sur certaines singularités - ETH E

THÈSE No 3818
SINGULARITÉS
SUR CERTAINES
D'APPLICATIONS DE
VARIÉTÉS
TOPOLOGIQUES
THÈSE
PRÉSENTÉE À L'ÉCOLE
POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE, ZURICH
POUR L'OBTENTION
DU
GRADE
DE
DOCTEUR
ES SCIENCES MATHÉMATIQUES
PAR
Armand
Wyler,
NÉ LE
mathématicien
25 OCTOBRE 1939
DE ENDINGEN
(CANTON D'ARGOVIE)
Acceptée
sur
proposition
du rapporteur
Professeur H.
Hopf
du corapporteur
Professeur B. Eckmann
BÂLE,
1967
BIRKHÂUSER
VERLAG
dipl.
EPF
de variétés
singularités d'applications
Sur certaines
Par Armand Wyler, Zurich et Stanford
L'exposé fait
professeur
par le
University
H. Hopf à l'Université de Rome
dans les Rendiconti di Matematica
(21)
est à
l'origine
de
topologiques
ce
avril 1962 et
en
publié
travail [3].
questions proposées concerne les applications algébriquement essen¬
tielles de variétés dont je rappelle la définition: l'application continue/:Xm-> Y" où
Xm et Y" sont des variétés topologiques compactes et orientables est dite algébriquementessentiellesirhomomorphisme/*:H„(Arm)->fl„( Y") est surjectif. La question est
alors : si A est un ensemble fermé de Y", que peut-on dire des groupes de cohomologie
Une des
de
l'ensemble/- l(A)l
Avant de
de la solution de
parler
inverse, introduit
ce
problème, je
par H. Hopf dans «Zur
Algebra
l'homomorphisme
von Mannig-
mentionne
der
Abbildungen
faltigkeiten » (J. reine angew. Math. 163 (1930)) et défini pour toute application con¬
tinue/: A"1-» Y" de deux variétés combinatoires compactes et orientables [2]. Cet homomorphisme inverse, défini
pour
l'homologie,
*,:#,( Y")-#,(*")
est construit
continue
struis,
grâce
à la dualité de Poincare: de
f: Xm-+ Y"
en
de deux variétés
employant
même, dans le
topologiques compactes
cas
et
d'une
application
orientables, je
con¬
la formulation donnée par A. Dold du théorème de dualité
d'ALEXANDER-LEFSCHETZ,
un
homomorphisme
inverse
<F*:hi+m-n(f-1A)^hi(A)
où A est
étant
fermé de Y" et
un
l'isomorphisme
h(A)
sa
cohomologie
de
Cech
et où
¥*=D~lfH.D,
D
de dualité
D:hi(A)^Hn_i(Yn,
et/* l'homomorphisme
Y"
-
A)
induit
UHi(Xm,Xm-f-1A)-^Hi{Y", Y"-A).
Le théorème
/: A""-»
Y" est
de retrouver
1
dit que
xF*:hi+m~n(f~lA)-^h\A)
algébriquement essentielle,
un
ce
qui
est
surjectif
permet, dans le
cas
si
où A
l'application
=
Y" et
m
=«,
théorème de H. Hopf disant que
Pt(.X")>pt(Y")
où
Pi(X") etpt(Yn) désignent
les nombres de Betti de X" et de Y".
On déduit du théorème 1
quelques
corollaires dont le
plus important
est:
si
Sur certaines
29
singularités d'applications de variétés topologiques
f:Xm-*Y" est algébriquement essentielle, la dimension cohomologique de l'image
inverse / 1(y) de tout point y de Y" est supérieure ou égale km
n.
Je rappelle, à titre de comparaison, le théorème que l'on peut démontrer dans le
cas général (Hurewicz et Wallman: Dimension Theory, p. 91):
~
—
Soit/une application
continue de deux espaces
soit dim X— dim Y=k>0. Alors il existe
inverse ait
une
dimension
Dans la deuxième
supérieure
partie
de
ce
ou
au
moins
égale
métriques compacts, /: X-*- Y,
un
point
de Y tel que
son
et
image
à k.
travail, j'étudie les points injectifs d'applications
topologiques compactes (m^n); un point y de Y" est dit injectif
point.
Je démontre à ce sujet que si / possède au moins un point injectif, on peut con¬
struire une application g:Xm-*Y" homotope à/, identique à/dans le complément
U* (<5) d'un voisinage sphérique 17* (ô) du point injectif ô, et telle que dans un
Xm
f:Xm-* Y"
si/-1 (y)
de variétés
est formé d'un seul
—
voisinage sphérique Us(ô)cU*(ô),
de sphères S""-1-^''-1.
