Notes sur les nombres complexes et la trigonométrie Table des mati

L.E.G.T.A. Le Chesnoy
D. Blottière
TB2 − 2010-2011
Mathématiques
Notes sur les nombres complexes et la trigonométrie
Table des matières
1 Trois aspects des nombres complexes
2
2 Passage d’un aspect à l’autre
2
3 Formules de trigonométrie et propriétés de θ 7→ eiθ
2
4 Conjugaison complexe
3
5 Nombres complexes et vecteurs du plan
4
6 Propriétés du module
4
7 Propriétés de l’argument
4
8 Remarque sur la forme trigonométrique d’un produit ou d’un quotient
4
9 Formules de Moivre et formules d’Euler
5
10 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels
5
11 Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré
6
12 Équations trigonométriques
6
1
1
Trois aspects des nombres complexes
→
−
On fixe un repère (O; −
u ,→
v ) du plan et on oriente le plan dans le sens direct. Un nombre complexe z a trois
aspects distincts (forme algébrique, forme trigonométrique, interprétation géométrique) et pourtant très liés.
Forme algébrique : Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme z = a + ib, avec a, b ∈ R.
a est appelé partie réelle de z et b partie imaginaire de z.
Forme trigonométrique : Tout nombre complexe z non nul s’écrit de façon unique sous la forme z = reiθ ,
où r ∈ R+∗ et θ ∈] − π; π]. eiθ est défini par l’égalité eiθ = cos(θ) + i sin(θ). r est appelé module de z et est noté
|z|, θ est appelé argument de z et est noté arg(z).
Interprétation géométrique : À chaque point M du plan, on fait correspondre un unique nombre complexe
z, appelé affixe de M . De plus, tout nombre complexe est l’affixe d’un unique point du plan.
2
Passage d’un aspect à l’autre
Interprétation géométrique
Forme algébrique : z = x + iy, avec x et y réels
Point M d’affixe z
b
y
M
x est l’abscisse de M
y est l’ordonnée de M
r=
r
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
θ
−
→
v
b
O
−
→
u
√
a2 + b 2
θ est solution dans ] − π; π] de

