Corrigé de la feuille d`exercices n

Corrigé de la feuille d’exercices no4
Mathématiques spéciales
1. Topologie et normes
Exercice 1.
Exercice 1.
Soit a≥0. Pour P∈R[X], on dénit
Na(P) = |P(a)|+1
0
|P′(t)|dt.
1. Démontrer que Naest une norme sur R[X].
2. Soit a, b ≥0avec a < b et b > 1. Démontrer que Naet Nbne sont pas équivalentes.
3. Démontrer que si (a, b)∈[0,1]2, alors Naet Nbsont équivalentes.
Correction.
1. Le point ”délicat” est la séparation : si Na(P) = 0, alors |P(a)|= 0 et 1
0|P′(t)|dt = 0. Or,
comme |P′|est une fonction continue, positive et d’intégrale nulle sur [0,1], alors P′(x) = 0
pour tout x∈[0,1]. Alors P′est un polynôme qui possède une innité de racine ; par suite
P′= 0 et donc Pest un polynôme constant. Or P(a) = 0, donc Pest le polynôme nul.
2. On suppose que Naet Nbsont équivalentes. Alors, il existe deux constantes C1>0et
C2>0tels que, pour tout P∈R[X],ona:
C1Na(P)≤Nb(P)≤C2Na(P).
Pour n≥0, soit P(X) = Xn. On a
Na(P) = an+n1
0
tn−1dt =an+ 1 et Nb(P) = bn+ 1.
On en déduit alors que, pour tout n≥0,
bn+ 1 ≤C2(an+ 1) ⇔1 + 1
bn≤C2a bn
+C2
bn.
Or, le membre de droite tend vers 1et le membre de gauche vers 0. On obtient en passant
à la limite 1≤0, ce qui est absurde. L’hypothèse de départ est donc fausse, et Naet Nbne
sont pas équivalentes.
3. Supposons par exemple a≤b. Alors
P(b)−P(a) = b
a
P′(t)dt ≤1
0
|P′(t)|dt.
Ainsi,
|P(b)| ≤ |P(a)|+1
0
|P′(t)|dt ≤Na(P).
1

Il vient
Nb(P)≤Na(P) + 1
0
|P′(t)|dt ≤2Na(P).
On a de la même façon
|P(a)| ≤ |P(b)|+1
0
|P′(t)|dt ≤Nb(P)
et donc
Na(P)≤2Nb(P).
Les deux normes sont bien équivalentes.
2. Continuité
Exercice 2.
Exercice 2.
Soit Eun espace vectoriel normé sur KnA⊂Eet f:A→Kune fonction continue. Montrer
si fne s’annule pas sur A, alors 1
fest une fonction continue.
Exercice 3.
Exercice 3.
Soit E=C([0,1],K)et on considère les normes ∥ · ∥1de la convergence en moyenne et ∥ · ∥∞de
la convergence uniforme sur E. Déterminer si les fonctions suivantes sont continues sur Epour
∥·∥1, puis pour ∥·∥∞:
1. φ:f7→ f(1) ;
2. ψ:f7→ 1
0
f(t)dt.
Correction.
1. Pour φ:f7→ f(1), se reporter au cours
2. Pour f∈E, on a
|ψ(f)|=|1
0
f(t)dt| ≤ 1
0
|f(t)|dt =∥f∥1≤ ∥f∥_∞,
Donc ψest continue sur Epour ∥·∥1et ∥·∥∞.
Exercice 4.
Exercice 4.
Démontrer la nature topologique des ensembles suivants :
—F=(x, y)∈R2|x2<exp(sin y)−12
2

—G={(x, y)∈R2| − 1≤ln(x2+ 1) ≤1}
—H=(x, y)∈R2|x2+y2> x3+y3
Correction.
Posons f(x, y) = x2−exp(sin y) + 12. Alors fest continue sur R2, et F=f−1(] − ∞,0[). Comme
]− ∞,0[ est ouvert, Fest ouvert comme image réciproque d’un ouvert par une application
continue. De même, posons g(x, y) = ln(x2+ 1). Alors gest continue et G=g−1([−1,1]) est
fermé comme image réciproque du fermé ]−1,1[ par g.
On emploie la même méthode pour H.
Exercice 5.
Exercice 5.
Soit Eun espace vectoriel préhilbertien sur K,(·|·)son produit scalaire et ∥·∥ la norme associée
au produit scalaire.
Montrer que :
1. (·|·) : E×E→Kest continue. (On considère la norme produit sur E2).
2. L’ensemble {(x, y)∈E2|(x, y)est une famille libre}est un ouvert de E2.
3. Montrer que pour tout A⊂E, alors A⊥est un fermé de E.
Correction.
1. Soit (u, v)∈E2et ε > 0. On pose δ=max ε
2,ε 2(∥u∥+∥v∥). Alors, pour tout (x, y)∈
E2tel que ∥(x, y)−(u, v)∥∞≤δ, on a :
|(x|y)−(u|v)| ≤ |(x−u|y−v)+(u|y−v) + (x−u|v)|
≤ |(x−u|y−v)|+|(u|y−v)|+|(x−u|v)|
≤ ∥x−u∥.∥y−v∥+∥u∥.∥y−v∥+∥x−u∥.∥v∥d’après Cauchy-Schwarz
≤δ2+δ(∥u∥+∥v∥)≤ε
Donc (·|·)est continue.
2. Pour x, y ∈E, on a égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz si, et seulement si, x, y sont
colinéaires. Par suite,
(x, y)est une famille libre ⇔ |(x|y)|<∥x∥.∥y∥.
L’application f: (x, y)7→ ∥x∥.∥y∥−|(x|y)|est continue de E2dans Kdonc {(x, y)∈
E2|(x, y)est une famille libre}=f−1(]0,+∞[) est un ouvert de E2.
3. Soit Ainclus dans E. Alors
A⊥={x∈E| ∀a∈A, (x|a) = 0}=
a∈A
{x∈E|(x|a) = 0}.
3

