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Gras O. P.S.I.
Devoir
Corrigé
1. Courants de Foucault
On considère un disque conducteur, vérifiant la loi d’Ohm, avec une conductivité γ. Il est mince (épaisseur e), d’axe
de Oz et de rayon b. Il est soumis à un champ magnétique uniforme, dans une zone cylindrique (axe Oz) de rayon
r = a, de la forme B = B0 cos ωtuz dans la zone cylindrique et nul ailleurs.
1. 1 Expliquer dans quelle mesure on négligera le champ magnétique induit créé par le courant induit.
1. 2 Quelle est la forme des lignes de courant ?
1. 3 Calculer le vecteur densité de courant en tout point du disque
1. 4 Déterminer la puissance moyenne dissipée dans le disque
1. 5 Calculer le champ magnétique induit créé par le courant induit et commenter l’hypothèse faite au début.
voir page suivante
Math Spé PSI Thuillier
page 1 /
Courants de Foucault dans un disque :
correction de la partie 1
��
page 1 bis /
Gras O. P.S.I.
Devoir
2. Hacheur à stockage inductif
On considère le schéma du montage hacheur à stockage inductif : le but est d’alimenter un moteur placé à la place
de R par un courant quasi-continu iS .
uT
iT T h
Th
iL
E
uL
L
iD
uD
iL
iS
C
R uR E
uL
L
D
C
R
On considère que le courant iL dans la bobine ne s’annule jamais. L’interrupteur commandé T h est ouvert de αT
à T et fermé (équivalent à un fil) de 0 à αT .
2. 1 On considère que le condensateur est absent : établir la tension moyenne VS aux bornes de la charge R sous la
αE
forme VS =
en supposant que le courant iS sera quasi-constant, avec une faible ondulation résiduelle.
1−α
2. 2 déterminer la relation entre les courants moyens IS et IL
2. 3 Ecrire l’expression de didtL sur un intervalle et exprimer l’ondulation ∆iL . En déduire les conditions pratiques
pour avoir une faible ondulation.
2. 4 On ajoute le condensateur : à l’aide d’une analyse utilisant le spectre de Fourier des tensions et courants, expliquer
que le condensateur permet de ”lisser” encore plus le courant iS (courant quasi-constant)
2. 5 que devient l’expression de la tension moyenne VS aux bornes de la charge R si l’on tient compte de la résistance
r de la bobine L ?
Math Spé PSI Thuillier
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Gras O. P.S.I.
Devoir
3. Multiplieur
3. 1 On a à notre disposition un signal m(t). Proposer un montage à A.O. permettant d’obtenir l’ajout d’une constante
C pour obtenir x(t) = (C + m(t))
3. 2 On utilise un multiplieur pour avec comme entrées x(t) et e(t) = E cos ωt. Représenter le spectre de Fourier de
la sortie du multiplieur. Quel est l’intérêt de cette opération ?
3. 3 Montrer qu’avec un second multiplieur suivi un montage que vous préciserez, on peut retrouver le signal initial
x(t).
Math Spé PSI Thuillier
page 3 /
< T^Zt9~T9t u ¬ %K[ƒ
CORRECTION CENTRALE TSI PHYSIQUE II
Anne-Marie Beninger (TSI2 Marseille) et Anne Gaulier (TSI2 Montbéliard)
I.
Généralités sur le champ magnétique
I.A Les propriétés du champ magnétique
I.A.1. Le champ magnétique est à flux conservatif :
,& = 0
Loi locale : div $
&
Forme intégrale :  B.dS 0 ; le flux magnétique à travers toute surface fermée est nul.
S
&
Le flux de B ne dépend que du même FRQWRXUIHUPpRVDSSXLHQWdes surfaces orientées. Les lignes de
&
champ magnétique ne peuvent pas - contrairement à celles de E - diverger à partir de points sources :
absence de charges magnétiques. Les lignes de champ magnétique sont toujours des courbes fermées.
