Corrigé de la feuille d`exercices n

Mathématiques spéciales
Corrigé de la feuille d’exercices no4
1. Topologie et normes
Exercice 1.
Soit a ≥ 0. Pour P ∈ R[X], on définit
∫
1
Na (P ) = |P (a)| +
|P ′ (t)|dt.
0
1. Démontrer que Na est une norme sur R[X].
2. Soit a, b ≥ 0 avec a < b et b > 1. Démontrer que Na et Nb ne sont pas équivalentes.
3. Démontrer que si (a, b) ∈ [0, 1]2 , alors Na et Nb sont équivalentes.
Correction.
∫1
1. Le point ”délicat” est la séparation : si Na (P ) = 0, alors |P (a)| = 0 et 0 |P ′ (t)|dt = 0. Or,
comme |P ′ | est une fonction continue, positive et d’intégrale nulle sur [0, 1], alors P ′ (x) = 0
pour tout x ∈ [0, 1]. Alors P ′ est un polynôme qui possède une infinité de racine ; par suite
P ′ = 0 et donc P est un polynôme constant. Or P (a) = 0, donc P est le polynôme nul.
2. On suppose que Na et Nb sont équivalentes. Alors, il existe deux constantes C1 > 0 et
C2 > 0 tels que, pour tout P ∈ R[X], on a :
C1 Na (P ) ≤ Nb (P ) ≤ C2 Na (P ).
Pour n ≥ 0, soit P (X) = X n . On a
∫
n
Na (P ) = a + n
1
tn−1 dt = an + 1 et Nb (P ) = bn + 1.
0
On en déduit alors que, pour tout n ≥ 0,
bn + 1 ≤ C2 (an + 1) ⇔ 1 +
( a )n C
1
2
≤ C2
+ n.
n
b
b
b
Or, le membre de droite tend vers 1 et le membre de gauche vers 0. On obtient en passant
à la limite 1 ≤ 0, ce qui est absurde. L’hypothèse de départ est donc fausse, et Na et Nb ne
sont pas équivalentes.
3. Supposons par exemple a ≤ b. Alors
∫
b
P (b) − P (a) =
P ′ (t)dt ≤
a
Ainsi,
∫
1
|P ′ (t)|dt.
0
∫
|P (b)| ≤ |P (a)| +
0
1
1
|P ′ (t)|dt ≤ Na (P ).
Il vient
∫
1
Nb (P ) ≤ Na (P ) +
|P ′ (t)|dt ≤ 2Na (P ).
0
On a de la même façon
∫
1
|P (a)| ≤ |P (b)| +
|P ′ (t)|dt ≤ Nb (P )
0
et donc
Na (P ) ≤ 2Nb (P ).
Les deux normes sont bien équivalentes.
2. Continuité
Exercice 2.
Soit E un espace vectoriel normé sur Kn A ⊂ E et f : A → K une fonction continue. Montrer
1
si f ne s’annule pas sur A, alors
est une fonction continue.
f
Exercice 3.
Soit E = C([0, 1], K) et on considère les normes ∥ · ∥1 de la convergence en moyenne et ∥ · ∥∞ de
la convergence uniforme sur E. Déterminer si les fonctions suivantes sont continues sur E pour
∥ · ∥1 , puis pour ∥ · ∥∞ :
1. φ : f 7→ f (1) ;
∫ 1
2. ψ : f 7→
f (t)dt.
0
Correction.
1. Pour φ : f 7→ f (1), se reporter au cours
2. Pour f ∈ E, on a
∫
∫
1
|ψ(f )| = |
1
f (t)dt| ≤
0
|f (t)|dt = ∥f ∥1 ≤ ∥f ∥_∞,
0
Donc ψ est continue sur E pour ∥ · ∥1 et ∥ · ∥∞ .
Exercice 4.
Démontrer la
{ nature topologique des ensembles
} suivants :
— F = (x, y) ∈ R2 | x2 < exp(sin y) − 12
2
— G = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ ln(x2 + 1) ≤ 1}
{
}
— H = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 > x3 + y 3
Correction.
Posons f (x, y) = x2 − exp(sin y) + 12. Alors f est continue sur R2 , et F = f −1 (] − ∞, 0[). Comme
] − ∞, 0[ est ouvert, F est ouvert comme image réciproque d’un ouvert par une application
continue. De même, posons g(x, y) = ln(x2 + 1). Alors g est continue et G = g −1 ([−1, 1]) est
fermé comme image réciproque du fermé ] − 1, 1[ par g.
On emploie la même méthode pour H.
Exercice 5.
Soit E un espace vectoriel préhilbertien sur K, (·|·) son produit scalaire et ∥ · ∥ la norme associée
au produit scalaire.
Montrer que :
1. (·|·) : E × E → K est continue.
(On considère la norme produit sur E 2 )
.
2. L’ensemble {(x, y) ∈ E 2 | (x, y) est une famille libre} est un ouvert de E 2 .
3. Montrer que pour tout A ⊂ E, alors A⊥ est un fermé de E.
Correction.
(√
1. Soit (u, v) ∈ E et ε > 0. Ob pose δ = max
2
E 2 tel que ∥(x, y) − (u, v)∥∞ ≤ δ, on a :
|(x|y) − (u|v)|
)
ε
ε
,
. Alors, pour tout (x, y) ∈
2 2(∥u∥ + ∥v∥)
≤ |(x − u|y − v) + (u|y − v) + (x − u|v)|
≤ |(x − u|y − v)| + |(u|y − v)| + |(x − u|v)|
≤ ∥x − u∥.∥y − v∥ + ∥u∥.∥y − v∥ + ∥x − u∥.∥v∥ d’après Cauchy-Schwarz
≤ δ 2 + δ(∥u∥ + ∥v∥) ≤ ε
Donc (·|·) est continue.
