Notes sur les nombres complexes et la trigonométrie Table des mati

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 −2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Notes sur les nombres complexes et la trigonom´etrie
Table des mati`eres
1 Trois aspects des nombres complexes 2
2 Passage d’un aspect `a l’autre 2
3 Formules de trigonom´etrie et propri´et´es de θ7→ eiθ 2
4 Conjugaison complexe 3
5 Nombres complexes et vecteurs du plan 4
6 Propri´et´es du module 4
7 Propri´et´es de l’argument 4
8 Remarque sur la forme trigonom´etrique d’un produit ou d’un quotient 4
9 Formules de Moivre et formules d’Euler 5
10 R´esolution dans Cdes ´equations du second degr´e `a coefficients r´eels 5
11 Somme et produit des racines d’un trinˆome du second degr´e 6
12 ´ Equations trigonom´etriques 6
1

1 Trois aspects des nombres complexes
On fixe un rep`ere (O;−→ u , −→ v) du plan et on oriente le plan dans le sens direct. Un nombre complexe za trois
aspects distincts (forme alg´ebrique, forme trigonom´etrique, interpr´etation g´eom´etrique) et pourtant tr`es li´es.
Forme alg´ebrique : Tout nombre complexe zs’´ecrit de fa¸con unique sous la forme z=a+ib, avec a, b ∈R.
aest appel´e partie r´eelle de zet bpartie imaginaire de z.
Forme trigonom´etrique : Tout nombre complexe znon nul s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme z=reiθ ,
o`u r∈R+∗et θ∈]−π;π]. eiθ est d´efini par l’´egalit´e eiθ = cos(θ) + isin(θ). rest appel´e module de zet est not´e
|z|,θest appel´e argument de zet est not´e arg(z).
Interpr´etation g´eom´etrique : ` A chaque point Mdu plan, on fait correspondre un unique nombre complexe
z, appel´e affixe de M. De plus, tout nombre complexe est l’affixe d’un unique point du plan.
2 Passage d’un aspect `a l’autre
y
x
Forme alg´ebrique :z=x+iy, avec xet yr´eels
Point Md’affixe z
xest l’abscisse de M
yest l’ordonn´ee de M
Forme polaire :z=reiθ ,
avec run r´eel positif et θdans ] −π;π]
Interpr´etation g´eom´etrique
r=OM
θ= (−→ u;−−→ OM ) [2π]
x=rcos(θ)
y=rsin(θ)
r=√a2+b2
θest solution dans ] −π;π] de
cos(θ) = a
a2+b2=a r
sin(θ) = a
a2+b2=b r
O−→
u
−→
v
M
r
θ
Remarque : Pour d´eterminer la forme trigonom´etrique d’un nombre complexe donn´e sous forme alg´ebrique,
il est utile de bien connaˆıtre les valeurs des cosinus et sinus des angles remarquables (e.g. : π
2,π 3,π 4,π 6) ou de
savoir les retrouver `a l’aide du cercle trigonom´etrique.
3 Formules de trigonom´etrie et propri´et´es de θ7→ eiθ
Cons´equences de la d´efinition de cosinus et sinus
1. ∀θ∈R−1≤cos(θ)≤1 et −1≤sin(θ)≤1
2. ∀θ∈R, k ∈Zcos(θ+ 2kπ) = cos(θ) et sin(θ+ 2kπ) = sin(θ)
3. ∀θ∈Rcos(−θ) = cos(θ) et sin(−θ) = −sin(θ)
4. ∀θ∈Rcos2(θ) + sin2(θ) = 1.
Formules d’addition
1. ∀θ1, θ2∈Rcos(θ1+θ2) = cos(θ1) cos(θ2)−sin(θ1) sin(θ2)
2

