Partie 4

4 D´eriv´ee de fonctions transcendantes
4.1 Fonctions trigonom´etriques
Q.4.1
´
Evaluer les expressions suivantes
4
3
θ
a) sin θ
b) cos θ
c) tan θ
d) sec θ
e) csc θ
f) cot θ
Q.4.2
´
Evaluer, sans calculatrice.
a) sin 8π
3
b) cos −5π
2
c) tan 3π
4
d) cot −11π
6
e) sec 4π
3
f) csc −π
4
g) sin π
3+π 4
h) cos π
12
Q.4.3
`
A l’aide des identit´es trigonom´etriques pour sin(α+β) et
cos(α+β) trouver les identit´es pour
a) sin(α−β)
b) cos(α−β)
c) sin(2θ)
d) cos(2θ)
Q.4.4
D´emontrer les identit´es trigonom´etriques suivantes.
a) sin2θ=1−cos 2θ
2
b) cos2θ=1 + cos 2θ
2
c) sin 3θ= 3 sin θ−4 sin3θ
d) cos4θ−sin4θ= cos 2θ
e) tan θ
2=sin θ 1 + cos θ
Q.4.5
Soit les fonctions suivante :
f(x) = sin x;g(x) = x2+ 3x et h(x) = 1
1−x2
´
Ecrire les
compositions suivante et simplifier si possible.
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) h(f(x))
4.2 D´eriv´ee de fonctions trigonom´etriques
Q.4.6
Trouver (sin u)0 et (cos u)0 si la variable u donne l’angle en
degr´e.
Q.4.7
D´emontrer que (cos x)0=−sin x.
a) En utilisant l’identit´e cos x=p1−sin2x.
b) En utilisant les identit´es :
sin x= cos π
2−xet cos x= sin π 2−x
Q.4.8
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y=x3sin x
b) y= cos 3x−3 cos x
c) y= sec2x
d) y= cot 3xcsc 3x
e) y= tan x2
x+ 1
f) y=1 + csc x2
1−cot x2
g) y= cos tan x2
h) y= cot x−1
x−4
Q.4.9
Trouver dy
dx.
a) xsin x+ycos y= 0 b) sin4xy +xy = 0
Q.4.10
´
Etudier la croissance et la concavit´e des fonctions suivantes
et tracer leur graphique.
a) f(x) = x
2+ sin x, o`u x∈[0,2π]
b) f(x) = sin x+ cos x, o`u x∈[0,2π]
Q.4.11
On lance un projectile avec un canon selon une vitesse initiale
de v0 m/s. Si on n´eglige la r´esistance de l’air, la port´ee (la
distance horizontale parcourue par le projectile) est donn´ee
par la fonction
R(θ) = v2
0sin 2θ
g
o`u g= 9,8 m/s
2
et θ est l’angle d’inclinaison du canon. Se-
lon quel angle doit-on placer le canon pour avoir une port´ee
maximale ?
Q.4.12
Les cˆot´es congrus d’un triangle isoc`ele mesurent 5 cm. Trou-
ver l’angle θ entre ces deux cˆot´es qui maximise l’aire du
triangle.
1