a
a
=

cos(θ) = 2


a + b2
r


 sin(θ) =
x
r = OM
−−→
→
θ = (−
u ; OM ) [2π]
a
b
=
a2 + b 2
r
Forme polaire : z = reiθ ,
avec r un réel positif et θ dans ] − π; π]
Remarque : Pour déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe donné sous forme algébrique,
π π π π
il est utile de bien connaı̂tre les valeurs des cosinus et sinus des angles remarquables (e.g. : , , , ) ou de
2 3 4 6
savoir les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.
3
Formules de trigonométrie et propriétés de θ 7→ eiθ
Conséquences de la définition de cosinus et sinus
1. ∀ θ ∈ R
−1 ≤ cos(θ) ≤ 1
et
3. ∀ θ ∈ R
cos(−θ) = cos(θ)
et
2. ∀ θ ∈ R, k ∈ Z
4. ∀ θ ∈ R
−1 ≤ sin(θ) ≤ 1
cos(θ + 2kπ) = cos(θ)
2
2
cos (θ) + sin (θ) = 1.
et
sin(θ + 2kπ) = sin(θ)
sin(−θ) = − sin(θ)
Formules d’addition
1. ∀ θ1 , θ2 ∈ R
cos(θ1 + θ2 ) = cos(θ1 ) cos(θ2 ) − sin(θ1 ) sin(θ2 )
2
2. ∀ θ1 , θ2 ∈ R
3. ∀ θ1 , θ2 ∈ R
4. ∀ θ1 , θ2 ∈ R
cos(θ1 − θ2 ) = cos(θ1 ) cos(θ2 ) + sin(θ1 ) sin(θ2 )
sin(θ1 + θ2 ) = sin(θ1 ) cos(θ2 ) + cos(θ1 ) sin(θ2 )
sin(θ1 − θ2 ) = sin(θ1 ) cos(θ2 ) − cos(θ1 ) sin(θ2 )
Formules de duplication
1. ∀ θ ∈ R
cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ)
2. ∀ θ ∈ R
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
Les formules de duplication se déduisent des formules d’addition (en posant θ = θ1 = θ2 dans la formule ad hoc).
Transformation d’un cosinus en sinus et réciproquement
π
− θ = sin(θ)
1. ∀ θ ∈ R
cos
π2
2. ∀ θ ∈ R
sin
− θ = cos(θ)
2
Ces formules de transformation peuvent se déduire des formules d’addition (en posant θ1 =
la formule ad hoc). On peut les retrouver en utilisant le cercle trigonométrique.
π
et θ2 = θ dans
2
Propriétés de θ 7→ eiθ
1. ∀ θ1 , θ2 ∈ R
eiθ1 .eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) .
2. ∀ θ ∈ R, n ∈ Z
(eiθ )n = einθ .
Remarque : La formule 1 ci-dessus se déduit directement des formules d’addition.
eiθ1 .eiθ2
4
(définition de eiθ1 et eiθ2 )
=
(cos(θ1 ) + i sin(θ1 ))(cos(θ2 ) + i sin(θ2 ))
=
[cos(θ1 ) cos(θ2 ) − sin(θ1 ) sin(θ2 )] + i[cos(θ2 ) sin(θ1 ) + cos(θ1 ) sin(θ2 )]
=
cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )
=
ei(θ1 +θ2 )
(formules 1 et 3 de duplication)
(définition de ei(θ1 +θ2 ) )
Conjugaison complexe
Définition : Soit z = a + ib un nombre complexe, avec a, b ∈ R. Le conjugué de z, noté z, est le nombre
complexe défini par z = a − ib.
Propriétés algébriques de la conjugaison
1. ∀ z ∈ C
z = z si z ∈ R, en particulier 0 = 0 et 1 = 1.
z = z.
2. ∀ z ∈ C
3. ∀ z1 , z2 ∈ C
z1 = z2 ⇐⇒ z1 = z2
z1 + z2 = z1 + z2 .
4. ∀ z1 , z2 ∈ C
5. ∀ z1 , z2 ∈ C
z1 .z2 = z1 .z2 .
z1
z1
= .
6. ∀ z1 ∈ C, z2 ∈ C∗
z2
z2
∗
n
n
7. ∀z ∈ C , n ∈ Z
z = (z) .
8. ∀ θ ∈ R
eiθ = e−iθ .
Caractérisation des réels et des imaginaires purs
1. ∀ z ∈ C
z ∈ R ⇐⇒ z = z.
2. ∀ z ∈ C
z imaginaire pur (i.e. z = ib où b ∈ R) ⇐⇒ −z = z.
Conjugaison et symétrie par rapport à l’axe des abscisses
Soit M un nombre complexe d’affixe z. Alors le point du plan d’affixe z est le symétrique de M par rapport à
l’axe des abscisses.
3
5
Nombres complexes et vecteurs du plan
→
Définition (affixe d’un vecteur) : Soit −
w un vecteur du plan et soient A et B deux points du plan tels que
−−→ −
→
→
−
AB = w . On note zA et zB les affixes respectives de A et B. L’affixe de −
w , notée z→
w , est le nombre complexe
défini par
−
z→
w = zB − zA .
Ce nombre complexe est indépendant du choix de A et B. On a en particulier
−
→ = zB − zA .
z−
AB
6
Propriétés du module
Module et opérations dans C
1. ∀ z1 , z2 ∈ C
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
2. ∀ z1 , z2 ∈ C
|z1 .z2 | = |z1 |.|z2 |
z1 |z1 |
∗
=
3. ∀ z1 ∈ C, z2 ∈ C
z2 |z2 |
∗
n
4. ∀z ∈ C , n ∈ Z |z | = |z|n
(inégalité triangulaire)
Module et longueurs
→
−
−
1. Soit −
w un vecteur du plan. Alors ||→
w || = |z→
w |.
−−−−→
2. Soient M1 et M2 deux points du plan d’affixes respectives z1 et z2 , alors M1 M2 = || M1 M2 || = |z2 − z1 |.
7
Propriétés de l’argument
Exemples d’arguments
√
1. arg(1) = arg(8) = arg( 2) = 0 et plus généralement arg(a) = 0 si a ∈ R+∗
√
2. arg(−3) = arg(−9) = arg(− 13) = π et plus généralement arg(a) = π si a ∈ R−∗
