Feuille d`exercices n

Mathématiques spéciales
Feuille d’exercices no4
1. Topologie et normes
Exercice 1.
Soit a ≥ 0. Pour P ∈ R[X], on définit
∫
Na (P ) = |P (a)| +
1
|P ′ (t)|dt.
0
1. Démontrer que Na est une norme sur R[X].
2. Soit a, b ≥ 0 avec a < b et b > 1. Démontrer que Na et Nb ne sont pas équivalentes.
3. Démontrer que si (a, b) ∈ [0, 1]2 , alors Na et Nb sont équivalentes.
2. Continuité
Exercice 2.
Soit E un espace vectoriel normé sur Kn A ⊂ E et f : A → K une fonction continue. Montrer
1
si f ne s’annule pas sur A, alors
est une fonction continue.
f
Exercice 3.
Soit E = C([0, 1], K) et on considère les normes ∥ · ∥1 de la convergence en moyenne et ∥ · ∥∞ de
la convergence uniforme sur E. Déterminer si les fonctions suivantes sont continues sur E pour
∥ · ∥1 , puis pour ∥ · ∥∞ :
— φ : f 7→ f (1) ;
∫ 1
— ψ : f 7→
f (t)dt.
0
Exercice 4.
Démontrer la
{ nature topologique des ensembles
} suivants :
— F = (x, y) ∈ R2 | x2 < exp(sin y) − 12
— G = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ ln(x2 + 1) ≤ 1}
{
}
— H = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 > x3 + y 3
1
Exercice 5.
Soit E un espace vectoriel préhilbertien sur K, (·|·) son produit scalaire et ∥ · ∥ la norme associée
au produit scalaire.
Montrer que :
1. (·|·) : E × E → K est continue.
(On considère la norme produit sur E 2 )
.
2. L’ensemble {(x, y) ∈ E 2 | (x, y) est une famille libre} est un ouvert de E 2 .
3. Montrer que pour tout A ⊂ E, alors A⊥ est un fermé de E.
Exercice 6.
Soit E un espace vectoriel normé, et h : E → E une application continue admettant une limite
ℓ en 0 et vérifiant h(x) = h(x/2) pour tout x ∈ E. Démontrer que h est constante.
Exercice 7.
Soient A et B deux fermés d’un espace vectoriel normé (E, ∥ · ∥).
1. Démontrer que A ∩ B = ∅ ⇐⇒ ∀x ∈ E, d(x, A) + d(x, B) > 0.
2. On suppose que A et B sont disjoints. Démontrer qu’il existe f : E → E continue telle
que f|A = 0 et f|B = 1.
3. En déduire qu’il existe deux ouverts U et V de E tels que A ⊂ U , B ⊂ V et U ∩ V ̸= ∅.
Exercice 8.
Soit E un espace vectoriel normé sur K. Soit a ∈ E. Montrer que les applications :
fa :
E→E
x 7→ x + a
et
φa :
K→E
λ 7→ λa
sont continues.
Exercice 9.
Soit E, F des espaces vectoriels normés sur R et f : E → F une application continue. Montrer
que si, pour tous x, y ∈ E,
f (x + y) = f (x) + f (y),
alors f est linéaire
Indication.
Montrer que, pour tout x ∈ E et tout r ∈ Q, f (rx) = rf (x).
2
3. Applications lipschitziennes
Exercice 10.
Soit E, F des espaces vectoriels normés et f : E → F une application linéaire.
Montrer que f est k-lipschitzienne si, et seulement si, pour tout x ∈ E,
∥f (x)∥F ≤ k∥x∥E .
Exercice 11.
Soit A une partie bornée d’un espace vectoriel normé (E, ∥ · ∥). On note L l’espace vectoriel des
applications lipschitziennes de A dans E.
1. Démontrer que les éléments de L sont des fonctions bornées.
2. Pour f ∈ L, on pose
Kf = {k ∈ R+ ; ∀(x, y) ∈ A2 , ∥f (x) − f (y)∥ ≤ k∥x − y∥}.
Démontrer que Kf admet une borne inférieure. Dans la suite, on notera Cf cette borne
inférieure.
3. Justifier que Cf ∈ Kf .
4. Démontrer que si f, g ∈ L, alors Cf +g ≤ Cf + Cg .
5. Pour a ∈ A, on note Na (f ) = ∥f (a)∥ + Cf . Démontrer que Na est une norme sur L.
6. Soient a ̸= b ∈ A. Les normes Na et Nb sont-elles équivalentes ?
4. Continuité uniforme
Exercice 12.
La fonction f : R2 → R, (x, y) 7→ xy est-elle uniformément continue ?
5. Applications linéaires et continuité
Exercice 13.
Soit N1 et N2 deux normes sur l’espace vectoriel E. Montrer que N1 et N2 sont continues si et
seulement si Id : (E, N1 ) → (E, N2 ) et Id : (E, N2 ) → (E, N1 ) sont continues.
Exercice 14.
Déterminer si l’application linéaire T : (E, N1 ) → (F, N2 ) est continue dans les cas suivants :
∫1
1. E = C([0, 1], R) muni de ∥f ∥1 = 0 |f (t)|dt et T : (E, ∥.∥1 ) → (E, ∥.∥1 ), f 7→ f g où g ∈ E
est fixé.
3
3. E =
4. E =
∑
∑
k
′
k≥0 ak X ∥ =
k≥0 |ak | et T : (E, ∥.∥) → (E, ∥.∥), P 7→ P .
∑n
∑
n
Rn [X] muni de ∥ k=0 ak X k ∥ = k=0 |ak | et T : (E, ∥.∥) → (E, ∥.∥), P 7→ P ′ .
∑
∑
R[X] muni de ∥ k≥0 ak X k ∥ = k≥0 k!|ak | et T : (E, ∥.∥) → (E, ∥.∥), P 7→ P ′ .
2. E = R[X] muni de ∥
(∫
)1/2
1
2
5. E = C([0, 1], R) muni de ∥f ∥2 =
|f
(t)|
dt
, F = C([0, 1], R) muni de ∥f ∥1 =
0
∫1
|f (t)|dt et T : (E, ∥.∥2 ) → (F, ∥.∥1 ), f 7→ f g où g ∈ E est fixé.
0
Exercice 15.
Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme ∥ · ∥1 i.e. pour f ∈ E,
∫
1
∥f ∥1 =
|f (t)|dt.
0
Soit ϕ l’endomorphisme de E défini par
∫
x
ϕ(f )(x) =
f (t)dt.
0
1. Justifier la terminologie : ”ϕ est un endomorphisme de E.”
2. Démontrer que ϕ est continue.
3. Pour n ≥ 0, on considère fn l’élément de E défini par fn (x) = ne−nx , x ∈ [0, 1]. Calculer
∥fn ∥1 et ∥ϕ(fn )∥1 .
4. On pose |||ϕ||| = supf ̸=0E
∥ϕ(f )∥1
∥f ∥1 .
Déterminer |||ϕ|||.
4