Q.4.13
On fabrique une auge `a partir d’une feuille de m´etal de 120
cm de largeur. De chaque cˆot´e, on replie une bande de 40 cm
selon un angle θ . Quel doit ˆetre cet angle pour que l’auge
puisse contenir un volume maximal ?
4.3 Fonctions trigonom´etriques inverses
Q.4.14
Sans calculatrice, ´evaluer les nombres suivants en radians.
a) arcsin 1
2
b) arccos −1
2
c) arctan (−1)
d) arcsec 2
e) arccot √3
f) arcsin (sin 5)
g) tan (arctan 3)
h) lim
x→∞ arctan x
Q.4.15
R´esoudre les ´equation suivantes.
a) sin x= cos xb) 2 sin x2−1=√2
Q.4.16
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y= arcsin x3−3x
b) y= (x−arctan 2x)5
c) y= arccsc x2
d) y=xarccos 2x
e) y= arcsin √x
f) y=2
arccot x
Q.4.17
Trouver dy
dx.
a) arctan y
x=y2b) arccos y= arcsin x
Q.4.18
Trouver les valeurs de xpour lesquelles la fonction f(x) =
arcsin 3x admet une droite tangente perpendiculaire `a la
droite y= 3 −x/5.
Q.4.19
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y=xarctan x
b) y= arccos 2x
1−x2
c) y= arcsec x2+ 1
Q.4.20
`
A quelle distance de la ligne des buts un ailier gauche de
hockey sur table doit-il lancer pour maximiser ses chances de
marquer si le but mesure 5 cm de largeur et que le joueur est
restreint `a un rail situ´e `a 8 cm du poteau le plus pr`es ? On
suppose que le joueur maximise ses chances de marquer si
l’angle d’ouverture vers le but est maximal.
4.4 Fonctions exponentielles et logarith-
miques
Q.4.21
´
Evaluer, sans calculatrice, les nombres suivants sachant que
log32≈0,63.
a) log10 1000
b) log100 10
c) log3
1
9
d) log354
Q.4.22
R´esoudre les ´equations suivantes.
a) log2x= 5
b) 3x= 100
c) 5 ·3x= 2x+1
d) 2 log4x−log4x−1=1
Q.4.23
Soit les fonctions suivante :
f(x) = ex;g(x)=3x2+x+ 1; h(x)=4xet k(x) = log2x
´
Ecrire et simplifier les compositions suivantes
a) f(g(x))
b) g(f(x))
c) h(g(x))
d) k(f(x))
e) h(k(x))
2

4.5 D´eriv´ee de fonction exp. et log.
Q.4.24
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y= 3x+ 3−x+x3+ 3x
b) y= 82x+x2
c) y=x3
ex
d) y=x·8x
Q.4.25
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y= log5x3+ 1
b) y=ln x
x
c) y=x4ln5x
d) y=plog3x
Q.4.26
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y=esin 3x
b) y= cos e−x
c) y= sin3x+ 3sin x
d) y= ln (sec x+ tan x)
e) y=ex3sec22x
f) y=etan x−sin xcos x
g) y= arccot e3 sec x
h) y=arcsin x2
ln x
Q.4.27
Trouver dy
dx.
a) ex+y=y2+ 1
b) xln y−3xy2= 0
c) earctan y= sin (ln x)
d) sec y3+y2= 3x4
e) xtan (ey) + ln y= 3
Q.4.28
Soit la fonction f(x) = e−x2
a) Faire l’´etude compl`ete de croissance, concavit´e et asymp-
totes de cette fonction puis tracer son graphique.
b) Trouver les dimensions du rectangle d’aire maximale que
l’on peut inscrire entre l’axe des xet la courbe de f.
Q.4.29
Soit f(x) = x
k
−k
x
, o`u kest une constante positive. Trouver
la valeur de kpour laquelle f0(1) = 0.
Q.4.30
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y=e√x+√ex
b) y=ex2
x−5
c) y= 235x
d) y= ln xlog x
e) y=ln x4
x4
f) y=x+ ln2x5
4.6 Applications
Q.4.31
Soit la fonction f(x) = x+ ln x2+ 1
a) Montrer que fest toujours croissante.
b) ´ Etudier sa concavit´e et donner ses points d’inflexion.
Q.4.32
Trouver les extremums absolus des fonctions donn´ees sur
l’intervalle [0,2π].
a) f(x) = cos22xb) f(x) = 5 sin x+ 12 cos x
Q.4.33
Un virus se propage de telle sorte que le nombre de personnes
atteintes du virus tsemaines apr`es son apparition est donn´e
par N(t) = 5000
2+8e−3t
4
.
a) Initialement, combien de personnes sont porteuses du
virus ?
b) Combien de personnes seront atteintes 4 semaines apr`es
son apparition ?
c) Dans combien comptera-t-on 1300 victimes ?
d)
`
A long terme, combien de personnes contracteront ce
virus ?
e) Quel est le taux de propagation du virus apr`es 2 semaines ?
f) Quel est ce taux `a long terme ?
g)
`
A quel moment le virus se propage-t-il le plus rapidement ?
Q.4.34
Trouver l’´equation de la droite tangente `a la courbe de
f(x) = ln (sin x) au point π
4, f(π 4).
Q.4.35
Un cam´eraman est post´e `a 5 m d’une route rectiligne et
doit filmer une voiture qui passera sur cette route `a vitesse
constante de 10 m/s. ` A quelle vitesse angulaire (en rad/s) la
cam´era doit-elle pivoter exactement une seconde apr`es que
la voiture soit pass´ee devant elle ?
Q.4.36
Une ´etune men´ee aupr`es d’athl`etes olympiques r´ev`ele que la
capacit´e pulmonaire de ces derniers ob´eit `a la fonction
C(x) = 0,8 ln x−1,8
0,009x
3