Courbe a) : #&:/; L #Ï :T;Q
,&Ï donc div #& = 0
Courbe b) : #&:/; L #Â :N;Q
,&Â E #F :N;Q
,&F donc div #& M r
Courbe c) : #&:/; L #Â :N;Q
,&Â donc div #& M r
Courbe d) : #&:/; L  #F :N;Q
,&F donc div #& = 0
/HVFRXUEHVDCHWGCVRQWYUDLVHPEODEOHPHQWFHOOHVGXQFKDPSà flux conservatif.
,& ; = µ 0 &
,,,,,,& :$
I.A.2. (TXDWLRQGH0D[ZHOO$PSqUHGDQVO$546 : NKP
7KpRUqPHG$PSqUHGDQVO$546 ODFLUFXODWLRQGXFKDPSPDJQpWLTXHOHORQJGXQ FRQWRXUIHUPp
orienté est égale au produit de µ 0 par la somme des intensités algébriques des courants enlacés par le
&
contour C :  B.dl = µ 0 I
C
Champ à rotationnel nul HQWRXWSRLQWGHOHVSDFH : courbe c)
Pour un champ magnétique : courbe a) et courbe d)
I.A.3. Plan de symétrie 3 : plan de symétrie géométrique de la distribution et SymB3C(&) = &
3ODQGDQWLV\PpWULH 3 : plan de symétrie géométrique de la distribution et Sym B3C(&) = - &
,&(M) est un pseudovecteur : il appartient aux plans de symétrie de la distribution contenant M et il est
$
perpendiculaire aux plans de symétrie de la distribution contenant M.
,&) = $
,& et SymB3C($
,&) = - $
,&
SymB3C($
,& :/; est donc perpendiculaire à ce plan donc
Le miroir est un plan de symétrie pour la distribution. $
SRUWpSDUOD[H du solénoïde. Son sens est lié au sens du courant dans les spires.
,n
,&:y;
,,&)
Sym (n
I.A.4. a) Le solénoïde peut être considéré comme infini si l >> R.
,& est un pseudovecteur donc il est perpendiculaire au plan
b) On se place en coordonnées cylindriques. $
,&
de symétrie (M,Q
,,,,&·
QF donc $ :/; L $:N· ‡· V; Q
,,,,&.
 ,,,,&)
Ì
Bz ne dépend pas de z par invariance de la distribution lors de la translation de M le ORQJGHOD[H
,& :/; L $:N; Q
,,,,&.
(solénoïde infini), ni de T pas symétrie cylindrique donc $
Ì
c) On choisit un rectangle orienté de longueur h :
I
QÂ
,,,,&
r2
r1
M
QÌ
,,,,&
,,,& = (B(r1) ± B(r2) )h
,& @H
Ôº $
(QXWLOLVDQWOHWKpRUqPHG$PSqUH :
Pour r1 < r2 < R : ÿ·fl‘÷±Ê + ß = 0 donc B(r1) = B(r2) = Bint FKDPSXQLIRUPHjOLQWpULHXU
On a Bint = µ 0 (N/l) I
d) Application numérique : B = 1,26 mT
Les champs magnétiques créés par des courants sont toujours IDLEOHVFGH ORUGUHGXPLOOLWHVOD
Le nombre de spires est de 1 spire par mm : le fil de cuivre est déjà fin pour faire passer 1A.
Il semble donc diffiFLOHGobtenir un champ plus intense avec la même configuration.
Il faut superposer plusieurs couches de spires.
,%/HIIHW+DOO
,%DC/DIRUFHTXLVH[HUFHVXUOHSRUWHXUHVWODIRUFHGH /RUHQW] :
,,,,&
,& = q (-v Q
,&Î ) Ë $Q
,&Ì = qv Q
,&Ï car q < 0
(‡ L MR& Ë $
,&Ï
Les porteurs de charge négative sont donc déviés selon±Q
y
I
R&
x
+ + + + + + + + +
C
,&
V$
VH
,,,,&
(‡
',& H
A - - - - - - - - -
b) Régime transitoire : soumis à la force de Lorentz , les électrons se déplacent : il apparaît alors des
charges surfaciques qui créent un champ électrique EH appelé champ de Hall qui agit sur les électrons
de conduction FHVWOHIIHW+DOO
C&
Il apparaît entre les points A et C une différence de potentiel : VH V A  VC  E H .dl
A
Si les porteurs sont de charge négative, il y a accumulation de charges négatives sur la face A : VH < 0.
