique
et la cohomologie des alg6bres de Lie (les deux approches sont compl6mentaires).
Lorsque A est l'alg6bre des fonctions C OOsur une vari6t6 Riemannienne M compacte
de dimension p, munie d'une structure spinorielle, l'op6rateur de Dirac permet de
d6finir un module de Fredholm de dimension p, qui joue le r61e de la classe
fondamentale de M e n K-homologie. Notre construction donne donc un homomorphisme de Kp+ t(COO(M)) dans C*, qu'il devrait atre possible d'interpr6ter marne quand
p > 1, dans le cas off M est une hypersurface de genre espace dans l'espace temps, en
relation avec les termes de Schwinger en th6orie des champs. Apr6s avoir rappel6
l'interpr6tation connue dans le cas M = S 1, p = 1, nous montrons comment la
deuxi6me quantification de Fermi-Dirac produit un analogue multiplicatif de la
notion de module de Fredholm, et exprimons l'extension centrale en ces termes.
Cet article a 6t6 inspir6 par des consid6rations de physique th6orique du premier
auteur. Dans la pr6sente r6daction nous nous sommes limitbs aux aspects math6ma-
CARACTERE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
433
tiques de la question. D'autre part, il a 6t6 fait un usage intensif des id6es d6velopp6es
longuement dans [8] et [20]. Afin de faciliter la compr6hension du pr6sent travail par
les lecteurs non sp6cialistes, nous avons choisi de proc6der/t des rappels extraits de [8]
et [20]. Ces rappels sont essentiellement contenus dans les deux premiers paragraphes.
Dans le w nous avons aussi calcul6 (partiellement) la K-th6orie et la cohomologie
cyclique des alg~bres universelles d//p 'classifiant' les modules de Fredholm de
dimension p. Dans le w nous d6finissons un homomorphisme fondamental K f ( A )
HC,_ l(A) (pr6cisant un homomorphisme d~j~t d~fini dans [20]) par des m6thodes
simpliciales.Nous montrons en particulier la relation entre la suite exacte (E) et la suite
exacte fondamentale du premier auteur
HC"-2(A) ~ HC"(A) ~ H"(A, a*) ~ HC"-~(A) ~ HC "+ ~(A).
Nous reconsid6rons le probl6me darts le w dans l'esprit de la cohomologie des
alg6bres de Lie et montrons en particulier que les deux approches conduisent
essentiellement au m~me r6sultat. Dans les w et 6 nous d6crivons enfin les extensions
centrales de SL(C~~
et de Diff+(S l) associ6es fi certains modules de Fredholm.
Nous y montrons aussi la relation avec l'alg6bre de Virasoro.
Les r6sultats essentiels de cet article (~i l'exception de ceux des w et 6) ont 6t6
annonc6s dans une Note aux Comptes Rendus de l'Acad6mie des Sciences [11].
1. Les groupes ELLP(A)
1.1. Soit A une C-alg~bre quelconque. La notion de module de Fredholm rappel6e
ci-dessous est due essentiellement fi Atiyah dans le cas pair [33 et fi Brown, Douglas,
Fillmore et Kasparov dans le cas impair [4, 22].
Cas pair. On se donne un espace de Hilbert H qui se scinde en H' G H' ainsi qu'un
homomorphisme p: A -~ A~
alg~bre des op6rateurs born6s dans H, tels que p(a)
s'6crive matriciellement sous la forme
avec u - v e • , id6al des op6rateurs compacts dans H'.
Cas impair. On se donne de nouveau un espace de Hilbert H qui se scinde en H + 9 H et un homomorphisme p: A ~ ~(/-/) tels que p(a) s'6crive matriciellement sous la forme
all
a12~
a2i
a22/
avec ai2 et a21 op6rateurs compacts H -+ ~ H -T.
1.2. Les modules de Fredholm apparaissent naturellement dans l'~tude des op~rateurs
elliptiques d'ordre 0 sur une varlet6 compacte X. Si D: H i ~ H 2 est un tel op6rateur, on
peut lui associer un module de Fredholm en consid~rant une param6trix P: n 2 ~ H 1 et
434
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
l'op6rateur suivant de degr6 1 dans H = H i 9 H 2
O n a alors p z _ 1 compact. D a n s 1,8] p. 89 ou 68, on d6crit explicitement c o m m e n t
modifier ff en un opkrateur F tel que F soit de degr6 1 et F 2 = 1. L'espace de Hilbert
H peut alors se scinder e n / t ' @ H' en utilisant les relations F 2 = e 2 = 1 et Fe = -- eF (e
d6signant la graduation). Enfin, c o m m e l'a remarqu6 Atiyah [3], les espaces de Hilbert
consid6r6s ici sont des modules sur l'alg~bre A = C(X) des fonctions continues sur la
vari6t~ X. En faisant la synth~se de ce qui precede, on obtient ainsi un module de
F r e d h o l m pair sur C(X).
D6signons p a r M[ o l'alg~bre des op6rateurs dans H = / 4 ' @ H ' de la forme
(; 0)
avec u - v compact. Ce qui pr6c~de peut atre interpr6t6 c o m m e un h o m o m o r p h i s m e
C(X) ~ ~go"
L'application induite en K-th6orie
K(C(X)) --* K(J/do) ~ 77
est l'indice analytique de l'op6rateur D ~t coefficients dans les fibr6s E engendrant
K(C(X)):cf. 1,-3].
O n construit de m6me des exemples de modules de F r e d h o l m impairs en consid6rant
des op6rateurs elliptiques auto-adjoints sur une vai6t6:,cf. I-8] p. 69 ainsi que les w et
6 de cet article.
1.3. En suivant [29], d6finissons l'id~al de Schatten ~ P = 2'P(H) c o m m e l'ensemble
des opbrateurs c o m p a c t s k darts H teis que E2r/2 < + o% les 2i d6signant les valeurs
propres de k* k. O n a ~ P c 5eq si p < q.
E X E M P L E S . (1) ~ 1 est l'id6al des op6rateurs/t trace ou op6rateurs nucl6aires dans le
sens de G r o t h e n d i e c k [29]. Si u s Y 1(/4) et v e &~
on a Yr(uv) = Yr(vu), Tr d6signant
la trace.
(2) ~ 2 est l'id6al des op6rateurs de Hilbert-Schmidt. Si u = (uu)d6signe la matrice
de l'op6rateur u dans une base Hilbertienne quelconque, on a
u e L p z , ~ ~lUu[ ~ < + oo.
5eZ(H) est un espace de Hilbert p o u r la n o r m e 6vidente.
(3) D'apr6s l'in6galit6 de HSlder LfPo~ q c ~s,v(a,o avec 1/r = lip + 1/q. En
particulier, si u~, Ue .... , u n ~ p e t s i n > p, le produit des u~ a p p a r t i e n t / t Se ~ et on
a Tr(u l u2... un) = Tr(un u l . . . un_ 1)"
(4) Soit u un op6rateur de rnatrice (uu) dans une base Hilbertienne. O n dit que u est
it d6croissance rapide si p o u r tout s > 0 il existe une constante C~ telle que
lui;I <~ C j ? f . Alors ueSf~(H). Plus gdn6ralement, si v e s t un op6rateur n o n
CARACTERE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
435
n6cessairement born6 mais d'ordre fini, uv et vu sont ~i d6croissance rapide: ils
appartiennent ~ 5fl et ont m~me trace.
1.4. En suivant [8] p. 49, on dira qu'un module de Fredholm est n-sommable si c'est
un module de Fredholm, les conditions u - v compact ou alz, a21 compacts (cf. 1.1)
6tant remplac6es par les conditions plus strictes u - v ~ 5r ou a 12, a2 ~ ~ ~ " (remarque:
les op6rateurs alz et azl op6rent sur des espaces de Hilbert diff6rents mais l'extension
6vidente des d6finitions ne pose pas de probl6me). Comme l'a not6 le premier auteur, les
modules de Fredholm n-sommables apparaissent naturellement dans l'6tude des
op6rateurs elliptiques sur une vari6t6 compacte X avec A = C~176 et n > dim(X).
Sip E ~, on d6signe en g6n6ral par gltP(A) l'ensemble des classes d'isomorphie de
A-modules de Fredholm (p + 1)-sommables qui sont de m6me parit6 que p (on dira plus
bri6vement des modules de Fredholm de dimension p). Muni de l'op6ration de somme
directe, EIIP(A) est un semi-groupe commutatif. I1 est muni d'une involution naturelle
x ~ x-induite par
dans le cas pair et par
\a21
a22,/
~
-
1] \ a 2 t
a227
-01)
dans le cas impair. La proposition suivante est alors 6vidente.
1.5. P R O P O S I T I O N . Le quotient de glIV(A), par le semi-groupe x + x - , x ~ gllV(A),
est un 9roupe eommutatif notd EUP(A). L'inclusion naturelle de gllV(A) dans g t t ~p+2(A)
induit un homomorphisme S: EllP(A) ~ ElIP+Z(A).
I1 existe des alg6bres 'classifiantes' pour les groupes EllP(A). De mani6re pr6cise, sip est
pair, on d6signe par JlP la sous-alg6bre de 5 r
H') form6e des op6rateurs
s'6crivant
avec u - vs~P+~(H ') (H' de dimension infinie* ). S i p est impair, l'alg6bre Jr p est
form6e des op6rateurs s'~crivant
all
a12~
azl
a2z/
avec a~z et azl ~ ~P+ ~(H'). On d6finit de mani6re 6vidente des modules de Fredholm
'universels' (H,F)p avec H = H' G H' sur l'alg6bre d//v.
1.6. P R O P O S I T I O N . Lefoncteur Ell pest un foncteur contravariant de la catdeorie des
* Tous les espaces de Hilbert consid6r6s dans cet article sont suppos6s s6parables.
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ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
C-aIgdbres dans celle des oroupes commutatifs. Pour tout x appartenant d EIIP(A ), il existe
un homomorphisme d'algdbres p: A ~ jgv tel que x = p*((H,F)p).
Cette proposition est une cons6quence imm6diate des d6finitions.
2. K-Th6orie et cohomologie cyclique des alg6bres J//P
Pour la commodit6 du lectcur et pour fixer leg notations, nous allons d'abord rappeler
bri~vement quelques d6finitions et th6or6mes dont on trouvera la motivation dans [8]
et [20].
2.1. Si A est une alg~bre de Fr6chet unitaire complexe, on d6signe par f~.(A) l'alg~bre
gradu~e universelle engendr~e par les symboles x dy, x et y appartenant ~ A, soumis aux
relations d( Yl Yz) = Yl" dY2 + dYl "Y2 (cf. [20] w et 4 ainsi que [23]). De mani~re plus
pr6cise, ~ ( A ) s'identifie au noyau de la multiplication A ~ e A ~ A, @ d6signant le
produit tensoriel projectif dans le sens de Grothendieck [14]. Le symbole x dy est alors
repr6sent6 par x(1 | y - y | 1) = x | y - xy | 1 dans ~I(A). On a un isomorphisme
~n(A) "~ ~1(A) ~)a "'" @A ~'~1(A) (n facteurs ~ I ( A ) ) et aussi ft,(A) isomorphe/t A
A/C ~ . . . ~ A/C (n facteurs A/C). Ceci montre que tout 616ment de ft,(A) est limite de
combinaisons lin6aires d'616ments s'6crivant co = aodaxda2...da . avec ao~A et
a i ~ A/C pour i > 0 et appel6es formes diff6rentielles non commutatives. On a dco=
1. da o dal ... da,.
