Feuille d`exercices n

Feuille d’exercices no4
Mathématiques spéciales
1. Topologie et normes
Exercice 1.
Exercice 1.
Soit a≥0. Pour P∈R[X], on dénit
Na(P) = |P(a)|+1
0
|P′(t)|dt.
1. Démontrer que Naest une norme sur R[X].
2. Soit a, b ≥0avec a < b et b > 1. Démontrer que Naet Nbne sont pas équivalentes.
3. Démontrer que si (a, b)∈[0,1]2, alors Naet Nbsont équivalentes.
2. Continuité
Exercice 2.
Exercice 2.
Soit Eun espace vectoriel normé sur KnA⊂Eet f:A→Kune fonction continue. Montrer
si fne s’annule pas sur A, alors 1
fest une fonction continue.
Exercice 3.
Exercice 3.
Soit E=C([0,1],K)et on considère les normes ∥ · ∥1de la convergence en moyenne et ∥ · ∥∞de
la convergence uniforme sur E. Déterminer si les fonctions suivantes sont continues sur Epour
∥·∥1, puis pour ∥·∥∞:
—φ:f7→ f(1) ;
—ψ:f7→ 1
0
f(t)dt.
Exercice 4.
Exercice 4.
Démontrer la nature topologique des ensembles suivants :
—F=(x, y)∈R2|x2<exp(sin y)−12
—G={(x, y)∈R2| − 1≤ln(x2+ 1) ≤1}
—H=(x, y)∈R2|x2+y2> x3+y3
1

Exercice 5.
Exercice 5.
Soit Eun espace vectoriel préhilbertien sur K,(·|·)son produit scalaire et ∥·∥ la norme associée
au produit scalaire.
Montrer que :
1. (·|·) : E×E→Kest continue. (On considère la norme produit sur E2).
2. L’ensemble {(x, y)∈E2|(x, y)est une famille libre}est un ouvert de E2.
3. Montrer que pour tout A⊂E, alors A⊥est un fermé de E.
Exercice 6.
Exercice 6.
Soit Eun espace vectoriel normé, et h:E→Eune application continue admettant une limite
ℓen 0et vériant h(x) = h(x/2) pour tout x∈E. Démontrer que hest constante.
Exercice 7.
Exercice 7.
Soient Aet Bdeux fermés d’un espace vectoriel normé (E, ∥ · ∥).
1. Démontrer que A∩B=∅⇐⇒ ∀x∈E, d(x, A) + d(x, B)>0.
2. On suppose que Aet Bsont disjoints. Démontrer qu’il existe f:E→Econtinue telle
que f|A= 0 et f|B= 1.
3. En déduire qu’il existe deux ouverts Uet Vde Etels que A⊂U,B⊂Vet U∩V̸=∅.
Exercice 8.
Exercice 8.
Soit Eun espace vectoriel normé sur K. Soit a∈E. Montrer que les applications :
fa:E→E
x7→ x+aet φa:K→E λ7→ λa
sont continues.
Exercice 9.
Exercice 9.
Soit E, F des espaces vectoriels normés sur Ret f:E→Fune application continue. Montrer
que si, pour tous x, y ∈E,
f(x+y) = f(x) + f(y),
alors fest linéaire
Indication.
Indication.
Montrer que, pour tout x∈Eet tout r∈Q,f(rx) = rf(x).
2

3. Applications lipschitziennes
Exercice 10.
Exercice 10.
Soit E, F des espaces vectoriels normés et f:E→Fune application linéaire.
Montrer que fest k-lipschitzienne si, et seulement si, pour tout x∈E,
∥f(x)∥F≤k∥x∥E.
Exercice 11.
Exercice 11.
Soit Aune partie bornée d’un espace vectoriel normé (E, ∥ · ∥). On note Ll’espace vectoriel des
applications lipschitziennes de Adans E.
1. Démontrer que les éléments de Lsont des fonctions bornées.
2. Pour f∈ L, on pose
Kf={k∈R+;∀(x, y)∈A2,∥f(x)−f(y)∥ ≤ k∥x−y∥}.
Démontrer que Kfadmet une borne inférieure. Dans la suite, on notera Cfcette borne
inférieure.
3. Justier que Cf∈Kf.
4. Démontrer que si f, g ∈ L, alors Cf+g≤Cf+Cg.
5. Pour a∈A, on note Na(f) = ∥f(a)∥+Cf. Démontrer que Naest une norme sur L.
6. Soient a̸=b∈A. Les normes Naet Nbsont-elles équivalentes ?
4. Continuité uniforme
Exercice 12.
Exercice 12.
La fonction f:R2→R,(x, y)7→ xy est-elle uniformément continue ?
5. Applications linéaires et continuité
Exercice 13.
Exercice 13.
Soit N1et N2deux normes sur l’espace vectoriel E. Montrer que N1et N2sont continues si et
seulement si Id : (E, N1)→(E, N2)et Id : (E, N2)→(E, N1)sont continues.
Exercice 14.
Exercice 14.
Déterminer si l’application linéaire T: (E, N1)→(F, N2)est continue dans les cas suivants :
1. E=C([0,1],R)muni de ∥f∥1=1
0|f(t)|dt et T: (E, ∥.∥1)→(E, ∥.∥1), f 7→ f g où g∈E
est xé.
3

2. E=R[X]muni de ∥k≥0akXk∥=k≥0|ak|et T: (E, ∥.∥)→(E, ∥.∥),P7→ P′.
3. E=Rn[X]muni de ∥n
k=0 akXk∥=n k=0 |ak|et T: (E, ∥.∥)→(E, ∥.∥),P7→ P′.
4. E=R[X]muni de ∥k≥0akXk∥=k≥0k!|ak|et T: (E, ∥.∥)→(E, ∥.∥),P7→ P′.
5. E=C([0,1],R)muni de ∥f∥2=1
0|f(t)|2dt1/2
,F=C([0,1],R)muni de ∥f∥1=
1
0|f(t)|dt et T: (E, ∥.∥2)→(F, ∥.∥1), f 7→ f g où g∈Eest xé.
Exercice 15.
Exercice 15.
Soit E=C([0,1],R)muni de la norme ∥·∥1i.e. pour f∈E,
∥f∥1=1
0
|f(t)|dt.
Soit ϕl’endomorphisme de Edéni par
ϕ(f)(x) = x
0
f(t)dt.
1. Justier la terminologie : ”ϕest un endomorphisme de E.”
2. Démontrer que ϕest continue.
3. Pour n≥0, on considère fnl’élément de Edéni par fn(x) = ne−nx,x∈[0,1]. Calculer
∥fn∥1et ∥ϕ(fn)∥1.
4. On pose |||ϕ||| =supf̸=0E
∥ϕ(f)∥1
∥f∥1. Déterminer |||ϕ|||.
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