Partie 4

4
Dérivée de fonctions transcendantes
4.1
Fonctions trigonométriques
4.2
Dérivée de fonctions trigonométriques
Q.4.6
Q.4.1
0
0
Trouver (sin u) et (cos u) si la variable u donne l’angle en
degré.
Évaluer les expressions suivantes
3
Q.4.7
0
Démontrer que (cos x) = − sin x.
p
a) En utilisant l’identité cos x = 1 − sin2 x.
θ
4
a) sin θ
c) tan θ
e) csc θ
b) cos θ
d) sec θ
f) cot θ
b) En utilisant les identités
:
π
π
sin x = cos
− x et cos x = sin
−x
2
2
Q.4.8
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
Q.4.2
Évaluer, sans calculatrice.
a) sin
8π
3
b) cos −
c) tan
5π
2
3π
4
11π
d) cot −
6
4π
e) sec
3 π f) csc −
4
g) sin
π
3
π
h) cos
12
+
= x3 sin x
= cos 3x − 3 cos x
= sec2 x
= cot 3x csc 3x
2 x
e) y = tan
x+1
a)
b)
c)
d)
π
4
y
y
y
y
f) y =
1 + csc x2
1 − cot x2
g) y = cos tan x2
h) y = cot
x−1
x−4
Q.4.9
Q.4.3
Trouver
dy
.
dx
À l’aide des identités trigonométriques pour sin(α + β) et
a) x sin x + y cos y = 0
cos(α + β) trouver les identités pour
b) sin4 xy + xy = 0
a) sin(α − β)
c) sin(2θ)
Q.4.10
b) cos(α − β)
d) cos(2θ)
Étudier la croissance et la concavité des fonctions suivantes
et tracer leur graphique.
x
a) f (x) = + sin x, où x ∈ [0, 2π]
2
b) f (x) = sin x + cos x, où x ∈ [0, 2π]
Q.4.4
Démontrer les identités trigonométriques suivantes.
a) sin2 θ =
b) cos2 θ =
1 − cos 2θ
2
1 + cos 2θ
2
Q.4.11
c) sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ
On lance un projectile avec un canon selon une vitesse initiale
de v0 m/s. Si on néglige la résistance de l’air, la portée (la
distance horizontale parcourue par le projectile) est donnée
par la fonction
v02 sin 2θ
R(θ) =
g
d) cos4 θ − sin4 θ = cos 2θ
θ
sin θ
e) tan =
2
1 + cos θ
Q.4.5
où g = 9,8 m/s2 et θ est l’angle d’inclinaison du canon. Selon quel angle doit-on placer le canon pour avoir une portée
1
Écrire les maximale ?
2
1−x
compositions suivante et simplifier si possible.
Soit les fonctions suivante :
f (x) = sin x; g(x) = x2 + 3x et h(x) =
Q.4.12
a) f (g(x))
b) g(f (x))
Les côtés congrus d’un triangle isocèle mesurent 5 cm. Trouver l’angle θ entre ces deux côtés qui maximise l’aire du
triangle.
c) h(f (x))
1
Q.4.13
a) y = x arctan x
On fabrique une auge à partir d’une feuille de métal de 120
2x
b) y = arccos
cm de largeur. De chaque côté, on replie une bande de 40 cm
1 − x2
selon un angle θ. Quel doit être cet angle pour que l’auge
puisse contenir un volume maximal ?
c) y = arcsec x2 + 1
Q.4.20
À quelle distance de la ligne des buts un ailier gauche de
hockey sur table doit-il lancer pour maximiser ses chances de
marquer si le but mesure 5 cm de largeur et que le joueur est
restreint à un rail situé à 8 cm du poteau le plus près ? On
suppose que le joueur maximise ses chances de marquer si
l’angle d’ouverture vers le but est maximal.
4.3
Fonctions trigonométriques inverses
Q.4.14
Sans calculatrice, évaluer les nombres suivants en radians.
a) arcsin
1
2
b) arccos −
1
2
c) arctan (−1)
f) arcsin (sin 5)
d) arcsec 2
√
e) arccot 3
h) lim arctan x
g) tan (arctan 3)
4.4
x→∞
Q.4.15
Q.4.21
Résoudre les équation suivantes.
Évaluer, sans calculatrice, les nombres suivants sachant que
log3 2 ≈ 0,63.