Soit b: ft,(A) ~ ~ , _ ~(A) l'homomorphisme continu d6fini par la formule b(c~' dx) =
( - l)"(xc~' - co' x) si co' ~ ~ , _ I(A). Alors b 2 = 0 et l'homologie du complexe (~,(A), b)
est l'homolo#ie de Hochschild H,(A, A).
2.2. Consid6rons maintenant le C-module (~,(A) = A/C ~ ... ~ A/C (n + 1 facteurs
A/C) consid6r6 comme quotient de ft,(A). Le groupe cyclique Y_/(n + 1) op6re alors sur
C,(A) par la transformation
t: ao da 1 ... da, ~ ( - 1)"an da0 ... da,_ 1.
Si on pose C~(A) = C,(A)/(1 - t), l'op6rateur b passe au quotient [8] et on d6finit
l'homologie cyclique r6duite de A (not6e H,Z(A) ou HC,(A)) comme l'homologie du
complexe quotient. Si A n'est pas n6cessairement unitaire, on d6finit l'homologie
cyclique de A (not6e HZ,(A) ou HC,(A)) comme l'homologie cyclique r6duite de .4,
algbbre A fi laquelle on a ajout6 un 616ment unit6 (cf. [20] w pour les d6tails). On
trouvera d'autres d6finitions 6quivalentes dans [8, 9, 24]. Nous avons choisi ici la
d6finition la plus proche des formes diff6rentielles non commutatives de mani6re
fi pouvoir d6finir de mani6re plus commode nos invariants.
2.3. Dualement, en appliquant le foncteur Horn(., C) aux complexes pr6c6dents, on
d6finit la cohomologie de Hochschild et la cohomologie cyclique not6es H"(A, A*) et
H~z(A) (ou HC"(A)) respectivement. On ales suites exactes
H,(A,A)
I , HC,(A)
__+H,+I(A,A, )
s
B ~HC"(A)
HCn_z(A)
B , H n_ ~(A,A)
s ~HCO+2(A )
,...
I ,H,+Z(A,A, )
,
CARACTI~RE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
437
off les homomorphismes I, S e r B sont d6crits explicitement dans [8] (du moins en
cohomologie; les formules sont duales en homologies* ). Les diff6rents espaces
d'homologie ou de cohomologie ne sont pas s6par6s en g6n6ral (cf. [8] p. 133 pour un
exemple). Les homomorphismes des suites exactes ci-dessus sont cependant continus.
En consid~rant les espaces vectoriels topologiques s6par6s associ~s, on obtient donc
simplement des complexes.
2.4. En suivant maintenant [20] w d6finissons l'homologie de De Rham non
commutative H,(A) comme l'homologie du complexe (fi,(A), d) avec
ff2,(A) = n,(A)/[f~,(A), f2,(A)]
off
[n,(A),n,(A)]
d6signe le C-module engendr6 par les commutateurs gradu6s. On peut alors montrer
que
~q.(A) "~ Ker(HC.(A)
B ~H,+I(A,A))
pour n > 0 et
/_/o(A) ~ Ker(nCo(A)
B ~HI(A,A) )
(cf. [20] w pour une d6monstration 616mentaire de ce r6sultat; le th6or6me dual en
cohomologie a 6t6 d6montr6 par le premier auteur dans [8] th. 33). En quotientant
f~,(A) par l'adhdrenee des commutateurs gradu6s, on obtient un complexe dont
l'homologie est s6par6e et est isomorphe au noyau de l'homomorphisme B pr6c6dent
appliqu6 aux homologies s6par6es (cf. [20] w
2.5. La relation avec la K-th6orie est r6alis6e par des homomorphismes continus Ch,
de Ko(A ) vers HC2,(A ) et de Ka(A ) vers HCz,_I(A ) (ou dualement par des
accouplements Ko(A ) x Hc2n(A) ~ C et Kt(A ) x HC 2n- I(A) ~ C). Dans le premier
cas, Ch, associe ~tun A-module projectif E image d'un projecteur p e M,(A) la classe de
/1
la trace de la matrice 1/n!(p | p.,. | p), soit 1/n! Epi~ | pl~ |
| P~2.+1
considbr6
comme 616ment de C~,(A) = Cz2,(A).
Dans le second cas, Ch. associe ~t une matrice e e GL,(A) la classe de la trace de la
matrice
-'
(,,=1)!
(2n - i)! ( e - 1 _ 1) |
(e - 1) |
@ ( e - 1 _ 1) @ (e - 1)
(n facteurs ~- t _ 1 et ~ - 1), ce qui peut aussi s'6crire en termes de formes diff6rentielles
non commutatives sous la forme
(n -=-~)!
1)! Tr(a - 1 d~)2n- t
( - 1)"-~ (%
en plongeant GL,(A) dans GL~(A) par l'homomorphisme :( ~ (~, 1) (.4 6tant identifi6
* On trouvera dans [20] w une discussion sur les diverses normalisations de ces homomorphismes. La
normalisationadopt6eici pour S, par exemple,est cellede [8] sans les facteurs(2in)"de mani6re~taccorderles
classes caract6ristiquesen K-th6orie alg6brique et topologique.
438
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
fi A x C). Les constantes de normalisation 1/n! (pour Ko) et ( - l)"-l(n - 1)!/(2n - 1)!
(pour K1) sont choisies de mani+re fi ~tre compatibles avec l'homomorphisme de
p6riodicit6 S. Notons que l'homomorphisme C h I : K I ( A ) ~ H C I ( A ) se factorise par
l'homomorphisme de Dennis K I ( A ) ~ H I ( A , A ) d6fini par a --* Tr(a- 1 de). A condition
de consid~rer les homologies sdpardes, l'homomorphisme K I ( A ) -~ HC2,_ I(A) d6finit
par passage au quotient un homomorphisme
KI~
off K]~
--,
I-IC~._dA)
= rco(GL(A)).
2.6. En consid~rant des fibr6s en A-modules sur des sph6res, on peut de m~me d6finir
des homomorphismes continus
Ch,: Kt~
--* HC2,_,(A)
(avec Kt~
r~,_I(GL(A)) pour r > 0 et Kb~
Ko(A)) de la K-th6orie topologique de A vers l'homologie cyclique s~parde. Dualement, on peut aussi d6finir des
accouplements continus
Ktr~
x HC2"-r(A) --, C.
Ces homomorphismes ou ces accouplements sont compatibles avec la p6riodicit6 de
Bott ft. En homologie cyclique par exemple on a un diagramme commutatif
K~P(A)
top
K,+z(A)
Ch. ~I-IC~._,(A)
Chn + 1)
HC2,-,(A)
off la deuxi6me fl6che verticale est la multiplication par 2irr.
2.7. Venons-en maintenant/t l'objet essentiel de ce paragraphe qui est le calcul de la
K-th6orie et de la cohomologie cyclique des alg~bres universelles JgP d6crites
explicitement en 1.5. Ces alg6bres sont en fait des sous-algdbres de Banach (non
ferm6es) de ~ ( H ) pour la norme suivante
Ilall = J[al[o~ +/[[F,a]l[p+t
avec
F=(01
10) d a n s l e c a s p a i r
et
F=(~
_~)
dans le cas impair. Ici la notation da = IF, a] = Fa - aF sugg6re la diff6rentielle 'non
commutative' de l'616ment a. En effet, on a l'identit6 d ( a b ) - - d a , b + a. db, ce qui
implique 1[ab C[~< I1a I1" [Ib I12.8. T H E O R E M E . Les groupes Kt~
dgaux d 0 si n =- p + l rood. 2.
p) sont isomorphes ~ ~_ si n =- p rood. 2 et sont
CARACTI~REMULTIPLICATIFD'UN MODELE DE FREDHOLM
439
DOmonstration. Soit JC/j, j --- 0, 1, la C*-alg6bre obtenue en consid6rant l'adh6rence
de J/gP dans Y(H) pour p = j mod. 2. D'apr+s [8], ./r est une sous-alg6bre de ~ggjqui
est stable par calcul fonctionnel holomorphe.
D'apr6s le th6or6me de densit6 ([19] p. 109), on a donc Kt~
v) ~ Kt,~
Si
=(( d6signe ralg6bre des op6rateurs compacts dans H' et si N = ~ ( H ' ) / ~ d6signe
l'alg6bre de Calkin, on ales suites exactes de C*-alg6bres
O~J{'xa/{'~./# o
% ~0,
0 ~ Mz(a'U ) --+ J//, ~
(Eo)
~/ag" x ,~/~,~("~ O,
(El)
off
(x ;)
% 0
= 2,
,r x12
\x21
x2z/
= (211,222).
d6signant la classe de z dans l'alg6bre quotient ~(H')/J{ en g6n6ral. Comparons (Eo)
fi la suite exacte
0 ~ ~r -~ L~(H')-~ ~ ~ 0
et 6crivons la longue suite exacte de K-th60rie topologique associ6e fi une suite exacte
d'alg~bres de Banach [19]. On voit alors que l'op6rateur bord
7_ ~ KT~.+ I ( ~ ) - - K~Op(:g" x ~ )
~ ~ 0 ~_
associ6 fi (Eo) est simplement l'inclusion de Z dans le premier facteur de Z q3 Z. Par
cons6quent, Kt~162
Z (resp. 0) si n est pair (resp. impair). Pour une raison
analogue, l'op6rateur bord
associ6 fi (El) est (x, y) ~ x + y e t on en d6duit que Kt~
(resp. impair).
0 = 0 (resp. 7-) sin est pair
2.9. Nous allons maintenant d6finir des 616ments remarquables zp non triviaux de
HCP(Jg p) (of. [8]). Si on 6crit (x, y) un 616ment
de d//p pour p -~ 2n pair, on pose
r2,(a ~ d a l . . , da 2") = n! Tr((x ~ - y~
- yl) ... (x2, _ f , ) )
avec a ~= (x~,f). On notera_que la 'restriction' de z2, fi HCZ"(C) g C est le g4n4rateur
canonique (l'image par S" de l'6lhment 1 de HC~
Ainsi, le ghnhrateur dual de
HC2,(C ) est 1/n!(1. d l . . . dl)(2n facteurs dl), C 6tant considhr6 comme plong6 dans C.
De m4me, ~ P est supposhe implicitement plonghe dans ~ p .
440
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
P o u r p = 2n - 1 impair on pose
v2,- 1(a~ dal 999daZ"- 1)
0 0
_l)(a2 1 a12)"'(a~-10
=c, Tr(;
2,-1\
alo
)
ou encore c, T r ( a ~
1 ...da zn-1) avec les notations de 2.7 off c, est la constante
rationnelle ( - 1)"-1(2n - 1)!/(n - 1)!. P o u r voir que cet 616merit est non trivial (avec la
bonne constante de normalisation), on peut consid6rer l'anneau augment6 C[t, t - 1] et
l ' h o m o m o r p h i s m e p: C[t,t-1] ~ jr d6fini par
:)
avec
~t(X1,X 2 . . . . ) ~- (O, x 1 , x 2 . . . . ),
~(xl,x2 ....
)=(xl,0,0
"~(X1,X2,...) = (X2,X3,...),
.... ).
