Résumé : Probabilités discrètes / Variables aléatoires
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L3 MIAGE
Résumé : Probabilités discrètes / Variables aléatoires
1
Probabilités discrètes
Probabilité conditionnelle P(B) 6= 0 :
P(A ∩ B)
.
P(B)
P(A | B) =
Probabilités totales B1 , ..., Bn partition de l’univers :
n
X
P(A) =
P(A ∩ Bi ).
i=1
Si P(Bi ) 6= 0 :
n
X
P(A) =
P(A | Bi ) · P(Bi ).
i=1
Théorème de Bayes P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0 :
P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A).
Expérience composée Une succession d’expériences aléatoires.
Probabilités composées A1 , A2 , ..., An tels que P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) 6= 0 :
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P(A1 ) · P(A2 | A1 ) · P(A3 | A1 ∩ A2 )...P(An | A1 ∩ A2 ...An−1 ).
Indépendance de A et B :
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Indépendance conditionnelle de A et B sachant C :
P((A ∩ B) | C) = P(A | C) · P(B | C).
Indépendance mutuelle de A1 , ...An : Pour tout I ⊂ {1, ..., n},
P(
\
Ai ) =
i∈I
2
Y
P(Ai ).
i∈I
Variables aléatoires
Variable aléatoire Fonction de Ω dans R.
Loi de probabilité d’une variable aléatoire X sur un univers Ω :
Fonction de R dans [0; 1] définie par f (x) = P(X = x).
Fonction de répartition d’une variable aléatoire X sur un univers Ω :
Fonction de R dans [0; 1] définie par F (x) = P(X ≤ x).
Propriétés Somme des valeurs d’une loi de probabilités vaut 1.
Loi de probabilités et fonction de répartition ont des valeurs dans [0; 1].
Espérance d’une variable aléatoire X :
E[X] =
N
X
i=1
(xi · · · P(X = xi )).