Pour a∈A, l’application fa:x7→ (x|a)est continue sur E, donc f−1
a({0})est un fermé de
E. Or une intersection quelconque de fermé est un fermé, donc A⊥est un fermé de E.
Exercice 6.
Exercice 6.
Soit Eun espace vectoriel normé, et h:E→Eune application continue admettant une limite
ℓen 0et vériant h(x) = h(x/2) pour tout x∈E. Démontrer que hest constante.
Correction.
Soit x∈Eet considérons la suite (xn)dénie pour n≥0par xn=x/2n. Alors on a h(xn) =
h(xn/2) = h(xn+1)pour tout entier n. En particulier, on en déduit que la suite (h(xn)) est
constante, égale à h(x0). De plus, (xn)converge vers 0, et comme hadmet pour limite ℓen 0,
h(xn)converge vers ℓ. Par unicité de la limite, on a h(x) = h(x0) = ℓce qui prouve bien que h
est constante.
Exercice 7.
Exercice 7.
Soient Aet Bdeux fermés d’un espace vectoriel normé (E, ∥ · ∥).
1. Démontrer que A∩B=∅⇐⇒ ∀x∈E, d(x, A) + d(x, B)>0.
2. On suppose que Aet Bsont disjoints. Démontrer qu’il existe f:E→Econtinue telle
que f|A= 0 et f|B= 1.
3. En déduire qu’il existe deux ouverts Uet Vde Etels que A⊂U,B⊂Vet U∩V̸=∅.
Correction.
1. Supposons d’abord que A∩B=∅et considérons x∈E. Alors ou bien x/∈A, ou bien
x/∈B. Si x/∈A, comme Aest fermé, on a d(x, A)>0et si x/∈B, alors d(x, B)>0. Dans
tous les cas, on a d(x, A) + d(x, B)>0. Réciproquement, si A∩B̸=∅, alors considérons
x∈A∩B. On a d(x, A) = d(x, B) = d(x, A) + d(x, B) = 0.
2. Posons f(x) = d(x,A)
d(x,A)+d(x,B). Alors fest une fonction continue comme quotient de deux
fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas. Il est de plus clair que f(x) = 1
si x∈Bet que f(x) = 0 si x∈A.
3. Posons I=] − ∞,1/3[ et J=]2/3,+∞[, puis U=f−1(I)et V=f−1(J). Alors I∩J=∅
et donc U∩V=∅.Uet Vsont ouverts comme images réciproques d’ouverts par une
application continue, et clairement A⊂U,B⊂V.
Exercice 8.
Exercice 8.
Soit Eun espace vectoriel normé sur K. Soit a∈E. Montrer que les applications :
fa:E→E
x7→ x+aet φa:K→E λ7→ λa
sont continues.
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Exercice 9.
Exercice 9.
Soit E, F des espaces vectoriels normés sur Ret f:E→Fune application continue. Montrer
que si, pour tous x, y ∈E,
f(x+y) = f(x) + f(y),
alors fest linéaire
Indication.
Indication.
Montrer que, pour tout x∈Eet tout r∈Q,f(rx) = rf (x).
Correction.
On suppose pour tous x, y ∈E,f(x+y) = f(x) + f(y). Il sut alors de montrer que pour tout
x∈Eet tout λ∈K,f(λx) = λf(x).
Soit x∈E. Alors, par une récurrence immédiate sur N∗, on montre que pour tout n∈N∗,
f(nx) = nf(x). De plus, on a, pour y∈E,f(0E) = f(y+(−y)) = f(y)+f(−y). D’où f(0E) = 0F
(prendre y= 0E) puis f(−y) = −f(y). Par suite, pour tout n∈Z:
f(nx) = nf(x).
Pour r=p
q∈Q(avec p∈Zet q∈N∗), on a :
qf(rx) = f(qrx) = f(px) = pf (x).
D’où, pour tout r∈Q,
f(rx) = rf (x).
Soit g, h :R→Rles applications dénies par :
g(λ) = f(λx)et h(λ) = λf(x).
Alors get hsont continues comme composées d’applications continues et de plus, pour tout
r∈Q:
g(r) = h(r).
Donc get hsont continues et coïncident sur Qqui est dense dans R, donc g=hsur R.
Il en résulte que pour tout λ∈R,
f(λx) = λf(x).
Donc fest linéaire.
3. Applications lipschitziennes
Exercice 10.
Exercice 10.
Soit E, F des espaces vectoriels normés et f:E→Fune application linéaire.
Montrer que fest k-lipschitzienne si, et seulement si, pour tout x∈E,
∥f(x)∥F≤k∥x∥E.
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