Structure de certains pro-p-groupes

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN -P IERRE S ERRE
Structure de certains pro-p-groupes
Séminaire N. Bourbaki, 1962-1964, exp. no 252, p. 145-155
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1962-1964__8__145_0>
© Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1962-1964,
tous droits réservés.
L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki.
ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la
présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire BOURBAKI
15e année, 1962 /63 ~ n° 252
Février 1963
STRUCTURE DE CERTAINS
PRO-p-GROUPES
par Jean-Pierre SERRE
v
(d’après
DEMU0160KIN [1])
I. Résultats.
1.
Soit
un
p
limite
nombre
projective
de
premier. Un pro-p-groupe est un groupe topologique qui est
p-groupes finis ; c’est un groupe compact totalement dis-
c ontinu.
Exemple. - Soit
ments,
un
n
F(n)
et soit
la limite
p-groupes. Le groupe
des
projective
F(n) s’appelle
a
F(0) = 1 ,
F(1) = ZP (groupe
2.
Cohomologie
des
Soit
aurons
G
L(n)
soit
entier,
engendré par n éléquotients finis de L(n) qui sont
le groupe libre
des
le pro-p-groupe libre de rang
additif des entiers
On
~n .
p-adiques).
pro-p-groupes.
pro-p-groupe. La
surtout à considérer le
un
opérant trivialement ;
cohomologie
cas
de
G
se
définit
comme
dans
Nous
Z~pZ ~
où le groupe des coefficients est
les groupes de
[2].
G
cohomologie correspondants seront notés
On a :
lorsque
U
parcourt l’ensemble
H~’ (G)
Les groupes
On
finis,
on
2.1. - Soient
quement)
Dn
Hf (G)
Hom(G , Z/pZ) .
a
p-groupes
que
et
f(xl) =
particulier,
dim H~ ~G)
ont
De
là,
de
G .
et des
propriétés élémentaires
des
tire :
G~
f(x)
G
distingués
interprétation simple :
une
P our que les
il faut et il suffit que tout
= 0
soit nul.
xl ~ , .. ~ n E G .
le groupe
... =
des sous-groupes ouverts
est
isomorphe
à
un
quotient
n .
145
de
x. engendrent (topologif e Hom(G , Z/pZ) tel
F(n)
si et seulement si
J-p SERRE
2.2
(cf. (z~~ proposition 3.3). -
I~- (G~ ~ 0
faut et il suffit que
2.3. - Soit G =
L’entier
h
d’éléments de
On voit
en
engendrent
se
pour
=
dim
que
conjugués engendrent
construisant
en
2.1)
un
soit
F(n) ,
à
isomorphe
H~ (G) - n ,
et soit h=
(nombre
minimum
sous-groupe dense dans
un
H~’ (R) G
R ).
If(G) ,
isomorphisme
que la dimension de
il
n ~
définissant R
"nombre de relations"
fait
engendrant
H (G) -~
r:
au
Hl (G)
dim
F(n)/R . Supposons
dont les
(comme
montrant
relations"
r.
R
démonstration
La
en
égal
est
et
G
Pour que
est
égale
au
et
"nombre de
R .
même temps que tout élément
r E
définit
R
un
homomorphisme
et que des éléments
... , r, ont des conjugués qui
topologiquement R si et seulement si l’intersection des noyaux des
est réduite à zéro.
3. Les .groupes de
Nous dirons
deux
If (G)
(ii) H1 (G)
est
une
On
qu’un
propriétés
(i)
se
Demuskin.
G
pro-p-groupe
est un grou_pe de
Demu0161kin
s’il vérifie les
suivantes :
1
est de dimension
est de dimension
forme bilinéaire
propose de
non
classer
sur le corps Z/pZ .
et
finie,
le cup-produit :
dégénérée.
ces
groupes. Ava,nt de le
faire,
il faut
en
définir
deux invariants:
Vu 2.3, le groupe
plus évident est le rang n dim
G peut s’ écrire comme quotient de F (n) par un sous»groupe distingué fermé
R ~ (r) engendré topologiquement par les conjugués d’un élément r (un groupe
de Demu0161kin est défini par une relation). Il faudra donc classer ces relations,
et les mettre sous forme aussi ca.nonique que possible.
a.
