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Définition 1: Dans un repère orthonormé (O, I, J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O
et de rayon 1 , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
I – Le cercle trigonométrique
1 - Définition
Remarque : • On dit que le repère (O, I, J) est orthonormé direct.
• Le cercle trigonométrique a une longueur égale à 2π.
2 - Droite des réels et cercle trigonométrique
La droite (A'A) est tangente au cercle trigonométrique en I.
Elle représente la droite des réels.
En enroulant la droite des réels sur le cercle trigonométrique,
comme indiqué sur la figure ci-contre, on associe à chaque réel
un point du cercle trigonométrique.
La longueur de l'arc
IP
est égale au réel positif x.
Remarque : La droite des réels étant infinie, elle s'enroule une infinité
de fois sur le cercle trigonométrique.
On peut donc associer une infinité de réels au point P :
– Dans le sens positif :
, 2 , 4 , ( )x x x x k k      
– Dans le sens négatif :
– 2 , – 4 , ( )x x x k k    
Définition 2: On définit la mesure 1 radian comme étant la mesure de
l'angle
IOM
, orienté dans le sens direct, où M est le point
du cercle associé au point A d'abscisse 1 de la droite des
réels.
Angles et Trigonométrie
www.mathmaurer.com – Cours – 1ère S
+
1 rad

 II – Les angles orientés de vecteurs
1 - Définitions d'un angle et de sa mesure
Soit A et B deux points du cercle trigonométrique tels que
et OA OB
pour direction respectives
et uv
,
alors l'angle orienté
,uv
est l'angle
AOB
orienté de A vers B.
Remarque : Dans la suite, on utilisera indifféremment la notation
,uv
pour nommer un angle de vecteurs
ou sa mesure (en radians)
Propriété 1: La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.
Définition 3: Soit
et uv
deux vecteurs non nuls.
Le couple
,uv
est appelé angle de vecteurs.
Définition 4: Soit A et B deux points du cercle trigonométrique associés respectivement aux réels a et b.
On appelle mesure de l'angle orienté
,OA OB
le réel
ba
.
Propriété 2: • Soit
et uv
deux vecteurs non nuls.
, , 2 ( )u v u v k k    
• Il existe une unique mesure de
,uv
appartenant à l'intervalle
; 
.
Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle
,uv
.
u
v
O
A
B
,uv
u
v
I
J

Conséquence : •
, 0 2 2 ( )u u k k k      
•
, , 2 (2 1) ( )u u u u k k k           
 2 - Vecteurs colinéaires, vecteurs orthogonaux
 3 - Relation de Chasles
Conséquences : (1)
, , 2 ( )v u u v k k     
(2)
, , 2 ( )u v u v k k       
(3)
, , 2 ( )u v u v k k      
 Remarque : Dans la démonstration précédente, la valeur de k varie, et pourtant on a gardé la même lettre.
C'est un abus d'écriture utilisé pour ne pas compliquer inutilement la démonstration.
Pour éviter cet abus, il existe la notation mathématique appelée modulo 2π , notée
(2 )
qui signifie
" plus ou moins un certain nombre entier de fois 2π ".
 III – Cosinus et sinus d'un nombre réel
1 - Définition et propriétés
En utilisant l'enroulement de la droite des réels sur le cercle
trigonométrique, on étend les définitions du sinus et du cosinus
d'un angle aigu à tout nombre réel.
Propriété 3: Soit
et uv
deux vecteurs non nuls.
et uv
sont colinéaires si et seulement si
, ( )u v k k  
.
Définition 5: On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsqu'ils ont des directions perpendiculaires.
Propriété 4: Soit
et uv
deux vecteurs non nuls.
et uv
sont orthogonaux si et seulement si
,2
2()
,2
2
u v k k
u v k
.
Propriété 5: Soit
, et u v w
trois vecteurs non nuls.
, , , 2 ( )u v v w u w k k     
.
Définition 6: Soit x un réel quelconque et M le point du cercle trigonométrique associé à x .
– On appelle cosinus du réel x , noté cos x , l'abscisse du point M dans le repère (O, I, J).
– On appelle sinus du réel x , noté sin x , l'ordonnée du point M dans le repère (O, I, J).
x
x rad
cos x
sin x

 2 - Valeurs remarquables
 3 - Equations trigonométriques
Remarque : Ces résultats se déduisent de la propriété 7.
Propriété 6: Pour tout réel x , on a :
22
1 cos 1 , 1 sin 1
cos sin 1
(1
cos( 2 ) cos , sin( 2 )
)
sin
(2)
(3) ,
xx
xx
x k x x k x k
Propriété 7: Pour tout réel x , on a :
cos( ) cos et sin( ) sin
cos( ) cos et sin( ) sin
cos( ) cos et sin( ) sin
cos( ) sin et sin( ) cos
22
co
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) s( ) sin et sin( ) co
22
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x      sx
Propriété 8: Soit a et x deux réels :
2
cos cos ( )
2
x a k
x a k
x a k
et
2
sin sin ( )
2
x a k
x a k
x a k