2. ∀θ1, θ2∈Rcos(θ1−θ2) = cos(θ1) cos(θ2) + sin(θ1) sin(θ2)
3. ∀θ1, θ2∈Rsin(θ1+θ2) = sin(θ1) cos(θ2) + cos(θ1) sin(θ2)
4. ∀θ1, θ2∈Rsin(θ1−θ2) = sin(θ1) cos(θ2)−cos(θ1) sin(θ2)
Formules de duplication
1. ∀θ∈Rcos(2θ) = cos2(θ)−sin2(θ)
2. ∀θ∈Rsin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
Les formules de duplication se d´eduisent des formules d’addition (en posant θ=θ1=θ2dans la formule ad hoc).
Transformation d’un cosinus en sinus et r´eciproquement
1. ∀θ∈Rcos π
2−θ= sin(θ)
2. ∀θ∈Rsin π
2−θ= cos(θ)
Ces formules de transformation peuvent se d´eduire des formules d’addition (en posant θ1=π
2et θ2=θdans
la formule ad hoc). On peut les retrouver en utilisant le cercle trigonom´etrique.
Propri´et´es de θ7→ eiθ
1. ∀θ1, θ2∈Reiθ1.eiθ2=ei(θ1+θ2).
2. ∀θ∈R, n ∈Z(eiθ )n=einθ .
Remarque : La formule 1 ci-dessus se d´eduit directement des formules d’addition.
eiθ1.eiθ2= (cos(θ1) + isin(θ1))(cos(θ2) + isin(θ2)) (d´efinition de eiθ1et eiθ2)
= [cos(θ1) cos(θ2)−sin(θ1) sin(θ2)] + i[cos(θ2) sin(θ1) + cos(θ1) sin(θ2)]
= cos(θ1+θ2) + isin(θ1+θ2) (formules 1 et 3 de duplication)
=ei(θ1+θ2)(d´efinition de ei(θ1+θ2))
4 Conjugaison complexe
D´efinition : Soit z=a+ib un nombre complexe, avec a, b ∈R. Le conjugu´e de z, not´e z, est le nombre
complexe d´efini par z=a−ib.
Propri´et´es alg´ebriques de la conjugaison
1. ∀z∈Cz=zsi z∈R, en particulier 0 = 0 et 1 = 1.
2. ∀z∈Cz=z.
3. ∀z1, z2∈Cz1=z2⇐⇒ z1=z2
4. ∀z1, z2∈Cz1+z2=z1+z2.
5. ∀z1, z2∈Cz1.z2=z1.z2.
6. ∀z1∈C, z2∈C∗z1
z2=z1 z2
.
7. ∀z∈C∗, n ∈Zzn= (z)n.
8. ∀θ∈Reiθ =e−iθ .
Caract´erisation des r´eels et des imaginaires purs
1. ∀z∈Cz∈R⇐⇒ z=z.
2. ∀z∈Czimaginaire pur (i.e. z=ib o`u b∈R)⇐⇒ −z=z.
Conjugaison et sym´etrie par rapport `a l’axe des abscisses
Soit Mun nombre complexe d’affixe z. Alors le point du plan d’affixe zest le sym´etrique de Mpar rapport `a
l’axe des abscisses.
3