L’invariant le
b. Soit
â
tateurs. C’est
réduit à
le
un
^
quotient
quotient
0 . Comme
en
de
G
de
(Z)n
Mp
outre
par
l’adhérence
par
1
~i
un
(G~
Z/ ~.,Z
(G , G)
sous-groupe
du groupe des
Z ,
ou
Mp
es t de dimension
n ~
(Z ) n»I ~
=
x
avec
ou à
q
que Ga e st is omorphe à
Mp
Mp
L’ entier q e st un invariant de G (on c onvient que Ga =
-.
-p
à q_0 ~.
,~
à
isomorphe
commu-
on en
pf
conclut
(f > 1 ) .
correspond
STRUCTURE DE CERTAINS
3.1.
THEOREME (DEMUSKIN). - Supposons
G
Le groupe
déterminé
est alors
au groupe défini
l’invariant
que
invariants
générateur x1 ,
n
par
par ses
PRO-p-GRO UPES
par
n
... ,
G
soit % 2 .
1 3 il est isomorphe
et
n
de
q
la relation
Remarques :
On note
a.
(x , y)
Lorsque
xyx y .
n
est
nécessairement pair (toujours
q =
0~
la relation
b. L’entier
c.
le commutateur
sous
l’hypothèse q ~2 ).
n’est autre que la relation bien
(3.1)
d’une surface orientable compacte
donnant le groupe fondamental
serait. d’ailleurs facile de prouver directement que le p-complété de
1tl (S)
connue
S. IL
v
est
groupe de Demuskin.
un
Le
et
q
où
G =
(i.
q = 2
cas
p = 2
e.
suffisent
plus
Z/2Z ). Lorsque
ne
et
f=1)
à déterminer
est
n
exceptionnel :
(à part,
G
impair,
e6:t
on
le
bien
peut
donner
une
et
n =2m
+
les invariants
cas
n
trivial
classification
com-
plète :
3.2.
groupe
THÉORÉME. - Suppos ons
G
est alors
x~ r ... ~ x liés
égal
isomorphe
par une
où
k
est
de
k
conduisent à des
Pour
deux
à
0
que
au
q = 2
groupe
relation de
défini
la
à
2 , on a un résultat analogue : le
générateurs x , y liés par une relation
n
n
> 1 . Le
forme :
2s (avec s ~ 2 ).
groupes non isomorphes.
ou
par
1 , avec m
générateurs
=
De
plus, des valeurs distinctes
groupe G peut être défini par
de la forme
,
k
prenant les mêmes valeurs que ci-dessus; ici encore deux valeurs distinctes
de k conduisent à des groupes non isomorphes. Pour n pair et % 4 je ne
connais pas de classification
4.
Application aux groupe
Soit
fini
le corps
~
d . Soit K(p)
Q
de Galois
G
soit
un
s
complète.
de Galois des corps locaux.
p-adique usuel
la plus grande
et soit
K
extension de Q
de degré
-p
K
de
dont le groupe
galoisienne
pro-p-groupe. On désire déterminer la structure de G.
extension
une
°
J-E SERRE
THEOREME (SAFAREVIC [6]). -Si K ne contient pas
l’unité, G est un pro-p-groupe libre de rang n d + 1
4.1.
de
Soit
4.2.
la plus grande puissance de
q
q-ieses de l ’unité,
Demu0161kin d’invariants (d + 2., q) .
contienne les racines
un groupe de
(En particulier;
KAWADA
et supposons
.
G
est
défini par une relation,
telle que
~ 1 . Alors
l’avait
K
G
est
déjà remarqué
[3].)
Si q~ 2 , le groupe G peut être
par ia relation
q .3. GOROLLAIRE
par
comme
p
q
p-ièmes
les racines
=
d + 2
générateurs
... ,
défini
on a :
Supposons
4.4.
défini par
En
d
z
et
d
impair. Alors G eut être
liés par la relation :
2 générateurs x1 , ... , xd+2
4~ .. ,à~~...(x 3 ~* ~ ?x a*z ~w~
+
particulier,
x , y ,
q = z
K
povr
=
G
le groupe
Q,~ ,
est
engendré
.
par trois éléments
liés par la r’elati.on
II. Démonstrations.
5. Une
précision
Le résultat
au
théorème 3.~.
prouvé
qu’il détermine
est
la structure d’une
plus précis que
relation
le théorème 3.~
en ce sens
donnée.