√
b) 2 sin x − 1 = 2
2
a) sin x = cos x
a) log10 1000
Q.4.16
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) y = arcsin x3 − 3x
5
b) y = (x − arctan 2x)
c) y = arccsc x2
b) log100 10
d) y = x arccos 2x
√
e) y = arcsin x
2
f) y =
arccot x
1
9
d) log3 54
c) log3
Q.4.22
Résoudre les équations suivantes.
Q.4.17
dy
Trouver
.
dx
y
a) arctan = y 2
x
Fonctions exponentielles et logarithmiques
b) arccos y = arcsin x
a) log2 x = 5
c) 5 · 3x = 2x+1
b) 3x = 100
d) 2 log4 x − log4 x − 1 = 1
Q.4.23
Soit les fonctions suivante :
f (x) = ex ; g(x) = 3x2 + x + 1; h(x) = 4x et k(x) = log2 x
Écrire et simplifier les compositions suivantes
Q.4.18
Trouver les valeurs de x pour lesquelles la fonction f (x) =
arcsin 3x admet une droite tangente perpendiculaire à la
droite y = 3 − x/5.
a) f (g(x))
b) g(f (x))
Q.4.19
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
2
c) h(g(x))
d) k(f (x))
e) h(k(x))
4.5
Dérivée de fonction exp. et log.
4.6
Q.4.24
Applications
Q.4.31
Soit la fonction f (x) = x + ln x2 + 1
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
a) Montrer que f est toujours croissante.
x3
ex
d) y = x · 8x
a) y = 3x + 3−x + x3 + 3x
c) y =
2x +x2
b) y = 8
b) Étudier sa concavité et donner ses points d’inflexion.
Q.4.32
Trouver les extremums absolus des fonctions données sur
l’intervalle [0, 2π].
Q.4.25
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
3
a) y = log5 x + 1
ln x
b) y =
x
4
a) f (x) = cos2 2x
5
c) y = x ln x
p
d) y = log3 x
Q.4.33
Un virus se propage de telle sorte que le nombre de personnes
atteintes du virus t semaines après son apparition est donné
5000
par N (t) =
3t .
2 + 8e− 4
a) Initialement, combien de personnes sont porteuses du
virus ?
Q.4.26
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
3
a) y = esin 3x
e) y = ex sec2 2x
b) y = cos e−x
f) y = etan x − sin x cos x
g) y = arccot e3 sec x
c) y = sin3 x + 3sin x
h) y =
d) y = ln (sec x + tan x)
b) Combien de personnes seront atteintes 4 semaines après
son apparition ?
arcsin x2
ln x
c) Dans combien comptera-t-on 1300 victimes ?
d) À long terme, combien de personnes contracteront ce
virus ?
Q.4.27
e) Quel est le taux de propagation du virus après 2 semaines ?
dy
.
Trouver
dx
f) Quel est ce taux à long terme ?
a) ex+y = y 2 + 1
b) x ln y − 3xy 2 = 0
c) earctan y = sin (ln x)
g) À quel moment le virus se propage-t-il le plus rapidement ?
d) sec y 3 + y 2 = 3x4
Q.4.34
e) x tan (ey ) + ln y = 3
Trouver l’équation de la droite tangente
à la courbe de
π
π f (x) = ln (sin x) au point
, f( ) .
4
4
Q.4.28
Soit la fonction f (x) = e−x
b) f (x) = 5 sin x + 12 cos x
2
Q.4.35
a) Faire l’étude complète de croissance, concavité et asymp- Un caméraman est posté à 5 m d’une route rectiligne et
doit filmer une voiture qui passera sur cette route à vitesse
totes de cette fonction puis tracer son graphique.
b) Trouver les dimensions du rectangle d’aire maximale que constante de 10 m/s. À quelle vitesse angulaire (en rad/s) la
caméra doit-elle pivoter exactement une seconde après que
l’on peut inscrire entre l’axe des x et la courbe de f .
la voiture soit passée devant elle ?
Q.4.29
Soit f (x) = xk − k x , où k est une constante positive. Trouver
la valeur de k pour laquelle f 0 (1) = 0.
Q.4.30
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
√
√
a) y = e x + ex
d) y = ln x log x
b) y = e
x2
x−5
5x
c) y = 23
e) y =
ln x
x4
Q.4.36
Une étune menée auprès d’athlètes olympiques révèle que la
capacité pulmonaire de ces derniers obéit à la fonction
4
f) y = x + ln2 x
5
C(x) =
3
0,8 ln x − 1,8
0,009x
√
où x est l’âge de l’athlète. À que âge un athlète a-t-il une a) y = log3 x
i) y = ln csc 3x4 − 2ex
q
√
√
capacité pulmonaire maximale ?