o`u xest l’ˆage de l’athl`ete. ` A que ˆage un athl`ete a-t-il une
capacit´e pulmonaire maximale ?
Q.4.37
`
A l’aide du test de la d´eriv´ee seconde, trouver les extremums
relatifs de f(x) = arctan x+x2
2−x.
Q.4.38
Soit f(x) =
√x−4
et la droite Djoignant l’origine et un
point quelconque sur la courbe de f. Quelle valeur de x
minimise l’angle entre la droite Det l’axe des x?
Q.4.39
On doit suspendre une lampe au dessus du centre d’une table
carr´ee de 2 m par 2 m. L’intensit´e de la lumi`ere `a un point P
de la table est directement proportionnel au sinus de l’angle
que forme le rayon lumineux avec la table, et inversement
proportionnel `a la distance entre Pet la lampe. ` A quelle
hauteur la lampe doit-elle ˆetre suspendue pour que l’intensit´e
lumineuse soit maximale aux quatre coins de la table ?
Q.4.40
Trouver les extremums relatifs des fonctions suivantes.
a) y= ln22x2−x. b) y= sin2x+ 2 cos x.
Q.4.41
Quelle est la longueur maximale du tuyau de diam`etre n´egli-
geable qui peut tourner le coin de ce corridor si on n´eglige la
hauteur du corridor ?
4.7 Exercices r´ecapitulatifs
Q.4.42
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a) y= log3√x
b) y=qln √x
c) y= 4s1
3x
d) y= (ex+ 2x)5
e) y=ex
ex−x
f) y= tan2ex3
g) y= log (cos 3x−cos32x)
h) y= sin (2x+ cos x)
i) y= ln csc 3x4−2ex
j) y= cot √x+√sec x2
k) y=x2
tan 3
√x
l) y=psec (sin x2)
m) y= ln (arctan ex)
n) y= arccot 1
x
o) y= arcsin ln x
x
Q.4.43
Vous avez remarqu´e au num´ero (38 n) que
arccot 1
x0
=
(arctan x)0 . Montrer, `a l’aide d’un triangle rectangle, que
arccot 1
x= arctan x.
Q.4.44
Trouver dy
dx.
a) exln y=ytan x
b) cos x2y2= ln x
c) arcsin ey=x√y
Q.4.45
Soit la fonction
f(x) = 
ex−x+ksi x < 0
−x3si 0 ≤x < 1
ln x
xsi x≥1
a) Quelle doit ˆetre la valeur de kpour que fsoit continue
en x= 0 ?
b) Pour cette valeur de k,fest-elle d´erivable en x= 0 ?
c) fest-elle continue en x= 1 ?
d) fest-elle d´erivable en x= 1 ?
Q.4.46
Utiliser les propri´et´es des logarithmes pour d´eriver
f(x) = ln sin52xsec43x
√x2+ 5
Q.4.47
Utiliser la d´eriv´ee logarithmique pour d´eriver les fonctions
suivantes.
a) y=xsin xb) y= (sin x)arctan x
Q.4.48
Soit f(x)=3e
4x
. Trouver une expression pour f
(n)
(x) (la
ned´eriv´ee de f).
4

Q.4.49
Faire l’´etude compl`ete de la fonction f(x) = xe
x
et tracer
son graphique.
Q.4.50
On veut atteindre un mur fragile en appuyant une ´echelle
sur un muret de 2 m de haut situ´e `a 1 m du mur. D´eterminer
l’angle θqui minimise la longueur de l’´echelle `a utiliser.
Q.4.51
On veut placer une cam´era de surveillance sur le mur de 10
m`etres. ` A quel endroit doit-on la placer pour maximiser son
champ de vision ?
5