Il s’énonce ainsi :
Soit
5.1. THEOREME. -
r e
F(n) , soit R = (r)
f.ermé entendre par r , et soit Gr = F(n)/R .
de Demu0161kin d’invariants
(n , q) , avec
générateurs x2 , ... , xn
Lorsque
q = ~
théorème 3.~*
et
n
=
de
2m
+
F(n)
~.
le sous-groupe
Supposons
q~ 2 . Il existe
e
Gx
alors
distingué
soit
un
un
groupe
système
tel que l’on ait :
on a un
résultat analogue, qui
précise
le
de
STRUCTURE DE CERTAINS
PRO-pGROUPES
6. Démonstration du théorème 5.1.
On
tion
F
libre
F(n~ .
=
fait, la définition suivante (cf.
l’algèbre des séries formelles associatives (maiD.
à coefficients dans
t , et
... ,
simple
plicatif
des
gence
U~’
A
coefficients.
des éléments de
groupe, contenant les éléments
F le s 1 +
on définit un
injectif. De plus,
est
du pro-p-groupe
Elle est définie ainsi :
est
En
t1 ,
démonstra-
borner~ pour simplifier, au cas où p ~ z et
utilise de façon essentielle une certaine filtration
va se
si
m
A
est
muni de la
Z;
Zp-algèbre
une
de terme constant
1
+
commutatives)
non
homomorphisme
est l’idéal de
égal
A
1
à
lettres
n
est
aet
engendré
un
pro-p-
générateurs x.
aux
F -~
e :
en
topologie de la convercompacte. Le groupe multi-
l’on associe
t..Si
A
connnode : soit
plus
par
de
homomorphisme
et les
q
t. ,
on a
la filtration
de
(F. )
déterminer le
en
gradué associé gr(F)
gr(A) .
de Lie de
libre
est induite par la filtration
De
lettres
n
étant
par 1t
Soit maintenant
un
A t Ceci permet
sous-algèbre
l’algèbre de Lie
façon plus précise, pour p ~ 2 ,
Yi ’ ... , y ~ à ccefficients dans l’anneau
indéterminée
une
gr(F)
dans
au
r
(l’ irr.age
de
et les
q
yl
dans
sont de
de
gr~ (A) ) ;
polynômes
la gra-
degré 1 ;
est induite par l’élévation à la
la multi-
puissance q-ième
second
un
terme F2
W2 (F) =
Z/qZ )
ce
de
certaine
élément de F tel que le groupe
Gr correspondant
groupe de Demuskin d’invariants (n ~ q) . On voit tout de suite que
appartient
dans
x~
une
F .
dans
soit
m-adique
F : c’est
c’est
duation est définie par le fait que 1t
plication
de
formée des
et des
(xx ~
qui équivaut à :
de la filtration
03C0yi
et des
Tout r E
(Fi) . Soit r
gr ( F) ~ gr2 (F)
YtJ (k l2) , images
F2 a donc une
Vu la structure de
a une
l’image
de
r
r
(sur
base
respectivement des
qui ’ ’
.
J.-P. SERRE
6,1,
de
S oit
Demuskin
( i)
Le s
(ii)
(n , q) ,
d’ invariants
soient
a,
(i)
On obtient
De
6.2.
Si
On
Il
cup-produit
(en
va
maintenant
soit inversible
abélien,
rendu
procéder
groupe de
a. un
on
montre que la réduction
faisant
un
changement linéaire
nod p
de
les
sur
système
un
tel que l’on ait :
successives. Notons
approximations
par
mod q .
sur
F
x2~...(xn~~ ~ xn~ ~
ment
(bk~)
par les
vérifie les conditions de 5.1, il existe
r
n de générateurs de
... ,
mod q ,
(ii),
q . Pour
lemme résulte aussitôt
ce
et il suffit gue :
écrivant que le groupe
en
donne le
b
faut
eux
définie
b
torsion d’ordre exactement
la matrice
il
entre
premiers
La matrice alternée
F/ (r) soit un groupe
Fz . Pour que le groupe Gr =
r E
trouvés des
et supposons
générateurs
tels que
On
va
vraie
peut modifier les Jc.i de
De façon plus précise, soit
voir que l’ on
mod
d’éléraents
teurs de
de
Fh-1 ,
-
F . Ecrivons
et posons
r
o
x.
i
(x)
sous
=
image
ci
dans
d(c)
dans
~~~ ’
application qui
pour
6.3. LEMME.
h ~2 .