On a alors
et la restriction de r2,_ 1 fi
C[t,t-1] est 6gale fi 1 sur la 'classe fondamentale'
(n - 1)!/(2n - 1)! t -1 d t . d t -1 . d t . . . d t -1 .dt
de R z . _ l ( C [ t , t - 1 ] ) ~
HC2,_l(C[t,t-1]). On remarquera que l'homomorphisme
p s'6tend aux fonctions de classe C 2 sur le cercle. Plus pr6cis~ment, on a ici H = L2(S 1)
de base Hilbertienne t" avec t = ei~ C2(S 1) op~re sur L2(S 1) de la mani~re usuelle par
multiplication. L ' h o m o m o r p h i s m e C2(S 1) ~ ~ ( H ) qu'on en d~duit se factorise bien
par ~ 1 avec {t"; n/> 0} comme base de H § et {t'; n < 0} comme base de H - .
Avec nos constantes de normalisation, le caract~re de Chern topologique
7/~ t%~
p) - ~ / ~ C p ( ~ p) -~ C
a comme image le sous-groupe rv?7avec re = (2i~) tv/2~.II suffit en effet de le v6rifier p o u r
p = 0 ou 1 d'apr~s la compatibilit6 de S avec la p6riodicit~ de Bott (~ 2i~ pros) et le fait
que Szv_ 2 = z v sur J/l p-2 (cf. [20]w
2.10. Les alg6bres de Banach ~ , v sont topologiquement ~P-stables dans le sens de
[21] (noter que ~qovest not6 J-p dans cette r6f6rence). Le th6or+me de p6riodicit6 &abli
dans [21] implique done que
Ki(dgv; Z/n) ~ K~~
?7In)
et est isomorphe/t 77/n si i -= p mod. 2 et ~ 0 sinon. Ici K~( ; Z/n) repr6sente la K-thOorie
alg6brique ~i coefficients dOfinie par le second auteur et.W. Browder [6]. On a aussi
Ki(#~ p) ,~ K[~
'p) qui est isomorphe/t ?7 si i -- p mod. 2 et 0 sinon p o u r i ~< 0. D'autre
CARACTI~RE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
441
part, la th6orie de Chern-Weil g6n6ralis6e au contexte non commutatif [20] permet de
montrer simplement que l'homomorphisme
K , ( ~ ~) --. K ~ ~
est rdduit fi 0 si i ~> p + 1 (cf. [21] p. 8). Le premier groupe de K-th6orie alg6brique
paraissant int6ressant sous cet angle est donc Kp+l(d//P ). En fait, dans le w nous
d6finirons un homomorphisme non trivial
K p + l ( , / ~ p) ~ C*
qui sera le caract~re universel des modules de Fredholm de dimension p.
3. D6finition des groupes de K-th~orie relative K~a(A)et des homomorphismes
K f ( A ) -~ H C, _ I ( A ) (m6thode simpliciale)
3.1. Si A est une alg~bre de Fr6chet, on peut lui associer l' anneau simplicial A , ofi A, est
l'alg~bre des fonctions C ~ sur le simplexe type An ~ valeurs dans A, c'est-A-dire
C~(A ") ~ A. On peut aussi lui associer le groupe simplicial GL(A,) et son espace
classifiant B G L ( A , ) [20]. Les groupes d'homotopie % ( B G L ( A , ) ) = ~,_I(GL(A,))
sent les groupes d'homotopie usuels du groupe topologique GL(A) si A est une alg~bre
de Banach par exemple" en effet, d'apr~s un th6or~me de Milnor [25], la r6alisation
g~om6trique de GL(A,) (c'est-fi-dire du complexe singulier de GL(A)) a l e type
d'homotopie de GL(A). En particulier, pour n > 0, ~.(BGL(A,))~ Ko(A ) (resp.
Ktl~
d'apr~s la p6riodicit6 de Bott [19] si A est une alg~bre de Banach et sin est pair
(resp. impair).
Consid6rons maintenant GL(Ao) = GL(A) regard~ comme groupe simplicial trivial.
On a alors la suite ci-dessous de fibrations fi homotopie pros (cf. [20] w
GL(A) ~ GL(A,) ~ GL(A,)/GL(A) o BGL(A) ~ BGL(A,).
Ici 0 est d6fini sur les simplexes a de dimension n par la formule
0(a) = ( ~ , . . . , % )
off cq = 8(i - 1)8(/)-~,
i e {0, 1,..., n}
repr6sentant les sommets du simplexe standard A" et 8 un 616ment de GL(A,) de classe
a E GL(An)/GL(A). En appliquant la construction + de Quillen aux trois derniers
espaces, on obtient une fibration homotopique
(GL(A,)/GL(A)) + --> B G L ( A ) + ~ BGL(A,) + = BGL(A,)
et on d6finit les groupes de K-th6orie relative K~f(A) come les groupes d'homotopie de
(GL(A,)/GL(A)) + (cf. [20] w On a donc une suite exacte
Kn+ l(A) --~ Ktn~ i(A) --~ Krne'(A) ~ Kn(A ) ~ Ktn~
off K , ( A ) dhsigne la K-th6orie alg6brique de Quillen [16].
* Cf. [21] pour des hypoth6ses un peu moins restrictives.
442
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
3.2. Avec les notations de [20] w on peut d6finir un diagramme commutatif
K,,+ I(A) ~ Kn+a(A)
top
~ Kre'(A)
K,(A) -~ Kt~
~h:el
+
l Chn
f2,_ I(A)/B,_ a(a) ~ Z,(A) ~ aq,(A) ~ 0
Ici les fl6ches
Kt~
~ ~q,(A)
et
top~(A) --, ~q._ ~(A)
K.+
repr6sentent le caract&e de Chern 6crit en homologie de De Rham non commutative
(cf. [20] w et 4). D'autre part, comme il a 6t6 montr6 dans [20] 5.24, l'homomorphisme
de Dennis D,: K , ( A ) ~ H,(A,A) a son image contenue clans le sous-groupe
H',(A) = Ker(H,(A,A)
B'I
, H,+ I(A,A)).
D'apr~s [20] w
les groupes H,(A, A) et H',(A) sont des sous-groupes de ~,(A) et de
Z,(A), noyau de d : ~ , ( A ) ~ f i , + l ( A ) , respectivement. L'homomorphisme K,(A)
Z,(A) d6fini en [20] w
est alors la composition
K,(A)
y".. , H',(A) ~ Z.(A)
off 7, est l'homomorphisme de Dennis multipli6 par 1/n! (cf. [20] w
3.3. La d6finition de l'homomorphisme Chr,~l (appel6 caract&e de Chern relatif) m&ite
d'etre pr6cisbe ici. Les calculs qui vont suivre reposent sur la th6orie des classes
caract6ristiques secondaires d6velopp6e dans [20]. Cependant, le r6sultat final (3.4)
peut ~tre compris sans les d6finitions techniques de [20]. On en donnera une
interpr&ation plus directe en termes de cohomologie d'algbbres de Lie darts le
paragraphe suivant.
L'application 0: G L ( A . ) / G L ( A ) ~ BGL(A) d6finit un GL(A)-fibr6 E sur l'ensemble
simplicial X = GL(A.)/GL(A) dont les fonctions de transition sont d6finies par
gji = a(j)a(i)-1 sur le simplexe a. Puisque l'application compos6e
GL(A,)/GL(A) -.~ BGL(A) ~ BGL(A,)
est homotopiquement triviale, ce fibr6 se tfivialise en tant que GL(A,)-fibr6, la
trivialisation a: E ~ T 6tant d6finie sur le simplexe a par a i = a.a(i) -1, donc
gji = a ; 1 al (ici nous suivons les notations de [20] w La m6thode d6crite dans [20] w
pour construire le caract6re de Chern relatif est alors la suivante: on consid+re sur E la
connexion d6finie par la formule locale
F i = ~_Xkgki a d'gk i
off les x k repr6sentent les coordonn6es barycentriques et off d"gk, est une matrice
& coefficients clans ~a(A) qui repr6sente la diff6rentielle 'non commutative' de gk~
/i coefficients dans ~o(A) = A. Cette connexion, transport6e sur le fibr6 trivial T par
CARACTERE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
443
Fisomorphisme ~ est 6gale/t
~i Fi Ot:~1 q_ O~i d~F 1
=
-- E
Xk dO~k"0~ t.
Cette expression, not6e F, ne d6pend pas de i et la diff~rentielle d = d' + d" est la
diff6rentielle totale du bicomplexe f~*(A"; ~ , ( A ) ) consid6r6e darts [20] w D e mani6re
plus pr6cise, d': Y~(A"; f~,(A)) --* f~+ I(A"; f~,(A)) est la diff6rentielle usuelle des formes
diff~rentielles sur A n A valeurs dans f~,(A) et
d": a*(A~; f~i(A)) ~ f~*(A~; fl,+ I(A))
est induite par la diff6rentielle n o n c o m m u t a t i v e sur le complexe universel f~,(A) (cfi
[20] w * ).
La connexion F est h o m o t o p e ~t 0 par l ' h o m o t o p i e t --, tF dont la courbure est
R = d(tF) + t 2 F 2 = dt F + t d F + t 2 F 2.
L'op~rateur d ' h o m o t o p i e standard en cohomologie de D e R h a m appliqu6 au caract6re
de Chern 1/n! Tr(R ~) donne donc le caractSre de Chern relatif c o m m e la ciasse du
cocycle
1/(n -- 1)! Tr f f l
dt F(t d F + t2F2) ~-1
d~ Jt=O
sur l'ensemble simplicial X = Bgl(A)/t valeurs dans ~ , _ I(A)/B~_ I(A) (cf. [20] w
U n e autre h o m o t o p i e de F/~ 0 serait h o m o t o p e / t t ~ tF et donnerait donc la m a m e
classe de cohomologie dans H"(X; ~ , _ I ( A ) / B , _ I(A)) car la cohomologie de X x [0, 1]
est la m a m e que celle de X. En particulier, si on 6crit
F = -F'
+ F" off F" = - - ~ x k d " ~ 1 , ' c ~ [ 1 et F ' = ~ x k d ' c ~ k ' ~ -1 = d'c~k.~[ 1
qui est ind6pendant de k et q u ' o n notera d ' a . a - 1, on peut consid6rer la composition
des h o m o t o p i e s u ~ - F ' + uF" et t ~ - tF' avec t et u e [0,1]. Puisque d' F ' - (F') 2 =
0, la courbure de la premiere h o m 0 t o p i e est 6gale fi R 1 = duF" + A off A ne contient
que des formes diff6rentielles de degr6s en X inf~rieurs ou 6gaux/t 1. II s'en suit que
1/n!
(R1) ~ = 0
=O
car a est une cellule de dimension n. La courbure de la deuxiSme h o m o t o p i e est 6gale
~. R 2 = - d t F ' - t d"F'. En calculant I/n! Tr(R2)" puis en int6grant de 0/t 1, on obtient
finalement le th6or~me suivant.
3.4. T H E O R E M E .
Le caract&e de Chern relatif
K~e~(A) ~ Dn- I(A)/Bn - 1(A)
* En fait, on n'aura besoin du complexe universel que dans l'~nonc~ du th6or+me 3.6. Auparavant, on
pourrait aussi bien travailler avec une quasi-r~solution quelconque f~,(A) de A dans le sens de 1-20]w
444
ALAIN C O N N E S ET MAX K A R O U B I
est l'homomorphisme composk
n,((GL(A,)/GL(A)) +)
h. )H,(GL(A,)/GL(A))
o ,~,_I(A)/B,_I(A )
off h, est l'homomorphisme de Hurewicz et off 0 est associb au cocycle
a ~ ( - 1)'/n[ Tr f , F'(d" F') n-a E ~,_ I(A)/B,_ l(a).
