Université de Bretagne Sud

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M1 MSAD : Modèles de Durées 1
Outils de Base
Exercise 1 – Soit Xune v.a. de loi log-normale de paramètres (µ, σ2),∞< µ < +∞,σ > 0:
fX(x) = 1
√2πσx exp −(log x−µ)2
2σ2, x ∈R+.
Montrer que la moyenne et la variance de Xsont :
E(X) = eµ+σ2/2V ar(X) = (eσ2−1)(e2µ+σ2)
Exercise 2 – Soit Xune v.a. durée caractérisée par le taux de survie suivant :
h(x) = β
αβxβ−1, α, β > 0.
1. Représenter h(x),x > 0et discuter suivant les valeurs de β.
2. Donner l’expression de la fonction de survie. En déduire la densité de la loi de X.
3. Calculer les moments de X. Donner l’espérance et la variance de X.
Exercise 3 – Soit Xune variable aléatoire de loi de probabilité exponentielle de paramètre λ
un réel positif. On rappelle l’expression de la densité :
fX(x) = λexp{−λx}, x ∈R+.
Montrer que Xperd la mémoire ; c’est-à-dire que :
P(X > x1+x2|X > x1) = P(X > x2).
Exercise 4 – Soit Xune variable aléatoire de loi de probabilité exponentielle de paramètre λ
un réel positif.
1. Calculer la densité de la loi de la transformation de Xen une v.a. Yde la forme Y=a·Xb.
2. Donner l’expression générale pour une transformation ϕ(.)quelconque.
Exercise 5 – On considère Xune v.a. continue dont la fonction de survie est S(x). La fonction
de survie moyenne résiduelle :m(x)est définie par :
m(x) = E(X−x|X≥x)
Montrer que :
m(x) = R+∞
xS(t)dt
S(x)
Exprimer S(x)en fonction de m(x), montrant ainsi que m(x)définit la loi de Xde façon unique.
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Exercise 6 – Soit la durée Xde fonction de défaillance R(t), de taux de défaillance h(t), et de
taux de défaillance cumulé H(t).
La fonction de répartition de Xpeut avoir les propriétés suivantes :
•Fest dite IFR, Increasing Failure Rate, (DFR Decreasing Failure Rate), si et seulement si
h(t)est croissante (décroissante).
•Fest dite IFRA, Increasing Failure Rate Average, si pour t > 0,H(t)/t croit avec t.
•Fest dite NBU, New Better Than Used, si la probabilité de défaillance après une date
x+ysachant que que l’item n’a pas connu de défaillance avnat xi.e. R(x+y)/R(x), est
inférieure ou égale à la probabilité qu’il n’y ait pas de défaillance avant la date ypour un
item neuf i.e.
R(x+y)6R(x)R(y),for x, y > 0.
Montrer que
1. F∈IFR ⇒F∈IFRA.
2. F∈IFRA ⇒F∈NBU.
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