On identifie
? .
ne
est
-
dépend
ainsi
d’ailleurs
un
c
sorte que cette relation soit
=
xl c . ; les
i i
... ,
sont
x[
o
à
des
système
généraG
F .
et que
à
Gi , ... , Z~)
des
application
homomorphisme.
L’application Z :
gr(F)
im
d(c)
avec
r
que des images
une
en)
encore
(x’) d(c) ,
d(c) appartient
la forme
On voit tout de suite que le terme correctif
son
telle
l’algèbre
est surjective
de Lie libre
et l’on calcule
sur
On trouve :
C’est suffisamment
explicite
pour que la
surjectivité
de
d
se
a
r
voie
sans
trop
de mal...
Le lemme
6.3 permet
de passer de
h
à
h
+
1 : Si l’on
=
r o (x).u ,
avec
STRUCTURE DE CERTAINS
u E
Fh ’
x! ,
aux
choisit
on
on a
u’
de telle sorte que d(c):;
On itère cette
mod
c
r (x’)
Fh+1 ’
(c’est possible puisque
à la limite
1 ).
r =
PRO-p-GROUPES
On obtient alors
r
=
r 0 (x) ~
et
mod
construction,
les corrections successives
qui achève
ce
de
c
en
et
passant
passe
tendent vers
on
démontrer le théorème 5.1.
Remarques.
moyen de la suite centrale descendante.
Le gradué associé est l’algèbre de Lie libre à coefficients dans Zp ; la démonstration ci-dessus se simplifie un peu (du fait que les puissances q.»ièmss et
Lorsque
a.
l’élément
b.
71
Lorsque
filtre
q =
0,
ont
disparu).
algèbre de
vrai , et c’est
2f ,
=
q
F
au
f > 2 ~ le groupe gr(F)
libre 3 toutefois, on peut montrer
Lie
une
on
avec
n’est
plus
que le lemme
tout à fait
6.3 reste
l’eBsentiel.
7. Démonstration du théorème 3.z.
n
s’agit
du
exceptionnel
cas
q = p = 2 . On
se
bornera à de brèves indica-
tions.
(F.)
La filtration
et la méthode de Lazard
sous-algèbre
gr(F)
n’est
s’ applique
encore.
plus
gr(A) . Mais ici l’application
gr(A) ~ à la multiplication par 7C ~
une
algèbre
gr(F)
Il s’ensuit que
de Lie dans
par passage à
plus,
est la même que ci-dessus :
F
de
se
ne
x
plonge comme
correspond
résulte que
Cela n’empêche pas de déterminer
sur
il
en
Demu0161kin,
un
explicitement gr(F) .
En
si
particulier,
r E
définit
F2
à celui du lemme 6.1 montre
qu t il
un
groupe de
existe des
générateurs x.
argument analogue
tels que :
ou encore :
A
partir de là,
définit d :
approximations successives, connue ci-dessus. On
grh(F) , mais cette application n’est pas surjective..
peut affirmer, c’est que (une fois (7.1) vérifié) grh(F) est
on
procède
par
(grh~ (F))n -~
Tout
ce
engendré
On
en
que l’on
par
l’image de d
et par les classes des
déduit facilement que l’on peut mettre
r
éléments x2h2 , ... , x2hn .
sous
la forme
J.-P. SERRE
avec
r0
= X 1 ( x2 , ~ ~... (x n..l , xn) , les
divisibles par
Cette
expression
La relation
tion "de
r’
de
par
à
la forme
cherchée,
ce
la
qui
X(x1) = -
Ok désigne
Gk
X
par
U2
ces
sous-groupes sont deux à deux
Gk
sont deux à deux
8.
Démonstration
des
non
prouver
4.2,
du théorème.