5 Nombres complexes et vecteurs du plan
D´efinition (affixe d’un vecteur) : Soit −→ wun vecteur du plan et soient Aet Bdeux points du plan tels que
−−→
AB =−→ w. On note zAet zBles affixes respectives de Aet B. L’affixe de −→ w, not´ee z−→
w, est le nombre complexe
d´efini par
z−→
w=zB−zA.
Ce nombre complexe est ind´ependant du choix de Aet B. On a en particulier
z−−→
AB =zB−zA.
6 Propri´et´es du module
Module et op´erations dans C
1. ∀z1, z2∈C|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|(in´egalit´e triangulaire)
2. ∀z1, z2∈C|z1.z2|=|z1|.|z2|
3. ∀z1∈C,z2∈C∗
z1
z2
=|z1|
|z2|
4. ∀z∈C∗, n ∈Z|zn|=|z|n
Module et longueurs
1. Soit −→ wun vecteur du plan. Alors ||−→ w|| =|z−→
w|.
2. Soient M1et M2deux points du plan d’affixes respectives z1et z2, alors M1M2=|| −−−−→ M1M2|| =|z2−z1|.
7 Propri´et´es de l’argument
Exemples d’arguments
1. arg(1) = arg(8) = arg(√2) = 0 et plus g´en´eralement arg(a) = 0 si a∈R+∗
2. arg(−3) = arg(−9) = arg(−√13) = πet plus g´en´eralement arg(a) = πsi a∈R−∗
3. arg(i) = π
2et arg(−i) = −π 2
Argument et op´erations dans C
1. ∀z1, z2∈C∗arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π]
2. ∀z∈C∗, n ∈Zarg(zn) = narg(z) [2π]
3. ∀z1, z2∈C∗arg z1
z2= arg(z1)−arg(z2) [2π]
Argument et angles
1. Soient −→ w1et −→ w2deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z−→
w1et z−→
w2. Alors (−→
w1;−→ w2) = arg z−→
w2
z−→
w1[2π].
2. Soient A,B,Cdes points du plan, tels que A6=Bet A6=C, d’affixes respectives zA,zB,zC. Alors
(−−→ AB;−→ AC) = arg zC−zA
zB−zA[2π].
8 Remarque sur la forme trigonom´etrique d’un produit ou d’un quo-
tient
Si z1et z2sont des nombres complexes non nuls ayant comme formes polaires z1=r1eiθ1et z2=r2eiθ2, alors
•la forme polaire de z1z2est r1r2ei(θ1+θ2),
•la forme polaire de 1
z2
est 1
r2
e−iθ2,
•donc la forme polaire de z1
z2
est r1
r2
ei(θ1−θ2).
La forme polaire est bien adapt´ee aux probl`emes qui comportent des multiplications ou des divisions de nombres
complexes.
4

9 Formules de Moivre et formules d’Euler
Formules de Moivre
1. ∀θ∈R, n ∈Z(cos(θ) + isin(θ))n= cos(nθ) + isin(nθ)
2. ∀θ∈R, n ∈Z(cos(θ)−isin(θ))n= cos(nθ)−isin(nθ)
Formules d’Euler
1. ∀θ∈Rcos(θ) = eiθ +e−iθ
2
2. ∀θ∈Rsin(θ) = eiθ −e−iθ
2i
Toutes ces formules se d´eduisent imm´ediatement des relations eiθ = cos(θ) + isin(θ) et (eiθ )n=einθ , o`u
θ∈R, n ∈Z.
Une application des formules d’Euler : la lin´earisation de polynˆomes trigonom´etriques
Les formules d’Euler permettent de lin´eariser des produits du type cosn(θ), sinm(θ) ou cosn(θ) sinm(θ), o`u θ∈R,
n, m ∈N, c’est-`a-dire de les transformer en somme de termes du type acos(αθ) ou bsin(βθ), o`u a, b, α, β ∈R.
Ces transformations sont particuli`erement pr´ecieuses dans la recherche de primitives.
Exemple de lin´earisation :
cos4(θ) = eiθ +e−iθ
24
(formule d’Euler)
=1
24(eiθ +e−iθ )4
=1
24(ei4θ+ 4ei2θ+ 6 + 4e−i2θ+e−i4θ) (formule du binˆome)
=1
24(ei4θ+e−i4θ+ 4(ei2θ+e−i2θ) + 6)
=1
24(2 cos(4θ) + 4 ×2 cos(2θ) + 6) (formule d’Euler)
=1
8cos(4θ) + 1 2cos(2θ) + 3 8.
10 R´esolution dans Cdes ´equations du second degr´e `a coefficients
r´eels
Th´eor`eme (solution(s) dans Cde ax2+bx +c= 0)
Soit un trinˆome du second degr´e `a coefficients r´eels ax2+bx +c(avec a, b, c ∈Ret a6= 0 donc), et soit
∆ = b2−4ac son discriminant.
•Si ∆ = 0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 a une unique solution : −b
2a.
•Si ∆ >0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 a deux solutions r´eelles : −b−√∆
2aet −b+√∆ 2a.
•Si ∆ <0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 a deux solutions complexes conjugu´ees : −b−i√−∆
2aet
−b+i√−∆
2a.
Application : L’´equation x2+x+ 1 = 0 a deux solutions dans C:j=−1
2+i√3 2et j.
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