3.5. Commentaires et exemples. Sin = 1, Ch] el est associ6 fi la classe du cocycle
a ~ T r f d'a.a -1
l'int6grale 6tant interpr6t6e comme un 616ment de
~o(A)/Bo(A) = ~o(A) = CZo(A)/b(C~(A)).
Sin = 2, Ch~2el est la classe du cocycle
a ~ - T r I~d' a . a - l . d " d ' a . a - I + d, a . a - l . d , a . a - l . d , , G . a - 1 .
Sin > 1, il est commode de remplacer A par l'algSbre A obtenue en ajoutant un 616ment
unit6 fi A. Le groupe ~,_ 1(.4)//~,_ 1(,4) s'identifie alors
C,~_~(,4)/b(C,~(A)) = C~,_~(A)/b(CZ,(A))
(cf. [20] w
Le caract~re de Chern relatif qu'il convient de consid6rer alors est
l'homomorphisme compos6
Kf(A)~--~ K~r
~ ~._ , (.71)/~,_1 (-4) = C~_ 1(A )/b(C~(A)).
3.6. THEOREME. L'image du caractOre de Chern relatif ddfini ci-dessus est contenue
dans le sous-groupe HC._ I(A) de Cz,_I(A)/b(C~,(A)). On l'dcrira
Ch.rel..K,rel (A) ~ HC,_I(A ).
Dkmonstration. Plongeons de nouveau A dans A et consid6rons le diagramme
commutatif suivant off C d6signe les complexes de Hochschild ou cyclique normalis6s
([20] w
Cz_ ~(2)/b(CZ($))
C~-2(~)
B , C,($)/b(C,+ I( 71))
B~
C._dA).
D'apr~s ce qui a ~t~ dit plus haut, on sait que B(Chf(x)) e H.(.4, 4) c ft,(A) ([20] w
Par cons6quent, Bl(b(Chf(x) ) = 0. On voit facilement que B 1 est injectif ([20] w
445
CARACTI~RE M U L T I P L I C A T I F D ' U N M O D E L E DE F R E D H O L M
Donc b(Ch~l(x))
=
0, ce qui montre que c~ h ntel"ix)" E n~ C n-1(~)
=
HCn-I(A) 9
3.7. T H E O R E M E . On ale diagramme commutatif
n+ ~(A)
KtOp
> Kr+t(A)
[Chn+l
' Kn(A)
[Chrnel
S
HCn+i(A)---~HCn_~(A)
[1Dn
9
(1/n)B ~Hn(A,A ) I
' K~P(A)
, K .~'- I(A)
]Chn
~HCn(A)
l
Chnre.-1
S ,HCn_2(A)
oft D nest l'homomorphisme de Dennis.
Ddmonstration. La commutativit5 du troisiSme diagramme a 5t6 d6montr6e dans
[21] w
La commutativit6 des deux premiers diagrammes r6sulte de la commutativit6 des diagrammes analogues en homologie de De Rham non commutative
5crits en 3.2 (cf. aussi [20] w
4. Interpr6tation des classes caract6ristiques relatives en termes de cohomologie
d'alg6bres de Lie. Accouplement entre EIIP(A) et la K-th6orie alg6brique
4.1, L'homomorphisme K~el(A) -~ H~_ l(A) d~fini dans le paragraphe pr6c6dent induit
un accouplement
Ch,rel.. K~,~I(A) x H,~- t(A) ~ C
que nous aUons d6finir de mani6re plus directe en utilisant la relation entre la
cohomologie cyclique et la cohomologie des alg6bres de Lie (cf. [24] w Plus
pr6cis6ment, un (n - 1)-cocycle cyclique continu x e Z~- I(A) d6finit un cocycle continu
f, de degr6 n sur l'alg6bre de Lie Mq(A) = glq(A) en posant
f~(X 1, X 2 , . . . , X n) = ( - On~n!~ sgn(s)(z | Tr)(X s', X ~2. . . . . xS,);
s parcourant le groupe des permutations de {1. . . . , n}. Cette cochaine d6finit une forme
diff6rentielle ferrule c% invariante ~t droite sur le groupe de Lie-Banach GLq(A) par la
formule
co~((a,X 1). . . . , (a, Xn))
= (-- 1)n/n! ~ sgn(s)(z | Tr)(X~'a- 1, X~2a - 1,..., XS~a- l)
off (a, X) d6signe pour a e GLq(A), X ~ Mq(A) le vecteur tangent e n e = 0/t la courbe
8--, a + eX. Si a e GLq(An)/GLq(A ) est un simplexe de dimension n de l'ensemble
simplicial GLq(A,)/GLq(A) c'est-/vdire une application C ~ de An dans GLq(A) d6finie
modulo la multiplication/t droite par un 616ment de GLq(A), l'int6grale
446
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
est un nombre complexe bien dhfini car cotest invariante it droite. Elle se stabilise quand
q --+ oo.
4.2. T H E O R E M E . L'accouplement (rr,z) ~ Sr
induit un accouplement
Hn(GL(A,)/GL(A)) x H"z- I(A) ~ C
qui coincide avec l'accouplement composd
K~f(A) x H]-I(A)
h. x Id ~Hn(GL(A,)/GL(A)) x H]-I(A)
Ch~~ ~C
off h, est l'homomorphisme de Hurewicz.
Ddmonstration.
D'apr4s le thhor6me 3.4, l'accouplement ChTM associe it ~ et
it z l'616ment
(_ 1)n/n!(z | Tr)(F,(d,F,),- 1 avec F' = fla" a - 1.
Puisque
d'~ =
&r
i=1 ~x/dx~
en coordonn6es locales, on ales identit6s suivantes
( - 1)yn! r ' ( d " r ' ) " - i
=(-~--dxs~r-
d 1--iT-
~XSl
=(-1)
.
~Xs2
dG~ ) . . .
_
r
k~Xsn
\
Orr o_ld,,/0oIn!y.sgn(s).,,
cG,
t~G~"- 1~,] "'" d " i'-/-d~x l \ s G , ,J
-- ( - 1 ) /n!~sgn(s).,
s
GXsl
o--1|
.
~Xs2
|174
o--ldxl
A ... A dx.
A ... A dx,,
sn
dans C2_ I(A) ~ fl"(A~). Par conshquent,
fa~(r|
r
= f o~.
4.3. On peut interpr6ter ce qui pr6c6de de mani6re 16g6remen: diff6rente en termes de
fibr6s plats sur des vari4t6s et en interpr6tant la K-th6orie alg6brique ou relative en ces
termes [20]. Soit donc M une vari6tG T le A-fibr4 trivial M x A q et a un
automorphisme de ce fibr6 trivial (qui peut ~tre repr6sent6 par une application C ~ de
M darts GLq(A)). Cet automorphisme d6finit un hl6ment de K~~
@ A) et on peut
calculer son caract4re de Chern Ch,(a) dans HC2,_I(C~176 A) de la manihre
suivante.
La connexion triviale transport& sur le fibr6 T par l'isomorphisme :r a comme
447
CARACTI~RE M U L T I P L I C A T I F D ' U N M O D E L E DE F R E D H O L M
matrice F = - d e . ct-1 et Ch,(e) est donn6 par la m~me formule qu'en 3.3:
l/n! Tr
ft
dtF(t dF + t2Fz)n - 1
=0
qui se simplifie ici en (n - 1)!/(2n - 1)! Tr(dc~. c~- 1)2,- 1. Si maintenant C est un courant
ferm6 /t support compact de dimension n, l'aceouplement (C, Ch,(~))e CZn_t(A)/
b(C~,(A)) peut se calculer en explicitant la diff6rentielle d = d' + d". Soit F = - F ' +
F" avec F' = d'e- e - i, F" = - d"e. e - 1 comme dans le paragraphe pr6c6dent. En
consid6rant de m~me l'homotopie - F ' + uF", on voit que (C, Ch,(e)) est aussi 6gal
5 (C, o(~)) oa
o)(cQ = ( - 1)"/n! T i f F " (d"F')"- 1) avec
F ' = d'c~. ~ -
1.
En appliquant/t (C, re(e)) le cocyele continue T, on en d6duit finalement le th4or4me
suivant cit6 dans [i 1] off ~ d6signe le cocycle cyclique sur l'alg6bre C~(M) d6fini par
l'6galit4
C(f~
1. . . . . f") = ( C , f ~ d'f 1 A ... A d'f").
4.4. T H E O R E M E . Soit c~:M ~ GLa(A ) une application de classe C ~ et soit ~ # z le
produit tensoriel de C par z [8] comme cocyele cyclique sur C~~
~ A. On a alors
l'identitd
(c,~*~o~) = ( ~ # t,
oh [e] s Kt~
entre HC* et K~~
[~])
~ A) est la classe de ~ e GLq(C~176
celui rappel~ dans le w
A) et off l'accouplement
4.5. COROLLAIRE. Si la classe d'homologie [C] de H,(M) appartient it l'image de
l'homomorphisme de Hurewicz n , ( M + ) ~ H , ( M + ) ~ H , ( M ) ,
on a (C, e*co~)
2izc(Z,Ktn~ I ( A ) ) .
Ddmonstration du corollaire. Si [C] appartient ~ l'image de l'homomorphisme de
Hurewicz, ([C], Ch,(c~)) repr6sente l'6valuation du caract+re de Chern d'un automorphisme d'un A-fibr6 trivial sur S" ou encore d'un fibr6 sur S" + 1 par recollement.
Puisque le caract6re de Chern est compatible avec la p6riodicit6 de Bott (/t 2iz~pr6s), on
en d6duit le corollaire en appliquant/t ([C], Ch,(cO) le caract&e ~.
4.6. Soit maintenant m o un point base de M (qu'on supposera connexe). Le rev6tement
universel M de M est form6 des couples (m, o-) off m e M e t off ~ est une classe
d'homotopie de chemins joignant mo/t m. Le groupe fondamental F = rh(M, too) op6re
librement /t droite sur )~ par la formule (m, cr). 7 = (m, o-. 7) off cr. 7 est le chemin
compos6 de ~ret de 7. Soit maintenant E un fibr6 plat de A-modules/~ droite, de fibre A q
sur M, c'est-/t-dire de groupe structural GLq(A) muni de la topologie discr6te. Si E m
d6signe la fibre de E au-dessus du point met si ~rest une classe d'homotopie de chemins
joignant m o /t m, a d6finit un isomorphisme a . : Aq --= E,,o ~ Em. En particulier, si
mo = m, le fibr6 plat est d6termin6 par l'homomorphisme p: F ~ GLq(A) d6fini par
448
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
P(9) = 9.. Si s: M ~ E est une section C oode E, s d6finit une application ~: 3~r ~ A q par
la formule ~(rh) = r l(s(m)) p o u r rh = (m, o-) et on a ~(rh. g) = P(9)- 1 ~(rh).
4.7. Une trivialisation diff6rentiable ~: E ~ M x A q est donn6e par un isomorphisme
%: Em ~ A q d6pendant diff6rentiablement de m (ceci a un sens car E est plat). Si on
identifie E,, fi E,, o = A ~ par un isomorphisme o-. off o- est un chemin joignant m o fi m, on
voit que ~ induit une application 5:/l~ ---, GL~(A) par la formule 5(m, a) = ~.," o-. et on
a 8(th.g) = ~(rh).g, = 8(rh).p(g) p o u r rh = (m, a) c o m m e ci-dessus.