,& = q(v Q
,&Î ) Ë $Q
,&Ì = - qvQ
,&Ï
Si les porteurs sont de charge positive, la force de Lorentz est (& L MR& Ë $
Il y a alors accumulation de charges positives sur la face contenant A donc VH >0 : le signe de VH
dépend du signe de q.
I.B.2 Régime permanent : la force créée par le champ de Hall et la force de Lorentz magnétique doivent
&
&
& &
& &
se compenser : (e)E H E (e)v ö B 0 donc EH v ö B
&
&
I.B.3 Relation : j H nqv
,&) / nq = RH ($
,& Ë &) = RH j B ,,,,&
',&¡ L F: &¡ Ë $
QÏ avec RH = 1/nq
º
,,,& L RH M%DGRVH = RH I B/ b ( j = I/ab)
VH = Ï ',&¡ ‰ @H
RH = 1/ nq du même signe que q.
I.B.4 Application numérique
On a n = UNa /M = 8,4 1028 m-3 ; RH = 1/nq = - 7,45 10-11 m3C-1
VH = RH I B /b = - 7,45 10-8 V .
Cette tension est trop faible pour être mesurable.
La valeur de I est réaliste mais celle de B semble un peu élevée.
Le signe des porteurs de charge peut être déterminé par le signe de VH qui est le même que celui des
porteurs.
I.B.5 Le nombre de porteurs / m3, n, est beaucoup plus faible dans les semi-conducteurs donc la tension
est plus élevée.
B = b VH/ RHI = n q b VH / I = 0,345 T
/DPHVXUHGXQHWHQVLRQSHUPHWGRQFGHGpWHUPLQHUODYDOHXUGH %FFHTXLHVWXWLOLVpGDQVOHVWHVODPqWUHV
à sonde de Hall.
,%/H QRPEUHGHSRUWHXUVGXQVHPL-conducteur augmente avec la température donc |RH| doit
diminuer avec T.
Autres lois : ? ( facteur de Boltzmann hors prog TSI ?
Ln(RH(T)/A) = T7GRG5H/RH = - T dT/T2 GR'RH/RH = 22% : variation importante
Qualités des capteurs : mesure de champ magnétique ?
Défauts : sensible à la température ?
__________________________________________________________________________________
II.
5pDOLVDWLRQGXQ ZDWWPqWUHjHIIHW+DOO
,,$(WXGHGHODSSDUHLO
II.A.1 Le solénoïde est considéré comme infiniment long donc B0 = - µ 0 n iC
,,$'DSUqVOHVFDOFXOVSUpFpGHQWVF9H = - RH iH µ 0 n iC /b
II.A.3 a) En passant en complexe : Ic = I0 ejM = U0 / Z = U0 / (R + jLZ)
GRM = - arctan(LZ/R) = - 81°
b) puissance instantanée P(t) = uc(t) ic(t) = UoIocos(Zt) cos(Zt+M)
puissance moyenne
Pmoy = <P(t)> = (U0I0/2) cos M = U02 R/ (2 (R2+L²Z2)) = 24,7 W
II.A.4 On a iH = uc BUE 5C/LQWHQVLWpTXLWUDYHUVHOHFLUFXLW5F/HVWSUDWLTXHPHQWL C car iH<< iC.
/DWHQVLRQGH+DOOB ILJXUHCHVWGRQFBGDSUqVOD TXHVWLRQ,,$C :
vH = = - RH iH µ 0 n iC /b = k uc ic avec k = -RH µ 0 n / (EBUE5C) = v ( ?)
vH est donc proportionnelle à la puissance instantanée consommée par le dipôle R,L.