√
b) y = ln x
j) y = cot x + sec x2
s x
Q.4.37
x2
1
√
k)
y
=
À l’aide du test de la dérivée seconde, trouver les extremums c) y = 4
tan 3 x
3
2
x
p
5
relatifs de f (x) = arctan x +
− x.
l) y = sec (sin x2 )
d) y = (ex + 2x )
2
ex
m) y = ln (arctan ex )
e) y = x
Q.4.38
e −x
√
1
Soit f (x) = x − 4 et la droite D joignant l’origine et un f) y = tan2 ex3
n) y = arccot
x
point quelconque sur la courbe de f . Quelle valeur de x
g) y = log (cos 3x − cos3 2x)
minimise l’angle entre la droite D et l’axe des x ?
ln x
o) y = arcsin
h) y = sin (2x + cos x)
x
Q.4.39
On doit suspendre une lampe au dessus du centre d’une table Q.4.43
0
carrée de 2 m par 2 m. L’intensité de la lumière à un point P
1
de la table est directement proportionnel au sinus de l’angle Vous avez remarqué au numéro (38 n) que arccot x =
que forme le rayon lumineux avec la table, et inversement
0
(arctan x) . Montrer, à l’aide d’un triangle rectangle, que
proportionnel à la distance entre P et la lampe. À quelle
1
hauteur la lampe doit-elle être suspendue pour que l’intensité arccot x = arctan x.
lumineuse soit maximale aux quatre coins de la table ?
Q.4.44
dy
.
dx
a) ex ln y = y tan x
b) cos x2 y 2 = ln x
Trouver
√
c) arcsin ey = x y
Q.4.45
Soit la fonction
 x
e −x+k
si x < 0



Q.4.40
−x3
si 0 ≤ x < 1
f (x) =
Trouver les extremums relatifs des fonctions suivantes.

ln
x


si x ≥ 1
x
2
2
2
a) y = ln 2x − x .
b) y = sin x + 2 cos x.
a) Quelle doit être la valeur de k pour que f soit continue
en x = 0 ?
b) Pour cette valeur de k, f est-elle dérivable en x = 0 ?
Q.4.41
Quelle est la longueur maximale du tuyau de diamètre négli- c) f est-elle continue en x = 1 ?
geable qui peut tourner le coin de ce corridor si on néglige la d) f est-elle dérivable en x = 1 ?
hauteur du corridor ?
Q.4.46
Utiliser les propriétés des logarithmes pour dériver
f (x) = ln
sin5 2x sec4 3x
√
x2 + 5
Q.4.47
Utiliser la dérivée logarithmique pour dériver les fonctions
suivantes.
a) y = xsin x
4.7
b) y = (sin x)arctan x
Exercices récapitulatifs
Q.4.48
Soit f (x) = 3e4x . Trouver une expression pour f (n) (x) (la
ne dérivée de f ).
Q.4.42
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
4
Q.4.49
Faire l’étude complète de la fonction f (x) = xex et tracer
son graphique.
Q.4.50
On veut atteindre un mur fragile en appuyant une échelle
sur un muret de 2 m de haut situé à 1 m du mur. Déterminer
l’angle θ qui minimise la longueur de l’échelle à utiliser.
Q.4.51
On veut placer une caméra de surveillance sur le mur de 10
mètres. À quel endroit doit-on la placer pour maximiser son
champ de vision ?
5
Réponses aux exercices
dy
3
csc2
h)
=
dx
(x − 4)2
R.4.1
3
5
4
b)
5
3
c)
4
5
4
5
e)
3
4
f)
3
a)
d)
R.4.9
dy
a)
=
dx
dy
b)
=
dx
R.4.2
√
a)
x−1
x−4
sin x + x cos x
y sin y − cos y
−y − 4y sin3 xy cos xy
4x sin3 xy cos xy + x
R.4.10
a)
√
3
2
f) − 2
π
π
π
π
g) sin cos +cos sin =
3
4
√ 3 √ 4
2+ 6
4
√
√
2+ 6
b)
h)
4
b) 0
c) −1
√
d) 3
e) −2
R.4.3
a) sin α cos β − sin β cos α
c) 2 sin θ cos θ
b) cos α cos β + sin α sin β
d) cos2 θ − sin2 θ
R.4.4
R.4.11
θ=
π
4
R.4.12
θ=
π
2
R.4.13
θ=
π
rad
3
Laissé à l’étudiant.
