Champs Quantiques Relativistes

Champs Quantiques Relativistes
Notes du cours du Professeur Mikha¨ıl Shaposhnikov
Sven Bachmann
2007
Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne
Facult´e des Sciences de Base, Section de Physique
Institut de Th´eorie des Ph´enom`enes Physiques
Laboratoire de Physique des Particules et de Cosmologie

Table des mati`eres
I Les Champs Libres 1
1 Champs classiques 3
1.1 Lesyst`emed’unit´es..................................... 3
1.2 Les interactions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Les formalismes lagrangien et hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 M´ecaniqueanalytique ............................... 5
1.3.2 Des points mat´eriels aux champs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Exemples ...................................... 9
2 Sym´etries continues et lois de conservation 11
2.1 Rappels ´el´ementaires sur les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Groupes de Poincar´e et de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Lessym´etries ........................................ 14
2.3.1 D´efinition...................................... 14
2.3.2 Transformations infinit´esimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Le th´eor`eme de Noether : lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Le champ scalaire 19
3.1 Lagrangien ; ´equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Invariantsdynamiques................................... 20
3.3 Th´eorie quantique du champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Quantification des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Construction explicite de l’espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.3 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.4 Repr´esentation de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.5 Le spin du champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.6 R´esum´e de la d´emarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Le champ scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Lagrangien et quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Sym´etries : la charge ´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.3 Lesantiparticules.................................. 32
4 Le champ vectoriel 35
4.1 Lechampvectorielmassif ................................. 35
4.1.1 Construction de la densit´e lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Nombre de champs ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.3 Invariants dynamiques : ´energie et quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . 39
4.1.4 Quantification ................................... 40
i

ii TABLE DES MATI ` ERES
4.1.5 Le spin du champ vectoriel massif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Le champ vectoriel sans masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Th´eorieclassique.................................. 47
4.2.2 Une nouvelle sym´etrie : la sym´etrie de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Le champ spinoriel 51
5.1 Groupe de Lorentz et SL(2,C) .............................. 51
5.1.1 Repr´esentation matricielle de l’espace de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Repr´esentation de L↑
+sur MH(2,C) ........................... 52
5.3 LespineurdeDirac..................................... 53
5.3.1 Le spineur `a deux composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.2 Le spineur de Dirac `a quatre composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3 L’´equationdeDirac ................................ 56
5.3.4 La d´emarche historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Invariantsdynamiques................................... 59
5.4.1 Le tenseur ´energie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.2 Lemomentcin´etique................................ 60
5.4.3 Lacharge ...................................... 61
5.5 Quantification........................................ 61
5.5.1 L’´equation de Dirac en repr´esentation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.2 Solution dans l’espace ~ k.............................. 62
5.5.3 Relations d’anticommutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.4 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.5 Autres invariants dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.6 Lespin ....................................... 67
5.6 L’interpr´etation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.7 Le champ fermionique sans masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.8 LesfermionsdeMajorana ................................. 69
5.9 Conclusion ......................................... 70
6 Sym´etries discr`etes 71
6.1 Laparit´e .......................................... 71
6.1.1 Champscalaire................................... 72
6.1.2 Champvectoriel .................................. 72
6.1.3 Champspinoriel .................................. 73
6.2 Laconjugaisondecharge ................................. 74
II Champs en interaction 77
7 Interactions et r`egles de Feynman 81
7.1 Collisions .......................................... 81
7.1.1 Lasectionefficace ................................. 81
7.2 Tempsdevie ........................................ 82
7.3 La matrice S........................................ 83
7.3.1 D´efinition...................................... 83
7.3.2 Matrice Settempsdevie............................. 85
7.3.3 Matrice Setsectionefficace............................ 86
7.4 La matrice Sen th´eorie de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4.1 Las´eriedeDyson ................................. 87

TABLE DES MATI ` ERES iii
7.4.2 Exemple : la d´esint´egration du boson de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Lesr`eglesdeFeynman................................... 91
7.5.1 Produit normal et th´eor`emes de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.5.2 R`egles de Feynman : concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.5.3 R`egles de Feynman pour la th´eorie λφ4..................... 95
7.5.4 Propagateurs .................................... 97
7.5.5 R`egles de Feynman pour l’´electrodynamique quantique . . . . . . . . . . . . . 102
7.5.6 Processus en ´electrodynamique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.5.7 Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8 Les sym´etries globales 107
8.1 Groupes et alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.1.1 Quelques groupes de Lie matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.1.2 Alg`ebresdeLie...................................108
8.2 L’isospinpourlenucl´eon..................................110
8.3 L’isospinpourlepion ...................................111
9 Sym´etries locales et champs de jauge 115
9.1 Le cas de l’´electrodynamique quantique : groupe ab´elien . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.1.1 Le champ Aµcomme champ de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.1.2 L’´electrodynamique quantique scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2 Sym´etries de jauges non ab´eliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.2.1 LegroupeSU(2) ..................................118
9.2.2 Le groupe SU(3) : la chromodynamique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.2.3 Discussion qualitative et perspective historique . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10 Brisures de sym´etrie et m´ecanisme de Higgs 129
10.1 Brisure d’une sym´etrie globale, discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2 Brisure d’une sym´etrie globale, continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.2.1 Sym´etrieU(1) ...................................131
10.2.2 Sym´etrieU(2) ...................................134
10.3 Sym´etrie locale, continue, et m´ecanisme de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
11 Le Mod`ele Standard 139
11.1Lemod`eledeWeinberg ..................................139
11.1.1 Groupe de jauge et repr´esentation chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.1.2 Le Lagrangien du mod`ele ´electrofaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.1.3 Spectre de la th´eorie : secteur bosonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.1.4 Commentaires ...................................144
11.1.5 Spectre de la th´eorie : secteur fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.1.6 Commentaires g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.2 Interactions ´electromagn´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.2.1 Interaction ´electromagn´etique des fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.2.2 Interaction ´electromagn´etique des bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.2.3 Interactionsfaibles.................................148
11.3 Les quarks et le Mod`ele Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.3.1 Groupe de jauge et champs du Mod`ele Standard . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.3.2 Termes de Yukawa et matrice de Kobayashi-Maskawa . . . . . . . . . . . . . 152
A Exercices 157

iv TABLE DES MATI ` ERES