Soit maintenant 09 une forme diff6rentielle invariante ~i droite sur le groupe de
L i e - B a n a c h GLq(A). Alors c7"(co)est invariante par le groupe F, d o n c d6finit une forme
diff6rentielle sur M = ~ r / F q u ' o n notera a(co) et qm n e s t autre localement que (%)*(co)
q u a n d on identifie les fibres ~t A q. D e mani6re 6quivalente, on peut choisir des
trivialisations
_1(U3
~o, 'Ui x A q,
en sorte que les fonctions de transition gj~ = cpj. cp~-~ soient localement constantes. La
trivialisation e: E --* M x A q d6finit
~
~: U~ x A q ~:/~ ~c- 1(U3---~U~
•
A a
avec ~ = ~j.ej~ et ~*(~o) = ~*(o~) sur U~.
Le th6or+me suivant est maintenant une simple cons6quence du th~or~me 4.4 et de son
corollaire.
Soit o~*(co~) la forme diff~rentielle sur M assoeide d la forme
diffdrentielle F-invariante g*(co0 sur M e t soit c ~H,(M) une elasse d'homologie
appartenant 3 l'image de l'homomorphisme de Hurewicz. Alors l'image de ( e, o~*co~)dans
le quotient de C par le sous-groupe 2i~(v, Kt~
est indbpendante du ehoix de la
trivialisation ~.
4.8. T H E O R E M E .
4.9. La relation entre les deux aspects (simplicial et diff~rentiable) que nous venons de
d6velopper p o u r les classes caract6ristiques relatives se fait le plus c o m m o d 6 m e n t par
l'interm6diaire de partitions de l'unit~ (cf. [20] w Ainsi, un fibr6 rep6r6 sur le neff N(~
d ' u n recouvrement ouvert de M d6finit un fibr6 diff6rentiable sur M. Si le recouvrement
ouvert est assez fin, la cohomologie de De R h a m - S u l l i v a n de N(~ coincide avec la
c o h o m o l o g i e de D e R h a m de M. Ainsi, fi la donn6e d ' u n fibr6 plat sur M e t d'une
trivialisation diff6rentiable de ce fibr6 ou peut associer une application simpliciale
U(ql) ~ GL(A.)/GL(A)
qui 6change les classes caract6ristiques construites en 4.2 et 4.8, respectivement.
4.10. N o u s allons maintenant d6finir l'accouplement
EIF(A) x Kp+ I(A ) ~ C*
annonc6 dans l'introduction (cf. 1.5 p o u r la d6finition du groupe ElF(A)). D a n s cette
CARACT~RE MULTIPLICATIFD'UN MODELE DE FREDHOLM
449
intention, commenqons par d6finir un homomorphisme
Kp+ 1 ( ~ p) ~ C*.
Cet homomorphisme est cons6quence du diagramme commutatif
Z ~ K~~
) v ~T,-~l~p+1(j/v)
lu = Chv+z
>Kp+l(jgp)
, K;~ " ~ ( ~ . )
= o
Ch rel
p+l
HCp + 2(d{p) S9 ~HCv(~P)
z, ~ C
En effet, d'apr6s 2.9 on a
(Zp'S'u)(Z) = r/,+2g
avec
rp+ 2 = (2i7z)[p/21+1
Le diagramme commutatif &abli en 3.7 permet alors de d6finir un homomorphisme
compos6
Coker v ~ Coker uS-+ Coker u. S
~" ~,C/rp+zZ ~ C*
off ~p est induit par zp. On peut aussi raisonner plus g6om6triquement dans l'esprit du
d6but de ce paragraphe: un 616merit de Kv+ ~(s//p) peut atre repr6sent6 par un A-fibr6
plat sur une n-sphere homologique M (n = p + 1, A = J/P) de classe fondamentale
c e H,(M) (cf. [20] w Puisque K~,~
= 0, ce fibr6 plat est stablement et diff6rentiablement trivial. Le choix d'une trivialisation de E (suppos6 stabilis+) permet de
d6finir un hombre complexe (e, ~*~%) (cf. 4.1 pour la d6finition de ~%). La classe de ce
nombre complexe dans C/rp+zY_ ~ C* est ind6pendante du choix de la trivialisation
d'apr6s 4.8. L'homomorphisrne Kp+ 1(rigp) ~ C* ainsi d6fini par la g6om6trie coincide
avec l'homomorphisme pr6c6dent d'apr~s les remarques de 4.9.
D'autre part, d'apr~s la d6finition de z v e n 2.9, l'involution de J//P d6finie par
(x, y) ~ (y, x) sip est pair et
s i p est impair change le signe de zp. Puisque tout 616ment de EIlP(A) est une
combinaison lin6aire de repr6sentations p: A -~ JgP, il en r6sulte que l'accouplement
cherch6 est bien d6fini d'apr6s 1.6.
5. Caleul des classes caract~ristiques relatives pour les groupes Kl(Jg ~ et
K2(.~1).
5.1. Le cas du groupe K I ( J g ~ a 6t6 trait6 en d&ail dans [11]. Nous le rappelons ici
pour la commodit6 du lecteur. En fait, ce cas r6sulte d'une th6orie des classes
450
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
caract6ristiques secondaires sur le groupe KI(A ) pour toute alg6bre de Banach A (cf.
[20] et [18]).
Le groupe K]~I(A) est isomorphe fi H~(GL(A,)/GL(A)) et pour toute cellule a de
dimension 1 de GL(A.)/GL(A) on a
Ch]el(a) = Tr
d'a. tr- 1
d'apr6s 3.4, rr(t) 6tant un chemin dans GL(A), t ~ [0, 1]. Pour n = 1 on d6montre ainsi de
mani&e 616mentaire le diagramme commutatif du th6or~me 3.7
, Kt2Op(A)
K2(A)
, K],I(A)
u , KI(A )
v , K~~
)HC2(A ) S ,HCo(A ) B , H i (A, A) . . . . . ) H C i (A)
Ici l'application u est induite par o ' ~ a ( 0 ) - l a ( l ) et l'application w:Ko(A)~
K~~
-~ HCo(A ) est induite par e ~, 2in Tr(e) off e est un idempotent repr6sentant un
616ment de Ko(A ). Notons que HCo(A ) est le quotient de A par l'adhdrence du
sous-groupe engendr6 par les commutateurs [a, b] = ab - ba. La classe caract6ristique
secondaire est alors l'homomorphisme Ker(v)--* HCo(A)/Im(w ) qu'on d6duit du
diagramme commutatif pr6c6dent. Etudions maintenant le cas off A = dg~
5.2. THEOREME. L'homomorphisme Ki(J/t ~ ~ C* ddduit des w ou 4 cofncide avec le
ddterminant de Fredholm (x, y) ~ d6t(x- iy).
D~monstration. Puisque Kt~~ ~ = 0 et que Ki(~L.q~
0, tout 616ment de
K~(dg ~ est la classe d'un couple (1, y) avec y e G L ( ~ l) homotope fi 1 dans ce groupe.
Soit al(t ) une homotopie diff6rentiable dans G L ( ~ I) telle que al(0 ) = 1 et rrl(1) = y.
On a alors Yr(d'a 1 9o-i-1) = yr(o.l(t)- la,1(t) dr) dont la primitive est Log(d6t(o-l(t))). Par
suite, l'int6grale qui d6finit Chr~el(G~)est 6gale fi une d6termination de Log(d6t(y)), d'ofl
le th6or6me.
5.3. Examinons maintenant le cas du groupe K2(Jr i) qui est beaucoup plus d61icat.
Rappelons que l'alg6bre jr est l'alg6bre des matrices
a = (all
a12~
\a21
a22/
avec a l i , a22 E .~-c~(H) et a12 , a21 ~ .~2(H). O n peut d6finir un homomorphisme
~/~1 ~
y(H)/Yl(H)
par la formule a-~ classe(az~) (noter que le produit de deux 616ments de 5q2(H)
CARACTERE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
451
appartient/~ ~t(H). Soit ~-t l'alg6bre obtenue par produit fibr&
~t
>Le(H)
j~l
,Le(H)/Le~(H)
Ainsi ~--t s'identifie ~ l'alg6bre des couples (a, x) avec a s ~//t, x ~ &V(H) et art - x
Let(H): c'est une alg6bre de Banach pour la norme I[(a, x)II = IIa IIm, + IIart - x [Is., et
on a une suite exacte d'alg6bres de Banach
0__. ~ot ~ j t
~ ./tit ~ 0 .
5.4. PROPOSITION. Les groupes K I ( J -1) et Ktl~ 1) sont rdduits it 0 et l'image de
G L ( J 1) darts GL(JPZ'1) est la composante neutre SL(Jg t ) de GL(Jr
En outre, SL(Jg 1)
est le sous-groupe de GL(J/r 1) engendrd par les matrices dI~mentaires, doric est parfait.
Ddmonstration. Tout 616ment de GL(r -1) s'6crit (a, x) comme ci-dessus (en rempla~ant 6ventuellement H par Hn). Puisque a t 1 - x e Lel(H), l'op6rateur art est
d'indice 0 et on peut donc trouver une approximation (a', x) de (a, x) telle que at t soit
inversible. I1 s'en suit que (a, x) s'6crit comme produit de deux 616ments de la forme (b, y)
avec bit inversible. En faisant des op6rations 616mentaires, on peut supposer que
b s'6crit sous la forme
avec b22 s GL(Le(H)). Puisque Kt(Le(H)) = 0 [13], on peut supposer que b22 = 1 en
faisant de nouveau des op6rations 616mentaires. Pour d6montrer que K t ( J -~) = 0, il
suffit donc de montrer que tout 616ment de GL(Le t) est produit de matrices
616mentaires dans GL(F~), ce qui r6sulte du fait que cette propri6t6 est vraie dans
GL(Le(H)).
Par cons6quent, K t ( J -t) ~ Kt~0P(9-t) = 0 et l'image de GL(~--t) dans GL(JCt t) est
contenue dans la composante neutre SL(J# t) de GL(Jr
Pour d6montrer que SL(d//t)
est le sous-groupe de GL(Jg 1) engendr6 par les matrices 616mentaires et donc que
l'image de G L ( 9-1) dans GL(dd 1) est 6gale/~ SL(./~t), il suffit ainsi de montrer que
Kt(Jr 't) ~ Ktj~ t) ..~ Z. Autrement dit, on doit montrer que l'application (a, x)
indice(alt ) induit un homomorphisme injectif de Kt(Jr
vers Z, ce qui r6sulte des
m~mes arguments que ceux utilis6s ci-dessus.
5.5. De ce qui pr6c6de on d6duit la suite exacte suivante de groupes de Lie-Banach
1 -, GL(Le ~) --, G L ( J -1) --, SL(dd t) -, 1.
Si on divise les deux premiers groupes de cette suite par le sous-groupe ferm6 et
452
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
distingu6 G L ' ( ~ 1) = {u e GL(L~I) t d6t(u) = 1}, on obtient une extension centrale du
groupe SL(JN 1) par C* (cf. 1-27] w
1 ~ C* ~ F ~ SL(Jg 1) ~ 1
5.6. THEOREME. L'homomorphisme K z ( ~ '1) ~ C* ddduit des w ou 4 coincide avec
l'homomorphisme H2(SL(J/{ 1) = K 2 ( ~ q) ~ C* associd &l'extension centrale prdcOdente
(noter que HZ(SL(~/1); C*) ~ Hom(H2(SL(Jgl), C*) car HI(SL(JN 1) = 0).