II.A.5 a) v = k uc ic = k U0 cos(Zt) 
5 +º· Öëï:JÒP E Ó· ;
= kU0 
Öëï:ÒP;
Öëï:JÒP
E Ó· ;
+
5 º·
:Öëï:J
= (kU0/2) 
+
E
s;
ÒP
E Ó· ; E Öëï:J F s; ÒP E Ó· ;
5 º·
b) <VH> =( k U0/2) IC1 cos (MC seul le fondamental n =1 a une valeur moyenne non nulle
c) v est la somme de la valeur moyenne et de fonctions sinusoïdales de pulsation ZFZF
Pour ne garder que la valeur moyenne, il faut utiliser un filtre passe-bas dont la pulsation de coupure
sera très petite devant Z.
II.B Etude du filtre
,,%/DPSOLILFDWHXURSpUDWLRQQHOHVWLGpDOHWHQUpJLPHOLQpDLUHGRQF9 + = V- = VB = 0
Théorème de Millmann en A : VA = (V1/R + V2/R)/(3/R+ jC2 Z)
Théorème de Millman en B : VB = 0 = (VA/R + jC1 Z V2)/(1/R + jC1 ZC
?5
'R
H(jZ) =
II.B.2
H0 = -1 ; H/Z = 3RC1 ; Z = 1/R•%5 %6
:5> 7hVG5© ? V6G5G6©~;
II.B.3 C1 = 2 H/(3ZR) = 0,16 µF ; C2 = 1/(ZR2C1) = 0,72 µF
II.B.4 Quand Ò \ r, H N Fs donc GdB = 20 log |H| = 0 et M S
Quand Ò \ ª, H N 1/ (R2C1C2 ZC Z Z donc GdB = - 40 log (ZZCet M 
'ROHGLDJUDPPHDV\PSWRWLTXH :
GdB
M
log (ZC
log(ZC
S
Pente -40 dB/dec
log (ZClog(Z)
II.B.5 Le filtre étudié est un passe-bas du second ordre qui peut donc convenir pour déterminer <VH>.
__________________________________________________________________________________
III.
Tube métallique dans un solénoïde
III.A.1 2QVXSSRVHTXLO \DQ = (N/l) spires /m. En prenant i = iL ( !), on obtient ,,,,&
$4 L J4 J E :P; Q
,&Ì
III.A.2 Le flux propre à travers une spire est B0S donc (nl) B0S = L iL GR Lo = µ 0 n2 l S = µ 0N2S / l
,& ÚP .
III.B 1 Dans le conducteur, il apparait un champ électrique induit ,,,,,&
'‡ tel que ,,,,,,,&
NKP ',&‡ L FÚ$
,,,,,&
,&
'‡ HVWXQYHFWHXUTXL HVWSHUSHQGLFXODLUHDXSODQGDQWLV\PpWULHGHODGLVWULEXWLRQB0FQ
,,,,&·
,,,,&)
 Q
Ì ( car $
,& si il appartient au plan) donc ,,,,,&
changé en -$
'‡ = Em ,,,,&
QF
,,,,,&
La ORLG2KPORFDOHGRQQH & L Í '
‡ : les lignes de courant induit sRQWGRQFGHVFHUFOHVGD[H]]
,,,,&
analogues à des spires : le champ $5 FUppSDUFHVFRXUDQWVLQGXLWVHVWGRQFSRUWpSDU]]
,,,%DC(QIDLVDQWODQDORJLHDYHFXQVROpQRwGHLQILQLPHQWORng avec NI = j bl : B1int = µ 0 j b et B1ext =0
b) On a dans le conducteur & L Í ',& BORLG2KPORFDOHC
,& ÚP
,,,,,,& ',& L FÚ$
III.C.1 Equation de Maxwell Faraday : NKP
III.C.2 Forme intégrale (= loi de Faraday) : soit le cercle (confondu avec la section du tube métallique)
GD[H2]FGHUD\RQD : Ô
',& ‰ ,,,&
@H L F@ :ˆ4 E ˆ5 ;@P
÷ÿÂ÷flÿ
GRE 2Sa = j2Sa/V = - Sa2 (dB0/dt + dB1/dt)
En complexe : J (2Sa/V) = B1(2Sa/µ 0Vb) = - Sa2 (iZ)(B0 + B1)
'RB1 = B0
? †_~ :g©;
.òW
> †_~ :g©;
îe öX
= B0
5
._
?5
îe öXW°
III.C.3 Flux du champ total à travers le solénoïde : ) = N(B0 +B1) Sa2 +N B0 BS - Sa2) = NB0S + NB1Sa2
Ü0
Fem induite complexe : e = - Üñ
e = - (iZ)N B0 ( S + Sa2
( loi de Faraday)
III.D LRLG2KPJpQpUDOLVpH aux bornes du solénoïde :
U = Z I = R0 I - e = R0 + i L0 Z + iZN µ0 n Sa2
Z = R0 + i L0 Z Ei Z L0
Z = R0 + 2 L0
†_~
?5
Ã
?