R.4.5
a) f (g(x)) = sin(x2 + 3x)
b) g(f (x)) = sin2 x + 3 sin x
c) h(f (x)) = sec2 x
R.4.14
R.4.6
180
180
cos u et −
sin u.
π
π
R.4.7
Laissé à l’étudiant.
π
6
2π
b)
3
R.4.8
dy
a)
= 3x2 sin x + x3 cos x
dx
dy
b)
= 3 sin x − 3 sin 3x
dx
dy
c)
= 2 sec2 x tan x
dx
dy
= 3 csc 3x 1 − 2 csc2 3x
d)
dx
2 x2 2
x
+
2x
sec x+1
dy
e)
=
dx
(x + 1)2
2
2
−2x csc x 1 + cot x + csc x
dy
=
2
dx
(1 − cot x2 )
dy
g)
= −2x sec2 x2 sin tan x2
dx
c) −
a)
d)
π
4
π
3
e)
π
6
f) 5
R.4.15
π
a) x = + kπ, k ∈ Z
4s
b) x = ±
π
+ 1 + 2kπ, k ∈ Z
4s
ou x = ±
2
3π
+ +1 + 2kπ, k ∈ Z
4
R.4.16
3x2 − 3
dy
=q
a)
dx
2
1 − (x3 − 3x)
f)
b)
6
2
dy
4 4x − 1
= 5 (x − arctan 2x)
dx
4x2 + 1
g) 3
h)
π
2
dy
dx
dy
d)
dx
dy
e)
dx
dy
f)
dx
c)
−2
= √
x x4 − 1
= arccos 2x − √
R.4.25
dy
3x2
=
dx
ln 5(x3 + 1)
dy
1 − ln x
b)
=
dx
x2
2x
1 − 4x2
a)
1
= √
2 x − x2
2
= 2
(x + 1) arccot2 x
R.4.26
dy
a)
= 3esin 3x cos 3x
dx
dy
b)
= e−x sin e−x
dx
dy
c)
= cos x 3 sin2 x + 3sin x ln 3
dx
dy
d)
= sec x
dx
3
dy
e)
= ex sec2 2x 3x2 + 4 tan 2x
dx
dy
f)
= etan x sec2 x − cos 2x
dx
3e3 sec x sec x tan x
dy
=−
g)
dx
1 + e6 sec x
2x
dy
arcsin x2
√
=
h)
−
dx
x ln2 x
ln x 1 − x4
R.4.17
a)
dy
−y
= 2
dx
2x + 2y 3 − x
R.4.18
dy
b)
=−
dx
r
1 − y2
1 − x2
x = −4/15 et x = 4/15
R.4.19
dy
x
a)
= arctan x +
dx
1 + x2
dy
2x2 + 2
√
b)
=−
dx
(1 − x2 ) x4 − 6x2 + 1
dy
2
√
c)
=
2
dx
(x + 1) x2 + 2
R.4.20
√
À 4 26 cm.
R.4.27
dy
ex+y
=
dx
2y − ex+y
dy
y ln y − 3y 3
b)
=
dx
6xy 2 − x
1 + y 2 cos (ln x)
dy
c)
=
dx
xearctan y
a)
R.4.21
a) 3
b) 1/2
c) −2
d) 3,63
R.4.22
ln(5/2)
≈ −2,26
ln (2/3)
d) x = 16
a) x = 32
dy
12x3
= 2
dx
3y sec y 3 tan y 3 + 2y
dy
−y tan (ey )
e)
=
dx
xyey sec2 (ey ) + 1
d)
R.4.28
a)
c) x =
b) x ≈ 4,19
dy
= x3 ln4 x(4 ln x + 5)
dx
1
dy
p
=
d)
dx
2x ln 3 log3 x
c)
R.4.23
2
a) f (g(x)) = e3x +x+1
b) g(f (x)) = 3e2x + ex + 1
c) h(g(x)) = 43x
2
+x+1
d) k(f (x)) = x log2 e
b) Base de
e) h(k(x)) = x2
R.4.29
R.4.24
dy
a)
= 3x ln 3 − 3−x ln 3 + 3x2 + 3
dx
x
2
dy
= 82 +x (2x ln 2 + 2x) ln 8
b)
dx
dy
x2 (3 − x)
c)
=
dx
ex
dy
d)
= 8x (1 + x ln 8)
dx
√
1
2, hauteur de √ .
