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Angles et Trigonométrie
www.mathmaurer.com – Cours – 1ère S
I – Le cercle trigonométrique
1 - Définition
Définition 1: Dans un repère orthonormé (O, I, J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O
et de rayon 1 , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).
+
Remarque : • On dit que le repère (O, I, J) est orthonormé direct.
• Le cercle trigonométrique a une longueur égale à 2π.
2 - Droite des réels et cercle trigonométrique
La droite (A'A) est tangente au cercle trigonométrique en I.
Elle représente la droite des réels.
En enroulant la droite des réels sur le cercle trigonométrique,
comme indiqué sur la figure ci-contre, on associe à chaque réel
un point du cercle trigonométrique.
La longueur de l'arc IP est égale au réel positif x.
Remarque : La droite des réels étant infinie, elle s'enroule une infinité
de fois sur le cercle trigonométrique.
On peut donc associer une infinité de réels au point P :
– Dans le sens positif : x, x  2, x  4, x  k  (k  )
– Dans le sens négatif : x – 2 , x – 4 , x  k  (k  )
Définition 2: On définit la mesure 1 radian comme étant la mesure de
l'angle IOM , orienté dans le sens direct, où M est le point
du cercle associé au point A d'abscisse 1 de la droite des
réels.
1 rad
Propriété 1: La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.

II – Les angles orientés de vecteurs
1 - Définitions d'un angle et de sa mesure
Définition 3: Soit u et v deux vecteurs non nuls.
Le couple u , v est appelé angle de vecteurs.
 
Soit A et B deux points du cercle trigonométrique tels que OA et OB  pour direction respectives u et v ,
 
alors l'angle orienté u , v est l'angle AOB orienté de A vers B.
u
J
A
u
u , v 
O
I
v
B
v
 
Remarque : Dans la suite, on utilisera indifféremment la notation u , v pour nommer un angle de vecteurs
ou sa mesure (en radians)
Définition 4: Soit A et B deux points du cercle trigonométrique associés respectivement aux réels a et b.
On appelle mesure de l'angle orienté OA , OB le réel b  a .


Propriété 2: • Soit u et v deux vecteurs non nuls.
 u , v    u , v   k  2 ( k 
 
)
• Il existe une unique mesure de u , v appartenant à l'intervalle  ;  .
 
Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle u , v .
 
•  u , u    u , u     k  2  (2k  1) (k 
Conséquence : • u , u  0  k  2  2k  (k  )
)

2 - Vecteurs colinéaires, vecteurs orthogonaux
Propriété 3: Soit u et v deux vecteurs non nuls.
u et v sont colinéaires si et seulement si u , v  k   (k  ) .
 

Définition 5: On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsqu'ils ont des directions perpendiculaires.
Propriété 4: Soit u et v deux vecteurs non nuls.


 u , v  2  k  2
u et v sont orthogonaux si et seulement si 
(k  ) .
 u , v     k  2

2
 
 

3 - Relation de Chasles
Propriété 5: Soit u , v et w trois vecteurs non nuls.
u , v   v , w  u , w  k  2 (k 
   
(2)  u , v    u , v     k  2 (k 
(3)  u , v    u , v   k  2 (k  )
).
Conséquences : (1) v , u   u , v  k  2 (k  )
)

Remarque : Dans la démonstration précédente, la valeur de k varie, et pourtant on a gardé la même lettre.
C'est un abus d'écriture utilisé pour ne pas compliquer inutilement la démonstration.
Pour éviter cet abus, il existe la notation mathématique appelée modulo 2π , notée (2 ) qui signifie
" plus ou moins un certain nombre entier de fois 2π ".

III – Cosinus et sinus d'un nombre réel
1 - Définition et propriétés
En utilisant l'enroulement de la droite des réels sur le cercle
trigonométrique, on étend les définitions du sinus et du cosinus
d'un angle aigu à tout nombre réel.
x
sin x
x rad
cos x
Définition 6: Soit x un réel quelconque et M le point du cercle trigonométrique associé à x .
– On appelle cosinus du réel x , noté cos x , l'abscisse du point M dans le repère (O, I, J).
– On appelle sinus du réel x , noté sin x , l'ordonnée du point M dans le repère (O, I, J).
Propriété 6: Pour tout réel x , on a :
(1)  1  cos x  1 ,  1  sin x  1
(2)
 cos x 
2
  sin x   1
2
(3) cos( x  2k )  cos x , sin( x  2k )  sin x , k 

2 - Valeurs remarquables

Propriété 7: Pour tout réel x , on a :
(1) cos( x)  cos x et sin(  x)   sin x
(2) cos(  x)   cos x et sin(  x)  sin x
(3) cos(  x)   cos x et sin(  x)   sin x
(4) cos(
(5) cos(

2

2
 x)  sin x et sin(

2
 x)   sin x et sin(
 x)  cos x

2
 x)  cos x


3 - Equations trigonométriques
Propriété 8: Soit a et x deux réels :
 x  a  2k 
cos x  cos a  
(k  )
 x   a  2k 
et
Remarque : Ces résultats se déduisent de la propriété 7.
 x  a  2k 
sin x  sin a  
(k  )
 x    a  2k 