π
π
3. arg(i) = et arg(−i) = −
2
2
Argument et opérations dans C
1. ∀ z1 , z2 ∈ C∗
arg(z1 .z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) [2π]
∗
2. ∀ z ∈ C , n ∈ Z arg(z n ) = n arg(z) [2π]
z1
= arg(z1 ) − arg(z2 ) [2π]
3. ∀ z1 , z2 ∈ C∗
arg
z2
Argument et angles
−
→
zw
2
[2π].
→
z−
w
1
2. Soient A, B, C des pointsdu plan, tels que A =
6 B et A =
6 C, d’affixes respectives zA , zB , zC . Alors
zC − zA
−−→ −→
(AB; AC) = arg
[2π].
zB − zA
→ et −
→ deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z−→ et z−→ . Alors (−
→; −
→
1. Soient −
w
w
w
1
2
1 w2 ) = arg
w1
w2
8
Remarque sur la forme trigonométrique d’un produit ou d’un quotient
Si z1 et z2 sont des nombres complexes non nuls ayant comme formes polaires z1 = r1 eiθ1 et z2 = r2 eiθ2 , alors
• la forme polaire de z1 z2 est r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) ,
1
1
est e−iθ2 ,
z2
r2
r1
z1
est ei(θ1 −θ2 ) .
• donc la forme polaire de
z2
r2
• la forme polaire de
La forme polaire est bien adaptée aux problèmes qui comportent des multiplications ou des divisions de nombres
complexes.
4
9
Formules de Moivre et formules d’Euler
Formules de Moivre
1. ∀ θ ∈ R, n ∈ Z
2. ∀ θ ∈ R, n ∈ Z
(cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + i sin(nθ)
(cos(θ) − i sin(θ))n = cos(nθ) − i sin(nθ)
Formules d’Euler
1. ∀ θ ∈ R
2. ∀ θ ∈ R
eiθ + e−iθ
2
eiθ − e−iθ
sin(θ) =
2i
cos(θ) =
Toutes ces formules se déduisent immédiatement des relations eiθ = cos(θ) + i sin(θ) et (eiθ )n = einθ , où
θ ∈ R, n ∈ Z.
Une application des formules d’Euler : la linéarisation de polynômes trigonométriques
Les formules d’Euler permettent de linéariser des produits du type cosn (θ), sinm (θ) ou cosn (θ) sinm (θ), où θ ∈ R,
n, m ∈ N, c’est-à-dire de les transformer en somme de termes du type a cos(αθ) ou b sin(βθ), où a, b, α, β ∈ R.
Ces transformations sont particulièrement précieuses dans la recherche de primitives.
Exemple de linéarisation :
cos4 (θ)
10
eiθ + e−iθ
2
4
=
=
1 iθ
(e + e−iθ )4
24
=
1 i4θ
(e + 4ei2θ + 6 + 4e−i2θ + e−i4θ )
24
=
1 i4θ
(e + e−i4θ + 4(ei2θ + e−i2θ ) + 6)
24
=
1
(2 cos(4θ) + 4 × 2 cos(2θ) + 6)
24
=
1
1
3
cos(4θ) + cos(2θ) + .
8
2
8
(formule d’Euler)
(formule du binôme)
(formule d’Euler)
Résolution dans C des équations du second degré à coefficients
réels
Théorème (solution(s) dans C de ax2 + bx + c = 0)
Soit un trinôme du second degré à coefficients réels ax2 + bx + c (avec a, b, c ∈ R et a 6= 0 donc), et soit
∆ = b2 − 4ac son discriminant.
• Si ∆ = 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 a une unique solution : −
b
.
2a
√
√
−b − ∆
−b + ∆
• Si ∆ > 0, alors l’équation ax + bx + c = 0 a deux solutions réelles :
et
.
2a
2a
√
−b − i −∆
2
et
• Si ∆ < 0, alors l’équation ax + bx + c = 0 a deux solutions complexes conjuguées :
2a
√
−b + i −∆
.
2a
√
3
1
2
Application : L’équation x + x + 1 = 0 a deux solutions dans C : j = − + i
et j.
2
2
2
5
11
Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré
Théorème : Soit ax2 + bx + c un trinôme du second degré à coefficients réels. On a l’équivalence :
(x1 et x2 sont solutions de ax2 + bx + c = 0)
⇐⇒
(x1 + x2 = −
b
c
et x1 x2 = ).
a
a
Deux applications
1. Connaissant une racine de ax2 + bx + c = 0 (par exemple une
de c et a.
≪
évidente ≫), on en déduit l’autre, à l’aide
Exemple : On remarque que 1 est solution de 2x2 + 43x − 45 = 0. Comme le produit des racines vaut
45
45
− , on en déduit, sans calcul, que −
est l’autre racine.
2
2
x1 + x2 = S
2. Résolution de systèmes du type
d’inconnue (x1 , y2 ), où S et P sont des réels donnés.
x1 x2 = P
x1 + x2 = S
D’après le théorème, x1 et x2 sont solutions de
si et seulement si x1 et x2 sont racines
x1 x2 = P
2
de x − Sx + P . On est donc ramené à résoudre une équation du second degré à coefficients réels, ce que
l’on sait faire.
Exemple :
12
x1 + x2 = 15
x1 x2 = 26
⇐⇒
x1 et x2 solutions de x2 − 15x + 26 = 0
⇐⇒
(x1 = 2 et x2 = 13) ou (x1 = 13 et x2 = 2).
Équations trigonométriques
Cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus
Soient x et a deux nombres réels.