D~monstration. Pour tout groupe de Lie-Banach G, 6crivons Gt~ le groupe
simplicial obtenu en consid6rant le complexe singulier (diff6rentiable) de G. En
particulier, si A est une alg6bre de Banach, GL(A) t~ n'est autre que le groupe simplicial
GL(A,) introduit dans le w Avec ces notations, on ale diagramrne cornmutatif suivant
de fibrations/t homotopie pr&
GL(~I)~e I
GL(~Z)t~
>GL(~_I)r~ 1
1)
l
B G L ( ~ 1)
B G L ( ~ 1)top
, GL(~- 1)t~
r
-~ )
1
, BGL(~--1)
, BGL(~-- 1)top~
>SL(J~I)rr 1
, SL(J/{1)t~
1)
1
, BSL(,/g 1)
, BSL(J/1)top
On notera que
HI(BSL(Jg 1) = HI(BSL(J{1) t~ = HI(SL(,///1) rel) = 0.
Une chasse au diagramme 616mentaire au niveau des groupes d'homologie montre
que l'homomorphisme K2(Jr
= HE(BSL(~/il))~ C* qu'on cherche fi calculer est
induit par l'homomorphisme HE(SL(JI1) re1) = K~el(Jg 1) ~ C qui est d6fini dans les w
et 4. I1 faut maintenant montrer que cet homomorphisme coYncide avec celui induit par
la premiere fibrafion horizontale du diagramme precedent
H2(SL(~I) "~') ~ H~(~p) --* C.
Ici l'homomorphisme H~(cp) ~ C est induit par le diagramme commutatif de fibrations
GL(~qal)rel
C*t~
*
:
K ( C , 1)
>GL(~__I)r.1 ~o , S L ( , / ~ l ) r e 1
>rt~
'
0
,SL(,/d,1)rel
off K(C, 1) est un espace d'Eilenberg-Mac Lane et HI(~, ) = C.
CARACTI~RE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
453
Pour toute alg6bre de Banach A d6signons par A*(gl(A)) le complexe d6finissant la
cohomologie diff6rentiable de l'alg6bre de Lie gl(A)/t coefficients complexes. Pour tout
ensemble simplicial X d6signons par fl*(X) le complexe des formes diff6rentielles de De
Rham-Sullivan sur X [7]. On a alors le diagramme commutatif de complexes (off
sl(~//1) _- gl(Jgl))
A*(gl(Sel))<
A*(gl(~-~))§
~
A*(sl(~/1))
f~,(GL(J_I)~< .1~ ~,.~,(SL(,/~l)rel )
n.(GL(~m),~ )
off les fl6ches verticales associent/t un cocycle une forme diff6rentielle invariante, donc
une forme diff6rentielle sur les ensembles simpliciaux GL ~ (cf. le w Ce diagramme
induit un diagramme commutatif de groupes de cohomologie/t coefficients complexes.
C
He(sl(d/~))
a
HZ(SL(J//1) TM)
/\
) Hl(Coker q3)(
H~(gl(~L,
el))
,Hl(Coker if)<
HI(GL(S~I)~').
D'apr6s le w nous savons que rhomomorphisme K~l(dr l) ~ C est associ6 ~tl'616ment
de H2(sl(J//1)) d6fini par le caractbre
Zl: AZ(sl(,/gl)) ~ C
du w D'autre part, l'616ment de Hl(Coker qS) = Hom(Hl(~0), C) consid6r6 pr6c6demment cst l'image de l'616ment T de Hl(Coker ~) d6fini par la trace sur
Al(gl(~l)) = g l ( ~ ) . I1 suffit donc de vdrifier que 3(T) = ~1- Pour cela, on considdre
deux 616ments a et b de sl(dg 1) tels que ab - ba = 0. On les rel6ve en des 616ments fi ct
de gl(Yl), it savoir (a, a11) et (b, b11) et on calculc la trace de f i ~ - 5 ~
= alzb21 - b12a21 dans gl(~ 1) c gl(~-l). On retrouve bien le caract6re
" q ( a , b , = Trace(~
_01)(0a2 ~
:~2)(~21
b012)
dans une stabilisation bien 6crite (c'est-fi-dire en identifiant gl,(~g 1) et j/l).
5.7. Comme nous l'avons vu en 2.9, on a un homomorphisme p: C[t, t- 1] __. d/1 d6fini
par
454
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
En particulier
~,"), resp. ( j ~
0z' _ n)
sin > 0 (resp. n ~< 0) off J, d6signe la matrice infinie
(i .........
o)o
Si maintenant 2 ~ C ~ ($1), sa s6rie de Fourier Z2.t" a des coefficients 2. fi d6croissance
rapide. I1 s'en suit que l'homomorphisme p se prolonge fi C ~~ (S 1) et qu'on a
p(2) = (all
ka21
a12~
az2/
off a11, a2z sont born6s et off alz, a2~ sont fi d6croissance rapide (cf. 1.3).
5.8. T H E O R E M . L'homomorphisme composd K2(C ~
~ K2(Jg 1) ~ C* est l'homomorphisme associd ~ l'extension centrale de SL(C~(S1)) par C* ddcrite dans [27].
Ddmonstration. Le th6orbme r6sulte imm6diatement de ce qui pr6c6de et du
th6orbme 5.6.
5.9. Remarque. Un calcul facile montre qu'un cocycle de l'extension centrale d6finie en
5.5
1 ~ C* ~ F ~ S L ( ~ q) ~ 1
au voisinage de l'indentit6 est
(a, b) ~ d6t(a 11bl 1((ab)- 1)11).
Le cocycle correspondant d'algbbres de Lie est donc
(X, Y) ~ Tr(-X12Y12 + Y12X20 = Tr(X.dY)
avec les notations de 2.7. Le cocycle correspondant de l'extension d'algbbres de Lie
0 ~ C ~ U ~ sl(C~
~ 0
est donc
(X, Y ) ~ 1/2i~ Yr f XY'
5.i0. Remarque. Par un argument de cup-produit en K-th6orie alg6brique (of. [-20]
CARACTI~RE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
455
6.28), 'on d6montre facilement que l'homomorphisme
K2(Cm(S1)) -+ C*
est surjectif.
6. M o d u l e s de Fredholm multiplicatifs en dimension un et alg~bre de Clifford.
6.1. Dans le paragraphe pr6e~dent, nous avons montr~ qu'6tant donn~ un ~16ment
(H, F) e Elll(A) (F d6crivant le scindage de l'espace de Hilbert H e n H § 9 H - , cf. 1.1), le
caract~re multiplicatif de (H, F) d6finit un homomorphisme
K2(A) ~ C*
qu'on obtient en consid6rant l'extension centrale de SL(A) par C* construite par image
r6ciproque de l'extension cenrale
1 -+ C* -+ F ~ SL(J/l) ~ 1
d6finie en 5.5. Cette extension centrale est 6tudi~e dans [27-] avec les notations
re~(H) = GL(M/i) et GLres(H) = F. En se restreignant &des groupes unitaires, cette
derni6re extension a une description simple et bien connue en termes de la
representation des 'trous de Dirac' de l'alg~bre de Clifford d = Cliffc(H) ([1, 2, 5, 12,
27]) que nous rappelons ici pour la commodit6 du lecteur. Dans ce paragraphe, Cliffc
est le foncteur qui associe ~tun espace de Hilbert r&l H la C*-alg~bre engendr~e par les
op6rateurs auto-adjoints y(~), ~ e H, soumis aux relations 7(4)2 = II~ j}21.
Soit maintenant C une forme bilin6aire sur H telle que Re C(~, ~/)= ({,t/) et
[ImC({,t/)l ~< II~ll"llull. Nous rappelons qu'un &at quasi-libre sur Cliffc(H) de
covariance C est un 6tat (c'est-&-dire une forme C-lin~aire o tdle que c0(1)= 1 et
oa(a*a) >1 0 pourtant a d~finie par la formule qui suit
-Si
- Si
n
n
estimpair, ~o(7({i)...7(~n))=0,
estpair=2m,
=
,l-I
Cj )
J
off J e s t une partition de {1,..., n} en deux sous-ensembles ordonn6s
((il, i2,...,i,,), (Ji,...Jm)),
ik <Jk
et of~ ga est la signature de la permutation
(1, 2 . . . . , n) ~ (i,,j l, i2,J2.... ,im, Jm}.
Soit maintenant H u n espace de Hilbert complexe muni d'une graduation F comme
danslew
+ O H - et
456
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
On note <, >R le produit scalaire sur l'espace Hilbert r6el sous-jacent qu'on note H e s'il
y a risque de confusion.
6.2. THEOREME. [1, 2, 5, 12, 27].
(1) L'dtat quasi-libre o r sur ~ = Cliffc(H~) de covariance
C({, ~l) = <~,~>a + i<~,iFtl>~
est un &at pur (c'est-~-dire correspond gt une reprdsentation irr6ductible Hilbertienne de
d).
(2) Pour tout op6rateur unitaire u appartenant gt GLres(H), l'automorphisme Cliffc(u)
de d laisse (~p quasi-invariant.
(3) Soit ( ~ , ~) la reprdsentation irr6ductible de ~r associ6e gl covet soit qg le 9roupe des
op6rateurs unitaires u de ~ satisfaisant gt l'hypothOse suivante: il existe v 9 Ur~(H) tel que
urc(x)u* = ~(Cliffc(v)x ) pour tout x 9 sJ. Alors l'extension centrale
U(1) -+ gg ---}Ures(H )
s'identifie ~ l'extension centrale
U(1) ~ L./res(U)---}Vres(U)
oil O~e~ est le groupe des unitaires de l'alg~bre Y ' (cf. 5.3).
6.3. COROLLAIRE. Soit A une alg~bre involutive, (H, F) un A-module de Fredholm
involutif de dimension 1. Alors l'extension centrale du groupe U(A) rn SL(A) donnge par le
caract~re multiplicatif de (H, F) s'identifie au groupe ~5(A) form6 des opdrateurs unitaires
u de ~ tels qu'il existe v 9 U(A) r~ SL(A) avec u ~(x)u* -- ~(Cliffc(v)x) pour tout x.
6.4. Le but de cette pattie de l'article est de donner une autre description de cette
extension centrale en ne partant plus du A-module de Fredholm (H, F) mais de
l'homomorphisme d'alg6bres associ6 (cf. [171)
p: A -~ ~ ( H + ) / ~ ( H +)
off H + = { ~ 9
= ~} et off p ( a ) - al~ avec les notations de 1.1. Nous nous
spScialiserons ensuite fi deux sous-groupes de U~o~(H): le groupe des lacets LU(n) et
le groupe des diff6omorphismes Diff+(S l) consid6r6s tous deux dans [27] w
A partir de maintenant (comparer avec [17] et [8]), on consid&era une algSbre
involutive A, un espace de Hilbert complexe E et une .application C-lin6aire
p: A ~ &a(E) telle que
(1) p(ab) - p(a)p(b) 9 5fi(E),
(2) p(a*) = p(a)*.
L'exemple standard est A = ~,1 et p((aii)) = aii.
Le caract~re additif de l'extension d'alg~bres
~ ( E ) --, ~ - , A
image r6ciproque de Fextension
~i(E) -+ ~(E) --+~(E)/~I(E)
CARACT~RE MULTIPLICATIFD'UN MODELE DE FREDHOLM
457
est donn6 par le cocycle cyclique de dimension 1 suivant
p(a ~ a 1) = Tr(p([a ~ a I ] - [p(a~ p(al)])
(qui est aussi un 2-cocycle d'alg6bre de Lie).
