432 ALAIN CONNES ET MAX KAROUBI
off les
Ki(A )
sont les groupes de K-th6orie alg6brique de Quillen. Cet homomorphisme
peut atre interpr6t6 comme un
caractOre multiplicatif
dans la mesure off il induit un
accouplement
NEfP(A)
x
Kp+ I(A ) ~
C*,
gyvEr(A) d6signant le groupe engendr6 par les modules de Fredholm de dimension p.
Pour p = 1, la construction de
ce
caract6re multiplicatif se r6duit celle de rextension
centrale classique par C* du groupe de lacets G = C Oo(S ~, SL(n)) des applications C ~ de
S 1 ~t valeurs dans le groupe SL(n, C), dans le cas off l'alg6bre A est l'algbbre
C~ 1)
et off
le module de Fredholm est donn6 par L2(S 1) muni de l'op6rateur de Toeplitz. La
propri6t6 universelle de K2(A ) permet en effet d'interpr6ter une extension centrale de
SL(A) par C* comme un homomorphisme de K2(A )dans C*.
Si A est une alg6bre de Banach (ou plus g6n6ralement une alg6bre de Fr6chet), la
topologie alg6brique permet de d6finir des groupes de 'K-th6orie relative' K~el(A)
s'ins6rant dans des suites exactes du type (E) ci-dessous. Dans
ces
suites, les groupes
Kto~ = Ko(A )
et
K~~
= ~_ 1 (GL(A)) pour i > 0 sont les groupes classiques de
K-th6orie topologique [19], [20]. Si la topologie de A est compatible avec la structure
de module de Fredholm, les caract6res additifs zf peuvent ~tre aussi d6finis sur les
groupes K~~ et on a le diagramme commutatif suivant
Kp+z(A)--* Kp+I(A)~ Kp+I(A)~ K~I(A)
Kp +
2(A) ~ top rel
l i t
"Cp+2
p+l "Cp+l
0 ~ Z-- > C > C* ~ 0
(E)
Ici l'homomorphisme z~ 1 peut atre d6fini de deux mani6res diff6rentes: la premi6re est
d'appliquer les id6es de [20] off on construit les classes caract6ristiques secondaires de
fibr6s plats dans le contexte g6n6ral de rhomologie cyclique (ou, ce qui revient au
marne, de l'homologie de De Rham non commutative). La seconde est d'utiliser la
relation &ablie par Loday-Quillen [24] et Tsygan [31] entre la cohomologie cyclique
et la cohomologie des alg6bres de Lie (les deux approches sont compl6mentaires).
Lorsque A est l'alg6bre des fonctions C OO sur une vari6t6 Riemannienne M compacte
de dimension p, munie d'une structure spinorielle, l'op6rateur de Dirac permet de
d6finir un module de Fredholm de dimension p, qui joue le r61e de la classe
fondamentale de Men K-homologie. Notre construction donne donc un homomor-
phisme de Kp+ t(COO(M)) dans C*, qu'il devrait atre possible d'interpr6ter marne quand
p > 1, dans le cas off M est une hypersurface de genre espace dans l'espace temps, en
relation avec les termes de Schwinger en th6orie des champs. Apr6s avoir rappel6
l'interpr6tation connue dans le cas M = S 1, p = 1, nous montrons comment la
deuxi6me quantification de Fermi-Dirac produit un analogue multiplicatif de la
notion de module de Fredholm, et exprimons l'extension centrale en ces termes.
Cet article a 6t6 inspir6 par des consid6rations de physique th6orique du premier
auteur. Dans la pr6sente r6daction nous nous sommes limitbs aux aspects math6ma-