J'associe ainsi à tout
g soit
point injectif ô
identique
à la
suspension
d'une
application
d'une
application continue/: Xm-> Y" un indice
d'homotopie de l'application g\Sm~1^>S"~l; dans le
a.enm_l(Sn~1) qui
cas d'une application/:Zm->5'" non homotope à l'application triviale et possédant au
moins un point injectif, l'indice associé à ce point ne peut être l'élément nul de
nm_1(Sn~1):d'où un critère pour l'existence de points injectifs d'une application
est la classe
f:Xm-+Sn.
application/:Sm-*S" possédant au moins un point injectif, on obtient
que/est homotope à la suspension de l'application Sm~1^>S"~1 mentionnée plus
haut et on retrouve ainsi un résultat de H. Freudenthal [5]. Si, d'autre part, dt
et d2 sont deux points injectifs différents de/:5""->5", les éléments associés ax et <x2
Pour
ne
une
seront pas nécessairement les
nm-l{S"~l)
S:7Tm_1(S'-1)-*m(n
du groupe
mêmes, mais ils
par rapport
au
seront dans la même classe résiduelle
noyau de
Grâce à la factorisation de Pontrjagin
l'homomorphisme
de
suspension
première partie,
plus précis:
Une application continue, essentielle/:S3->5'2 ne peut avoir de singularité coho¬
mologique (point yeS2 tel que h1 (f~1y)=0). Une application continue, essentielle
on
obtient dans les
f:X3->S2
priété de
Une
elle
a
cas
particuliers
[6]
et au théorème 1 de la
suivants des résultats bien
d'une variété combinatoire X3 dans
ne
point posséder
de
une
sphère Sz
a
de même cette pro¬
singularité cohomologique.
application continue, essentielle/:S*-+S3 a au plus deux points injectifs; si
points injectifs, aucun autre point de S3 ne peut être singularité cohomo¬
deux
logique.
Dans le
cas
d'une
application simpliciale
de deux
complexes, f:K->L, l'ensemble
30
ARMAND WYLER
des points injectifs est un sous-complexe. On démontre alors que si dans l'application
simpliciale/:5""->»S'" l'ensemble des points injectifs contient un simplexe de dimension
r, la
classe d'homotopie de / est contenue dans l'image de l'homomorphisme
^x :«„_,_! (s"-r-^««(n
1. Sur les
Définition. Soit R
continue/:Xm-y
applications algébriquement
commutatif
anneau
un
avec
essentielles
élément unité. Une
topologiques
Yn(m^n)
l'homomorphisme
Y" de deux variétés
Xm et
est dite
application
algébrique¬
ment essentielle relativement à l'anneau R si
UHn(Xm;R)-+Hn{Yn;R)
est
surjectif.
(les indices
Je
et
m
n
orientables
sans
frontière,
propose de démontrer le théorème:
me
Théorème 1. Soit
un
toujours les variétés compactes
désignent les dimensions de Xm et Y")
On suppose
anneau
de
f
une
application continue, algébriquement
de deux variétés
coefficients R,
essentielle relativement à
topologiques, compactes, orientables,
Xm
et Yn.
Soient A
on
un
suppose A
Soit ÎP*
ensemble fermé de Y"
etf~i(A),
image inverse, qui est
un
fermé de Xm;
connexe.
l'homomorphisme inverse, pour la cohomologie de Cech,
^*:hi+m-n(f-1 (A))^hl(A)
obtenu par la composition des
homomorphismes :
hi+m-n(f-1(A))^Hn-i(X">,Xm -rl(A))f-±Hn_l{Yn,Y''
où D est
l'isomorphisme de dualité et f* l'homomorphisme
un épimorphisme pour tous les i.
-
A)
--Xh!(A)
induit par V application f.
Alors V* est
hypothèses
Corollaire 1. Gardons les
Alors,
sipi(Xm) etpi(Y")
singulière,
sont
du théorème.
les nombres de Betti de Xm
on a:
,y«.
Pi + m-n\A
n
)
s?
et
de
Y"pour l'homologie
,v„>.
Pi\ï
)
Démonstration du corollaire.
Prenons dans le théorème 1 A
logie de Cech est isomorphe
l'homomorphisme
est
surjectif, d'où
à la
y
*.
=
Y". Comme Xm et Y" sont des
cohomologie singulière,
ffi+»
dualité,
/y „)
_^Ri^ Y«s
.
Pl-tm-n\A )>
Démonstration du théorème 1. Nous
de
-
variétés, la cohomo¬
donc le théorème 1 dit que
donnée par A. Dold
[4] :
Pi{Y )
prendrons la formulation suivante du théorème