x = a [2π]

1. cos(x) = cos(a) ⇐⇒
ou

x = −a [2π]
2. sin(x) = sin(a)
⇐⇒



x = a [2π]
ou
x=π−a
[2π]
Ces résultats peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.
Étude de l’équation a cos(x) + b sin(x) = c, avec a, b, c ∈ R, avec a et b non nuls, d’inconnue x dans R.
• Méthode
On introduit le nombre complexe z = a + ib que l’on écrit sous forme trigonométrique : z = reiθ .
– En pratique, on peut souvent déterminer θ explicitement, mais pas toujours. Si on ne peut pas, on
continue la résolution en gardant simplement θ, défini comme étant l’argument de z.
– On a donc a = r cos(θ) et b = r sin(θ).
a cos(x) + b sin(x) = c ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
6
b
c
a
cos(x) + sin(x) =
r
r
r
c
cos(θ) cos(x) + sin(θ) sin(x) =
r
c
cos(x − θ) =
r
c
En pratique, est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est donc ramené à un cas d’égalité de
r
deux cosinus, que l’on sait traiter.
• Exemple : Résolution de
√
√
√
6 cos(x) + 2 sin(x) = 2.
On introduit le nombre complexe z =
√
|z| = 2 2
√
√
√
6 + i 2 et on l’écrit sous forme trigonométrique.
!
√
√
√ π
i
3
et
z=2 2
= 2 2ei 6 .
+
2
2
√
√
6 cos(x) + 2 sin(x) = 2
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
L’ensemble des solutions de
√
√
√
6
2
2
cos(x) +
sin(x) =
|z| |z|
π |z|
1
π
cos(x) + sin
sin(x) =
cos
6
6
2
π π
cos x −
= cos
6
3

π
π

[2π]
x− =


6
3
ou

π
π


[2π]
x− =−
6
3

π

x=
[2π]


2
ou

π


x=−
[2π]
6
√
√
√
6 cos(x) + 2 sin(x) = 2 est donc
o n π
o
nπ
+ 2kπ; k ∈ Z ∪ − + 2kπ; k ∈ Z .
2
6
7