X(XJ)
=1
est
+
donc
9).
n°
Un calcul
x (xi)
et que
k ,
égale
au
il
en
1
=
groupe {± 1}
formé des éléments congrus à
distincts,
sans
1
de
difficultés
pour
x
Ck ’
où
mod k . Comme
résulte bien que les groupes
du n°
résultats
cohomologie,
K(p)* )
a
bien
4. L ? qui
est bien
connu
(cf.
~3~ ~ ~ 6~ ),.
Pour
utilise la suite exacte
Par passage à la
On
est
q
isomorphes.
On laisse de c8té le théorème
on
invariant
et choisir
première partie
Gk (cf.
module dualisant du groupe
montre que l’on a
1s
le sous-groupe de
rela-
une
correspondant à des valeurs distinctes
on utilise l’homomorphisme canonique
au
3 . L’image de
son
(s ~ 2) . Comme r = x. r’ ~
démontre
G,
i~1,
et c’est
xn ’
... ,
ces
Il reste à voir que les groupes
k ne sont pas isomorphes. Pour cela,
associé
2-adiques
_
2~
est
x2 ~
variables ; de plus,
appliquer le théorème 5.1~
rapport
nul ou ~ 4 . On peut donc lui
de telle sorte que :
sous
des entiers
peut aussi
r
contient que les variables
ne
Demuskin"
~,. étant
’
4 .
=
Qp/Zp :
elle fournit la suite exacte :
cela
résulte
corps local
exemple [7],
D’autre
facilement que
(voir par
part, on voit
du calcul du groupe de Brauer d’un
chapitre XIII).
On
a
donc
H~ (G) s’identifie
quotient
symbole (a ~ b) de Hilbert (cf. ~ 7~ ~ chapitre
XIV) . Il est bien connu que ce symbole est non dégénérés d’ où le fait que G
est un groupe de Demu0161kin. De plus, la théorie du corps de classes local montre
le
cup-produit correspondant
au
au
STRUCTURE DE CERTAINS
que
est
G
Z/aZ
de
achève de
à la
isomorphe
(Zp)d+1 .
prouver le théorème 4.2
par
4.4,
on
composante p-primaire
est
impair,
on a
k
Soit
G
un
sont donc
c’est-à-dire
d
+
2
et
2,
=
4
et
produit
au
q ,
remarque d’abord que le module dualisant de
l’unité. Lorsque
ce
qui
(avec
les notations de
3.2) ,
G
est la
p = 2
et que
G -~
l’homomorphisme canonique X :
des groupes de
groupe de
K* ,
et le corollaire 4.3.
III.
Autres propriétés
G
du groupe des racines de
q =
jectif. Ceci entraine
cherché.
9.
du groupe
Les invariants de
Pour démontrer
d
p-complétion
PRO-p-GROUPES
U2
est
sur-
d’ou. le résultat
Compléments.
Demu0161kin.
Demuskin inf ini (ce qui écarte le cas trivial G = Z/2 Z ~
n ~ 2 ). On a alors les propriétés suivantes, qui
et revient à demander que
m’ont été
9.1.
communiquées
par
TATE :
G
estde dimension cohomologique 2
[En d’autres termes, on a Hq (G , A ) - 0 pour
G-module de torsion, cf. [2],]
.
q
> 3 lorsque
A
est un
Esquissons la démonstration. Soit C la catégorie des G-modules finis annulés
le cup-produit
par p. S i M E C , soit M’ = Hom (M ~ Z/pZ) le dual de
définit un accouplement entre
M) et
H2-i(G , M’) , autrement dit un
homomorphisme a. ;
M)
I~1’ ) )’ . Ces homomorphismes sont des
ri
isomorphismes pour
Z/pZ et i = 0 ,, 1 ~ ? ,. Par dévissage, on en déduit
tout
est surjectif,
que, pour
a~ bijectif et a~ injectif. D’autre part, du fait que G est infini, on peut montrer que le fondeur
H~(G ~ )
est coeffaçable : pour tout r~ E C , il existe
E C
et une surjection
~Ii
Ml M
tel que 1’homomorphisme
M~ soit nul. Combinant ces résulM~) -~
on
voit
est
un
tats,
que ai
isomorphisme pour tout MeC et i ~ 0 f 1 ~ 2 .