Pour tout 616ment unitaire u de GL,(A), p(u) est un op6rateur de Fredholm et
l'application u ~ indice p(u) est induite par un homomorphisme K~(A) ~ 7/. Soit Uo(A )
le groupe form6 des 616ments unitaires u de A* = GLa(A) tels que indice(p(u)) = 0. Pour
un tel u, il existe un op6rateur unitaire w(u) dans E tel que p(u) - w(u) ~ 5Ya(E). En fait,
on a le lemme suivant
6.5. LEMME. Soit d la C*-algdbre Cliffc(E) et soit (9 la C*-alg~bre formde des dl~ments
de d fixes par l'action de U(1) d~finie par ~s = Cliffc(ei=)pour tout s E U(1) _~ ~/2nZ [5,
Vol. II]. Alors
(I) L'application u ~ Cliffc(X(U)) induit un homomorphisme bien d~fini
Pd: Uo(A) ~ O u t ( d ) = A u t ( d ) / I n t ( d )
(2) Cet homomorphisme induit par restriction ~ @ un homomorphisme
Po: Do(A) --* Out(@)
Ddmonstration. I1 suffit de remarquer que les automorphismes Cliffe(u) de ~r et
(9 sont int6rieurs si u - 1 s ~I(E) [5].
6.6. Le probl6me que nous allons aborder maintenant est celui de l'existence d'un
homomorphisme p': Uo(A) --+ Aut((9) (resp. Aut(d)) qui rel6ve po(resp, p~)
Aut((9)
S
Uo(A)
Po
,Out((9)
L'obstruction/t un tel rel6vement sera donn~e par un 2-cocycle qui,/t une ind6termination de 2-torsion pr6s, sera celui associ6 g l'extension centrale
U(1) ~ l~lo(a ) --. Uo(a )
(th6or6me 6.17). D'un point de vue formel (/t cause de probl6mes de domaines de
d6finition de d6rivations non born6es de (9 ou d ) , on va d'abord d6finir une obstruction
au niveau des alg6bres de Lie pour un tel rel6vement. Pour tout/3 e [0, + oo], on note
co# l'unique 6tat sur d v6rifiant la condition KMS par rapport au sous-groupe ~ u n
param+tre e=dr
en 6.5 pour la temp6rature 1//~ [5]. Chaque ~% est un 6tat quasi-libre
dont la covariance C# est donn6e par les formules suivantes
Re C#(~, i/) = Re(i, ~/),
Im C#(~, ~/) = (tanh fl) Im(~, ~/)
6.7. LEMME. Pour tout fl ~ [0, + ~-I, la restriction z# de ~o# ~ (9 est une trace qui est
invariante par tousles automorphismes Cliffc(U) off u est unitaire dans E.
458
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
DOmonstration. Puisque (9 est l'alg6bre fixe par tous les automorphismes ~, chaque
va est une trace sur 0. De plus, coa est invariante par tous les automorphismes de ~r qui
c o m m u t e n t aux ~, d'ofi le lemme.
6.8. I1 r6sulte de ce qui pr6cbde que la trace 9 = 2 ( ~ - to) sur (9 s'annule sur le centre
C de (9 et induit une application lin6aire g sur l'alg6bre de Lie int((9) form6e des
d6rivations intbrieures de (9 par la formule ~(ad(x)) = T(x) p o u r tout x e (9. De plus,
~([81, 8z]) = 0 p o u r 8j e int((9) car ~est une trace. D6signons par dp l'application qui
fi un 616ment a de A tel que a* = - a associe la d6rivation de (9 d6finie par d(Cliff(p(a))).
A un niveau formel, on peut alors d6finir un cocycle d'algbbre de Lie sur A par la
formule
co(a ~ a l) = ?(dp([a ~ a l l ) - [dp(a~
dp(al)]).
Puisque d(Cliffc) est un h o m o m o r p h i s m e d'alg6bres de Lie, on a
dp([a ~ all) - [dp(a~
dp(a~)] = d(Cliffc(~))
off
e = p([a ~
- ]-p(a~ p(al)]
qui a p p a r t i e n t / t ~ I ( E ) .
6.9. L E M M E . Soit z ~ ~ l ( E ) tel que z* = - z . Alors la dOrivation 8 = d(Cliffc(z)) de
(9 est int~rieure: il existe x tel que 8(y) = x y - y x pour tout y e t on a T(x) = Tr(z).
D~monstration. P o u r tout vecteur ~ de E, utilisons la notation standard a ( ~ ) =
~(y(~) + iy(i~)). En particulier, si (ek) est une base orthonorm6e de E form6e de vecteurs
propres de z, on pose ak = a(ek). On a alors zek = 2kek et x = --Z2kak*a k ainsi que
T~(ak*ak) = 0 et To(ak*ak) = 89p o u r tout k d'ofl le r~sultat.
6.10. Ainsi nous voyons que co est le caract6re de p, mais il faut cependant montrer qu'/~
un c o b o r d pr6s, co est invariant par une modification de dp du type dp ~ dp + X off
X est une application de A dans int((9). N o t o n s ici qu'il y a des probl6mes de d6finition
p o u r les d6rivations non born6es de (9 (bien que p(y) e ~e(E) soit born6, d(Cliff(p(y)) est
une d6rivation non born6e de (9). Si par exemple A est commutative, on doit montrer
qu'~tant donn6 deux 616ments Yl et Y2 de A, la valeur de ~([8~, 8~]) est ind6pendante du
choix des d6rivations 8'~, 8~ dans la classe m o d u l o les d6rivations int6rieures de
fi~ = dp(yl) et 82 = dp(y2). En g6n6ral, on a l e lemme suivant.
6.11. L E M M E . Soient xl, x 2 e (9; x~ e D o m J1 c~ D o m 82, alors f([8], 8~3) avec 87 =
8j + ad(xj) est inddpendant du choix de x 1 et x 2.
Dkmonstration. On doit montrer que [fi'~, 8hi - 1-81,823 est une d6rivation int6rieure
de la forme ad(x) avec z ( x ) = 0. U n calcul imm6diat donne x = 8 1 ( x 2 ) - 82(xl)-lIx1, xz] et on a ~(x) = 0 d'apr6s le lemme 6.7.
6.12. Remarque. L'invariant des classes de d6rivations consid6r6 dans le lemme
pr6c6dent est essentiellement le m~me que le caractbre de Chern consid6r6 dans [10].
CARACTI~RE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
459
6.13. N'ous allons maintenant construire l'analogue de l'application ~ de int((9) dans
du point de vue de la th6orie des groupes. Puisque le centre de (9 est 6gal/t C. 1, on
a une suite exacte
1 --, U(1) --, U((~) --* Int((9) ~ 1
Quand on munit U((9) de la topologie de la norme et Int((9) de la topologie quotient, on
obtient la suite exacte d'homotopie
7 / ~ rh(U(1)) --, rh(U((9)) ~ rcl(Int((9)) ~ 0
En outre, d'apr~s la p6riodicit6 de Bott [ 19], ~z(U((9)) est naturellement isomorphe au
groupe de K-th6orie Ko((9 ) de l'alg~bre approximativement finie (9. Ainsi, on a un
isomorphisme naturel
rq(Int((9)) ,~ Ko((9)/7/. 1 =/~o((9)
oti 1 e Ko((9) est la classe de l'idempotent i. En outre, en prenant l'exponentielle de
l'homomorphisme d'alg~bres de Lie ~: int((9) --, ~, on obtient un homomorphisme de
groupes
Ld:lnt((9) ~ R
ot~ Int((9) est le revatement universel de Int((9). En termes plus concrets (cf. [18]), 6tant
donn6 un chemin e~ d'automorphismes int~rieurs, e~ ~ Int((9), eo = Id, on le relive au
groupe unitaire U((9) en sorte que a t -- Ad(vt) et on a alors
Ld(e) = 2~n
T(v'tv21) dt
(comparer avec 5.2). Soit maintenant ~ la classe (ind6pendante de ~) dans le groupe
Ko((9) de l'idempotent a(~)*a(~) pour un vecteur unitaire { de E.
6.14. LEMME. L'application Ld induit un homomorphisme
D&: Int((9)/Z~ ~ ~ / 7 / ~ U(1)
D~monstration. On peut consid6rer ~ comme un ~16ment du centre Z =/~o((9) de
Int((9). On doit alors simplement v6rifier que Ld(e) = i, ce qui r6sulte de z(a*a) = 1
avec a = a(~).
6.15. LEMME. Avec les notations du lemme 6.5, iI existe des applications Bor~Iiennes
~: Uo(A ) ~ Aut((9)
et
e: Uo(A) x Uo(A ) ~ Int((9)/Ze
telles que pour u~, u 2, u 3 ~ Uo(A) on air les identitds suivantes
(1) #(Ul)#(u2)~(UlUa)- 1 = Ad e(ul, u2) avec #(ui) dans la classe de p~(ui) dans OUT((9)
(2) [#(u~)~(u~, u3)]~(ul, u2u3)~(u~u2, u~)- ~(u~, u~)- 1 = 1.
Ddmonstration. Pour u e Uo(A), soit w(u) un ophrateur unitaire de E tel que
p(u) - w(u) ~ ~q' ~(E). On suppose que l'application u --* w(u) est Bor61ienne (la structure
Bor61ienne de Uo(A ) 6tant induite par celle de ~(E)). Comme dans le lemme 6.5, on pose
460
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
/~(u) = Cliffc(w(u))eAut(go). L'homomorphisme Cliffc se restreint en un homomorphisme z~ du groupe unitaire Ut de 5fl(E) vers le groupe Int(@),~et induit par
consequent un homomorphisme z~ du rev6tement universel /~a vers Int(go). D'autre
part, on a rq(U0 g 7/ engendr6 par le lacet t-~ exp(ite), t e [0,27r] off e est un
idempotent de dimension un, e e ~a(E). On v6rifie que 1'image par r? de ce g6n6rateur
est l'616ment e de Int(go). Ainsi, on a un homomorphisme naturel lr' de Ua dans
Int(go)/Ze. I1 suflit de poser maintenant
~(u~, u~) = ~'(w(uOw(u2)w(ulu~)-
1).
6.16. LEMME. Avec les notations de 6.14, on a
D6t c~(ul,uz) = d6t (w(ul)W(Ua)W(UtU2)-l)
off d6t est le ddterminant de Fredholm usuet
Ddmonstration. I1 suffit de v6rifier que (D6t. n')(x) = d6t(x) pour tout x appartenant
fi U1, ce qui r6sulte du calcul ~(d(Cliffc(z))) = Tr(z) vu en 6.9.
6.17. THEOREME. Soit p l'homomorphisme de Uo(A) dans OUT(g0) vu en 6.5.Alors
(1) II existe des applications bordliennes
/~: Uo(A ) ~ Aut(go),
a: Uo(A) x Uo(A) ~ Int(go)/7/e
telles que les deux conditions du lemme 6.15 soient satisfaites.
(2) Pour de telles applications ~ e t I~, la fonction c(ul, u2)= D6t(e(Ul, U2)) est un
2-cocycle Bordlien, soit c ~ Z2(Uo(A); U(1)).
(3) Soit Dle sous-groupe de U(1)formd d'dldments de torsion 2-primaire. Alors la classe
de c dans le groupe quotient H2(Uo(A); U(1))/H2(Uo(A); D) est indOpendante des diffdrents
choix et est aussi la classe de l'extension centrale
u(1) --, Oo(A) -~ Uo(A)
induite par l'extension centrale rappelde en 6.2.
Ddmonstration. La premi6re partie r6sulte du lemme 6.15. La seconde de 6.15 2) et de
l'invariance de D6t par les automorphismes de gode la forme Cliffc(w), w e U(E). Enfin,
la troisibme partie r6sulte du lemme pr6c6dent et d'un calcul simple sur l'ambigiiit6 des
choix de/~ e t e .