5
Ãú, ¢`_
.
:
;~>5
îe öXW°
On trouve R(Z) = R0 + 2 L0
L(Z) = L0 ( 1 -
+ iZ L0 ( 1 -
†_~
)
5
._
?5
îe öXW°
._
>5
îe öXW°
†_~
5
._
?5
îe öXW°
5
†_~
5
Ã
.
:
;~>5
îe öXW°
;
.
;~>5
îe öXW°
Ãú, ¢`_ :
†_~
5
Ã
.
:
;~>5
îe öXW°
;
III.E Détection synchrone
,,,(DC/HIRQFWLRQQHPHQWGHOAO est linéaire car il y a bouclage HQWUH ODVRUWLHHWOHQWUpH©-».
On a donc V+ = V- = 0 . Par le théorème de Millmann, on en déduit Us = - Z Ue/R .
(QVXSSRVDQWTXHODWHQVLRQGHQWUpHHVWXi (´) en complexe : u = Z ui / R
b) A la sortie du multiplieur, on a :
v(t) = k ui(t) u(t) = k Z Im Uim cos(Zt) cos(Zt + \) = (kZImUim/2) (cos \ + cos (2Zt + \CC
Si le filtre passe-bas a une pulsation de coupure << 2Z, le voltmètre donne la valeur continue de v(t) soit
V0 = (kZImUim/2) (cos \COr cos \ = Re (Z) /Z : V0 = kImUim Re (Z) /2
La tension mesurée par le voltmètre est donc bien proportionnelle à la partie réelle de Z.
,,,(DC/DPSOLILFDWHXUHVWLGpDOHWVXSSRVpHQUpJLPHOLQpDLUH : V+ = VThéorème de Millmann : V+ = Ue / (1+ jRCZ) et V- = (Ue + Vs)/2
'RH(jZ) = Vs/Ue =
5?hVG©
5> hVG©
|H| =1 et M= - 2arctan(RCZ) LOVDJLWELHQGXQFLUFXLWGpSKDVHXU
b) M S donc RCZ = 1
III.E.3 a) A la sortie du multiplieur, on a maintenant :
v(t) = k Z Im Uim cos(Zt - S) cos(Zt + \) = ½. k Z Im Uim (cos (\ES)+ cos(2Zt + \S)
Le voltmètre donne la valeur continue soit V0 = - ½. k Z Im Uim sin \
Or sin\ = Im(Z)/Z :V0 - ½ k Im Uim Im(Z)
La tension mesurée par le voltmètre est donc bien proportionnelle à la partie imaginaire de Z.
b)
i) On a R(Z) > R0
ii) On a L(Z) < L0
ii) Le courant qui circule dans le tube est un courant induit, un courant de Foucault
LYC6LODVXUIDFHGXWXEHHVWUD\pHFOHVOLJQHVGHFRXUDQWQHSHXYHQWSOXVVpWDEOLU : le phénomène
dLQGXFWLRQVHUDIRUWHPHQWDWWpQXp