-~
(H~"1(G y
=
En
particulier
facilement que
le fondeur
H3(G ~
M) =
IT (G ~ )
0
est exact à droite sur
pour tout
9*2. Tout sous-groupe ouvert
H
de
M ~
G
C~
est
C ;
il
en
résulte
9.1.
w
groupe de
Demu0161kin.
On ramène la cohomologie de H à celle de
G , grâce à la formation des t=mo.induits", cf. [2], et on applique le théorème de dualité démontré ci-dessus.
dules
SERRE
[Si
un
les rangs de
G
9*3. Il existe
1
tel que.
a.
I)
b.
est
homomorphisme unique
si l’on fait opérer G
i
=
~
2
sur
au
=
(G:H) ,
.]
= d(n~ -2)
(groupe
U
d
des unités
x ~ le module
moyen de
propriétés suivantes :
G-module fini
1
en
p-primaire,
M’
et si l’on pose
Hi(G ,
dualité les groupes finis
I) ,
=
M) et
2 .
0, 1,
Le module
G
x :
et si
= Q /Z .
un
le cup-produit met
pour
sont
un
ainsi obtenu ait les
Si M
H
respectivement n~ et
caractéristiques d’Euler-Poinoaré montre que
calcul de
p-adiques)
et
est
appelé
G. Son existence et
le module dualisant de
ses
pro-
démontrer pour tout pro-p-groupe G dont l’algèbre de cohomologie H*(G) vérifie la dualité de Poincaré pour une certaine dimension ; il
n’est pas nécessaire que cette dimension soit égale à 2 .
priétés peuvent
se
L’homomorphisme
l’invariant
l’image
de
)( par la
en
q :
)(
)( est
soit formée
propriété
Si l’on fait
effet,
q
est la
d 1 éléments
plus grande puissance de
1
congrus à
mod
(il
G
q ).
p
On
rend inutile
telle que
peut caractériser
suivante :
opérer
obtenu est tel que
invariant intéressant du groupe
un
G
moyen de
au
sur
X , le
Gooomodule
1
ainsi
l’homomorphisme
(pour tout n ~ 1 ). C’est cette caractérisation que l’on utilise
déterminer
pour
explicitement X lorsque la relation r définissant G est
soit surjectif
connue.
10. Questions.
10.1. Classifier les groupes de
Sont-ils
encore
caractérisés par
10.2. Soit
r
E F2 ,
tats démontrés par LYNDON
pas
une
puissance
et soit
[5]
Demuskin lorsque
et
n
est
pair
et
p = 2 .
Gr
les résul-
I~u(~ ~ ?
Gr ~ G/(r) .
dans le
n
cas
est-il vrai que
Peut-on étendre à
discret ? En
G
est de
n’est
r
particulier~
dimension cohomologique 2
si
?
STRUCTURE DE CERTAINS
PRO-p-GROUPES
BIBLIOGRAPHIE
p-extension maximale d’un corps local
R., t. 128, 1959, p. 657-660.
[en russe],
discontinus,
[2] DOUADY (A.). - Cohomologie des groupes compacts totalement
Séminaire Bourbaki, t. 12, 1959/60, exposé 189, 12 p.
(S.). -
Le groupe de la
[1]
DEMU0160KIN
[3]
KAWADA
(Y.). -
LYNDON
(R.). - Cohomology
[4]
[5]
[6]
Dokl. Akad. Nauk S. S. S.
extenOn the structure of the Galois group of some infinite
1-18.
t.
Univ.
p.
Fac.
J.
1954,
7,
Tokyo,
Sc.,
sions, I.,
LAZARD (M.). - Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie, Ann. scient.
Ec. Norm. Sup., t. 71, 1954, p. 101-190.
theory of groups with
a
single defining relation,
2, t. 52, 1950, p. 650-665.
Sbornik, N. S.,
p-extensions [en russe], Math.
Series
Soc.
2, t. 4, p. 59Math.
Transl.,
351-363 [Amer.
Annale of Math., Series
0160AFAREVI010C (I.). - Sur les
t.
20, 1947,
p.
72].
[7]
(J.-P.). - Corps locaux. - Paris, Hermann, 1962 (Act.
1296 ; Publ. Inst. Math. Univ. Nancago, 8).
SERRE
155
scient. et
ind.,