2. Pour x, y ∈ E, on a égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz si, et seulement si, x, y sont
colinéaires. Par suite,
(x, y) est une famille libre ⇔ |(x|y)| < ∥x∥.∥y∥.
L’application f : (x, y) 7→ ∥x∥.∥y∥ − |(x|y)| est continue de E 2 dans K donc {(x, y) ∈
E 2 | (x, y) est une famille libre} = f −1 (]0, +∞[) est un ouvert de E 2 .
3. Soit A inclus dans E. Alors
A⊥ = {x ∈ E | ∀a ∈ A, (x|a) = 0} =
∩
{x ∈ E | (x|a) = 0}.
a∈A
3
Pour a ∈ A, l’application fa : x 7→ (x|a) est continue sur E, donc fa−1 ({0}) est un fermé de
E. Or une intersection quelconque de fermé est un fermé, donc A⊥ est un fermé de E.
Exercice 6.
Soit E un espace vectoriel normé, et h : E → E une application continue admettant une limite
ℓ en 0 et vérifiant h(x) = h(x/2) pour tout x ∈ E. Démontrer que h est constante.
Correction.
Soit x ∈ E et considérons la suite (xn ) définie pour n ≥ 0 par xn = x/2n . Alors on a h(xn ) =
h(xn /2) = h(xn+1 ) pour tout entier n. En particulier, on en déduit que la suite (h(xn )) est
constante, égale à h(x0 ). De plus, (xn ) converge vers 0, et comme h admet pour limite ℓ en 0,
h(xn ) converge vers ℓ. Par unicité de la limite, on a h(x) = h(x0 ) = ℓ ce qui prouve bien que h
est constante.
Exercice 7.
Soient A et B deux fermés d’un espace vectoriel normé (E, ∥ · ∥).
1. Démontrer que A ∩ B = ∅ ⇐⇒ ∀x ∈ E, d(x, A) + d(x, B) > 0.
2. On suppose que A et B sont disjoints. Démontrer qu’il existe f : E → E continue telle
que f|A = 0 et f|B = 1.
3. En déduire qu’il existe deux ouverts U et V de E tels que A ⊂ U , B ⊂ V et U ∩ V ̸= ∅.
Correction.
1. Supposons d’abord que A ∩ B = ∅ et considérons x ∈ E. Alors ou bien x ∈
/ A, ou bien
x∈
/ B. Si x ∈
/ A, comme A est fermé, on a d(x, A) > 0 et si x ∈
/ B, alors d(x, B) > 0. Dans
tous les cas, on a d(x, A) + d(x, B) > 0. Réciproquement, si A ∩ B ̸= ∅, alors considérons
x ∈ A ∩ B. On a d(x, A) = d(x, B) = d(x, A) + d(x, B) = 0.
d(x,A)
2. Posons f (x) = d(x,A)+d(x,B)
. Alors f est une fonction continue comme quotient de deux
fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas. Il est de plus clair que f (x) = 1
si x ∈ B et que f (x) = 0 si x ∈ A.
3. Posons I =] − ∞, 1/3[ et J =]2/3, +∞[, puis U = f −1 (I) et V = f −1 (J). Alors I ∩ J = ∅
et donc U ∩ V = ∅. U et V sont ouverts comme images réciproques d’ouverts par une
application continue, et clairement A ⊂ U , B ⊂ V .
Exercice 8.
Soit E un espace vectoriel normé sur K. Soit a ∈ E. Montrer que les applications :
fa :
E→E
x 7→ x + a
et
sont continues.
4
φa :
K→E
λ 7→ λa
Exercice 9.
Soit E, F des espaces vectoriels normés sur R et f : E → F une application continue. Montrer
que si, pour tous x, y ∈ E,
f (x + y) = f (x) + f (y),
alors f est linéaire
Indication.
Montrer que, pour tout x ∈ E et tout r ∈ Q, f (rx) = rf (x).
Correction.
On suppose pour tous x, y ∈ E, f (x + y) = f (x) + f (y). Il suffit alors de montrer que pour tout
x ∈ E et tout λ ∈ K, f (λx) = λf (x).
Soit x ∈ E. Alors, par une récurrence immédiate sur N∗ , on montre que pour tout n ∈ N∗ ,
f (nx) = nf (x). De plus, on a, pour y ∈ E, f (0E ) = f (y +(−y)) = f (y)+f (−y). D’où f (0E ) = 0F
(prendre y = 0E ) puis f (−y) = −f (y). Par suite, pour tout n ∈ Z :
f (nx) = nf (x).
Pour r =
p
q
∈ Q (avec p ∈ Z et q ∈ N∗ ), on a :
qf (rx) = f (qrx) = f (px) = pf (x).
D’où, pour tout r ∈ Q,
f (rx) = rf (x).
Soit g, h : R → R les applications définies par :
g(λ) = f (λx)
et
h(λ) = λf (x).
Alors g et h sont continues comme composées d’applications continues et de plus, pour tout
r∈Q:
g(r) = h(r).
Donc g et h sont continues et coïncident sur Q qui est dense dans R, donc g = h sur R.
Il en résulte que pour tout λ ∈ R,
f (λx) = λf (x).
Donc f est linéaire.
5