6.18. Consid6rons maintenant le cas off A - C~ ~) et off p e s t l'application de
Toeplitz: pour f ~ C~
p(f) est l'op6rateur de Toeplitz de symbole f, c'est-fi-dire la
compression de la multiplication par f dans H2(S 1) c L2(S~). La C*-algbbre (9 est
l'alg6bre des observables pour une th6orie des champs scalaires r6els sur S 1. Le groupe
Uo(A ) des lacets C ~ d'indice 0 op6re par automorphismes extbrieurs sur l'alg6bre go et
on a l e corollaire suivant:
6.19. COROLLAIRE. II n'existe pas d'homomorphisme Bordlien p' de U0(A ) dans
Aut(go) qui relOve Po: Uo(A) ~ OUT(go).
Ddmonstration du corollaire. Puisque Uo(A ) est ab61ien, tout 2-cocycle a un unique
CARACTEREMULTIPLICATIFD'UN MODELE DE FREDHOLM
461
repr6sentant qui est sym6trique gauche. Le groupe quotient HE(Uo(A); U(1))/
Ha(Uo(A); D) de 6.17 est donc facile/t calculer et en lisant le cocycle au niveau des
alg~bres de Lie comme dans [27] p. 89, on en d6duit qu'il n'est pas trivial.
6.20. Les consid6rations pr6c~dentes s'appliquent aussi/t la repr6sentation unitaire de
Diff+(S 1) dans Jg t d6crites dans [27]. I1 y a cependant une diff6rence notable avec le
cas de C~176t) vu plus haut. Dans ce dernier cas, le groupe unitaire Uo(A ) contient le
sous-groupe U(1) (de transformations de jauge de premi6re esp~ce) et les probl~mes de
relavement des homomorphismes Poet p~, vus en 6.5 sont essentiellement 6quivalents.
Ceci n'est plus vrai cependant pour Diff+(S t) d'apr~s la construction des spineurs de
Ramond 1-28].
6.21. PROPOSITION. Le groupe Diff +(S l) op~r e naturellement sur r espace de H ilbert
L2(S 1) des l/2-densitds sur S i. Soit p l'action de Diff+(S l) sur &e(E)/.Lel(E) obtenu par
compression sur E = Ha(s l) c L 2(S 1). Soient p ~, Po les homomorphismes correspondants
de Diff+(S l) dans OUT(~r ou OUT(O). Alors
(1) L'homomorphisme Pd se reldve en un homomorphisme continu
fl: Diff + (S t) __, Aut(d)
(2) Soit coo l'dtat quasi-libre sur sr de covariance C(~,rl) = (~,tl).
Alors coo est quasi-invariant par Diff+(S t) et l'homomorphisme fl est la somme de deux
representations projectives isomorphes de Diff + (St) de charge centrale 89
l'espace de
Hilbert Ko~o.
Ddmonstration. Soit (Ln)n~z les g6n~rateurs canoniques de l'alg~bre de Lie Vect(S l)
des champs de vecteurs complexes sur S t . Ainsi L, correspond au champ de vecteur
i e~n~d/d0 et la pr6sentation de l'alg~bre de Lie est donn6e par
(a) [L~, Lm] = (n -- m)L, +m,
n, m ~ 77,
(b) L* = L_,.
Le champ de spineurs de Ramond (cf. [28]) conduit/t la representation suivante de
Vect(S ~) comme d6rivation de l'alg~bre de Clifford. On pose
(1) b, = a(en) = ~(~(e~) + iT(ien)) pour n > 0, (e~) d6signant la base orthonormale
standard de E = He(st).
(2) b o = ~2(a(eo) + a*(eo) ).
(3) b~ = a*~ pour n < 0.
On d6finit alors des d6rivations non born6es fin par la formule suivante
=
d-
(n -}- 2k)[b_kbn+k,X ].
Elles sont bien d6finies sur la r6union des sous-alg~bres de dimension finie Cliffc(Eq) off
Eq est l'espaee vectoriel engendr~ par {% ..... eq}. En outre, ~ - ~_~ et i(~ + ~_~)
engendrent des groupes/t un param~tre d'automorphismes de d . En fait, ils sont de la
forme ~ + ~' off ~ est une d~rivation intbrieure et off ~' est de la forme d(Cliffc(iH) off
462
ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
H est un op6rateur autoadjoint de E en sorte que les techniques de [2] s'appliquent.
Pour obtenir la d6composition 6 + 6', on 6crit 6,, n > 0, comme la somme
0
6.(x) = 88 ~
(n + 2k)[b_kb.+k,x ] +
k = -n
+89 ~ (n + 2k)[a*a.+k,x ]
de telle sorte que le second terme est de la forme d(Cliffe(T)) off
T({) = Z (k + n/2)ek(e.+k, ~).
k>~ l
Quant au premier terme, il d6finit une d6rivation int6rieure, impl6ment6e par l'616ment
suivant de d (qui n'appartient pas gt (9)
0
X n= 88 ~. (ng-2k)b_kbn+ k
k = --n
q<~ O
=
Z
(q + n/2)b_qbq+..
q> -n/2
Puisque rfX. IJ ~< 89
z nous voyons que pour tout vecteur tangent r6el ~ e Vect(S*),
= Z { . L . , { = {*, la d6rivation 6~ = Z{.6. a une d6composition de la forme 6 + 6'
comme ci-dessus et engendre ainsi un groupe d'automorphismes ~ un param6tre de
d = Cliffc(E). Ce groupe est dans la classe de p (exp(tr modulo les automorphismes
int6rieurs.
Nous affirmons qu'il existe un unique homomorphisme fl de Diff+(S *) darts Aut(at)
qui pour tout q~ = exp({), ~ e Vect(S ~), est donn6 par exp(6~). Pour l'unicit6, il suffit de
v6rifier que l'image de l'application exponentielle
Exp: Vect(S 1) ~ Diff+(S 1)
engendre Diff+(S ~) comme groupe. Mais, par construction, cette image est un
sous-groupe normal de Diff+(S1), donc coincide avec Diff+(S1) [15]. Pour
d6montrer l'existence, nous consid6rons l'&at pur (le vide) o)0 sur d et la repr6sentation irr6ductible correspondante rc de ~r dans K,oo. L a construction des champs
de spineurs de Ramond [28] montre l'existence d'une repr6sentation projective 1, de
Diff+(S ~) dans Ko,o v6rifiant la propri&6 suivante:
7(exp ~) = exp(/(~))
pour
avec
L'. = -~
+
(n + 2k)rc(bkb._k),
k
L'o = [L'~, Li ].
n
n~O,
CARACTI~RE MULTIPLICATIF D'UN MODELE DE FREDHOLM
463
I1 r&ulte de ce qui pr6c6de que le commutateur avec 1(0 est une d6rivation de 7t(d) et
donc que v(q))zc(d)7(~0) -1 = re(d) pour tout q) de la forrne exp,. De plus, l'automorphisme correspondant est dans la classe de p~(~0). Comme tout 616ment de
Diff + (S 1) est un produit d'exponentielles, la marne propri6t6 a lieu pour tout 616rnent de
Diff+(S1), ce qui donne le relSvernent cherch6.
References
1. Araki, H.: Bogoliubov Automorphisms and Fock representations of canonical anticommutation
relations, Contemporary Math. 62 (1987), 23-141.
2. Araki, H.: Gibbs state •f a •ne Dimensi•na• Quantum Lattice, C•mmun. Math. •hys. • 4 ( • 969), • 20_ • 57•
3. Atiyah, M. F.: G••ba• the•ry •f e••iptic •perat•rs, Pr•c. Intern. C•nf. •n Functi•nal Analysis and Related
Topics. Univ. of Tokyo Press.
4. Brown, L. G., Douglas, R. G., and Fillmore, P. A.: Extension of C*-algebras and K-homology, Ann.
Math. (2), 105 (1977), 265-324.
5. Bratteli, O. and Robinson, D. W.: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, Vol. I e t II,
Springer-Verlag, Berlin (1980).
6. Browder, W.: Algebraic K-Theory with coefficients Z/p, Springer Lecture Notes in Math. No. 657,
(1978), pp. 40-84.
7. Cartan, H.; Th6ories cohomologiques, Invent. Math. 35 (1976), 261-271.
8. Connes, A.: Non commutative differential geometry, Publ. Math. IHES No. 62 (1985), 257-360.
9. Connes, A.: Cohomologie cyclique et foncteurs Extn, C. R. Acad. Sci. Paris 296 (1983), 953--959.
10. Connes, A.: An analogue of the Thorn isomorphism for crossed products of a C*-algebra by an action of
~, Adv. Math. 39 (1981), 31-55.
11. C~nnes, A. and Kar~ubi, M.: Caract~re mu~tip~icatif d,un m~du~e de Fredh~m, C.R. Acad. Sci. ~aris 229
(1984), 963-968.
12. Carey, A. and Ruijsenaars, S.N.M.: On Fermion gauge groups, current algebras and Kac-Moody
algebras, Acta. Appl. Math 10 (1987), 1-86.
13. MacDuff, D. and de la Harpe, P.: Acyclic groups of automorphisms, Comment. Math. Helv. 58 (1983),
48-71.
14. Grothendieck, A.: Produits Tensoriels Topologiques, Mere. AMS., No. 16 (1955).
15. Herman, M.: Sur la conjugaison diff~rentiable des diff~omorphismes du cercle/t des rotatons, Publ.
Math. IHES No. 49 (1979).
16. Hausmann, J. C. and Husemoller, D.: Acyclic maps, L'enseignement Math~matique XXV (1979), 53-75.
17. Helton, J. and Howe, R.: Integral Operators, Commutators, Traces, Index and Homology, Springer
Lecture Notes in Math. No. 345 (1973).
18. De la Harpe, P. et Skandalis, G.; Ann. l'lnstitut Fourier, (1986).
19. Karoubi, M.: K-theory, An Introduction, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1978).
20. Karoubi, M.: Homologie cyclique et K-th6orie, Ast6risque No. 149 (1987).
21. Kar~ubi, M.: H ~ m ~ g i e de gr~upes discrets ass~ci6s ~ des a~g~bres d,~p6rateurs,J. ~perat~r The~ry ~
(1986), 109-161.
22. Kasparov, G. G.: K-functor and extensions of C*-algebras, Izv. Akad. Nauk. SSSR.
23. Kastler, D.: Cyclic cohomology within the differential envelope, (/t para~tre).
24. Loday, J. L. and Quillen, D.: Cyclic homology and the Lie algebra homology of matrices, Comment
Math. Heir. 59 (1984), 565-591.
25. Milnor, J.: The geometric realization of a semi-simplicial complex, Ann. Math. (2) 65 (1957), 357-362.
26. Milnor, J.: On the homology of Lie groups made discrete., Comment Math. Helv. 58 (1983), 72-85.
27. Presley, A. and Segal, G.: Loop groups, Clarendon Press, Oxford (1986).
28. Ramond, P.: Dual theory for free Fermions, Phys. Rev. D. 3 (1971), 53-56.
29. Simon, B.: Trace Ideals and Their Applications, London Math. Soc. Lecture Note Series No, 35,
Cambridge University Press.
30. Todorov, I. T.: Infinite Lie algebras in 2-dimensional conformal field theory, ISAS Trieste, Italy (1984).
31. Tsygan, B. L.: Homology of Lie algebras of matrices over rings and Hochschild homologies, Uspechi
Mat. Nauk. 38 (1983), 217-218.