e
k=e
R.4.30
√
√
dy
2 log x
dy
e x
ex
d)
=
a)
= √ +
dx
x
dx
2
2 x
dy
4
−
16 ln x
2
2
x
dy
x − 10x
e)
=
5
= e x−5
b)
dx
x
dx
(x − 5)2
4
x
5 x + ln2 x (x + 2 ln x)
dy
dy
35 5x x
c)
= 2 3 5 ln 2 ln 3 ln 5 f)
=
dx
dx
x
R.4.31
7
s x
dy
1
c)
= −2
ln 3
dx
3
a) Laissé à l’étudiant.
b) Concave vers le haut sur [−1, 1],
concave vers le bas sur ] − ∞, − 1] et [1, ∞[,
points d’inflexion en x = −1 et x = 1.
dy
4
= 5 (ex + 2x ) (ex + 2x ln 2)
dx
ex (1 − x)
dy
R.4.32
=
e)
2
(
)
dx
(ex − x)
3π
π
3
3
a) max=1, atteint en x ∈ 0, , π,
, 2π ,
3
dy
2
2
f)
= 6x2 ex tan ex sec2 ex
(
)
dx
π 3π 5π 7π
−3 sin 3x + 6 cos2 2x sin 2x
dy
min=0, atteint en x ∈
,
,
,
=
g)
4 4 4 4
dx
ln 10 (cos 3x − cos3 2x)
dy
b) max=13 (atteint en x = arctan(5/12)),
= (2x ln 2 − sin x) cos (2x + cos x)
h)
min=-13 (atteint en x = arctan(5/12) + π)
dx
dy
= 2ex − 12x3 cot 3x4 − 2ex
i)
R.4.33
dx
√
√
csc2 x
dy
a) 500 personnes
2
2
√
j)
= x tan x sec x −
dx
2 x
b) Environ 2085 personnes
√
3
√
√
dy
x4
c) 1,96 semaines
= 2x cot 3 x −
csc2 3 x
k)
dx
3
d) lim N (t) = 2500 personnes
t→∞
p
dy
2
2
l)
=
x
cos
x
tan
sin
x
sec (sin x2 )
0
e) N (2) = 467,24 personnes/semaine
dx
dy
ex
f) lim N 0 (t) = 0 personnes (il faut mettre en évidence les
m)
=
t→∞
dx
(1 + e2x ) arctan ex
termes les plus dominants)
1
g) Il faut trouver le maximum de N 0 (t). Comme N 00 (t) < n) dy =
0
dx
1
+
x2
0 ∀x > 0, N (t) est maximale lorsque t = 0.
dy
1 − ln x
o)
= p
√
dx
x x2 − ln2 x
2 π
R.4.34 y = x + ln
−
2
4
R.4.43 Laissé à l’étudiant.
dθ dx 2
dθ
R.4.44
=
·
= rad/s
R.4.35
dt
dx dt
5
√
dy
yex ln y − y 2 sec2 x
dy
2y 1 − e2y
R.4.36 e13/4 ≈ 25,79 ans
a)
=
√
c)
=
√
dx
y tan x − ex
dx
2 yey − x 1 − e2y
1 − 2x2 y 2 cos x2 y 2
dy
R.4.37 min. relatif en (0, 0)
=
b)
dx
2x3 y 2 cos (x2 y 2 )
R.4.38 x = 8
√
R.4.45
R.4.39 h = 2 m
d)
a) k = 1
R.4.40
a) Aucun max. relatif, min. relatifs en
b) max. relatifs ! en
π
+ 2kπ, − 2 .
2
R.4.41
(2kπ, 2),
1
− ,0
2
min.
b) Oui, car f est continue et lim f 0 (x) = lim f 0 (x)
!
x→0−
et en (1, 0).
relatifs
x→0+
c) Non
en d) Non, car f n’est pas continue.
R.4.46
f 0 (x) = 10 cot 2x + 12 tan 3x −
x2
x
+5
R.4.47
dy
sin x
a)
= xsin x cos x ln x +
dx
x
dy
ln (sin x)
arctan x
b)
= (sin x)
+ cot x arctan x
dx
1 + x2
Environ 9,87 m
R.4.42
dy
1
a)
=
dx
2x ln 3
dy
1
b)
= p √
dx
4x ln x
8
R.4.48
f (n) (x) = 3 · 4n · e4x
R.4.49
√
3
2 ≈ 52◦
R.4.50
θ = arctan
R.4.51
À 5,66 m du mur de 5 m.
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