Géométrie affine et euclidienne
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Chapitre 25
Géométrie affine et euclidienne
Objectifs
–
–
–
–
Définir les notions de : espaces affines, sous-espaces affines, applications affines et leurs propriétés.
Rappeler la notion de barycentre et définir la notion de convexité.
Calculer la distance d’un point à un sous-espace affine.
Étudier les isométries. Faire la classification en dimension 1, 2 et 3.
Sommaire
I)
Espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Sous - espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Parallélisme, orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Repères cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II) Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Propriétés des applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Expression analytique d’une application affine . . . . . . . . . . . . . . .
III) Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Parties convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV) Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Calculs de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Isométries, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Isométries de la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Isométries du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5)
Isométries de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
3
3
4
4
4
5
7
7
7
7
8
9
9
11
11
11
12
13
Dans ce chapitre, E désigne un R - e.v. de dimension finie.
I)
Espace affine
1)
Translations
→
→
→
→
→
Soit −
u ∈ E, la translation de vecteur −
u est l’application 1 t −u→ : E → E définie par t −u→ (−
v )=−
u +−
v .
L’ensemble de ces applications est noté T E et il est facile de vérifier que (T E , ◦) est un groupe abélien, c’est
un sous - groupe du groupe des permutations de E.
−
→
→
1. non linéaire si −
u 6= 0 .
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1
Espace affine
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
→
→ sont deux vecteurs de E, alors il existe un unique vecteur −
→
→
→. Cette
Si −
v ,−
w
u ∈ E tel que t −u→ (−
v )=−
w
propriété très simple, suggère un autre point de vue pour les éléments de E : la notion de points.
DÉFINITION 25.1
Un espace affine est un espace vectoriel dont les éléments sont vus tantôt comme des points (lettres
majuscules), tantôt comme des vecteurs (minuscules). D’une façon imagée, on peut dire qu’un point
est la pointe de la flèche d’un vecteur. Si de plus E est muni d’un produit scalaire, alors on dira
que (E, (.|.)) est un espace affine euclidien, dans ce cas, la distance entre deux points A et B est
d(A, B) = kB − Ak.
La propriété précédente peut alors s’énoncer sous la forme suivante : si A et B sont deux points de E,
−→
→
→
alors il existe un unique vecteur −
u tel que B = t −u→ (A). Ce vecteur −
u est noté : AB , on remarquera que
−→
−→
AB = B − A, et que A + AB = B.
A
−→
AB
−
→
0
B
FIGURE 25.1: Notion de points
2)
Sous - espaces affines
DÉFINITION 25.2
Un sous - espace affine de E est l’image d’un s.e.v. de E par une translation. Soit V une partie de E,
→
V est un s.e.a. de E ssi il existe un s.e.v V et un vecteur −
u tel que V = t −u→ < V >, si c’est le cas,
V est appelé direction du s.e.a. V (ce que l’on écrira : (V , V )), et on pose dim(V ) = dim(V ). On
remarquera qu’un s.e.v. est un s.e.a. de direction lui - même.
Propriétés :
– Si V est un s.e.a. de direction V , alors V est unique (mais pas le vecteur de la translation), de plus V
est un s.e.v. ssi V contient le vecteur nul.
−→
→
→
– Si (V ,V ) est un s.e.a. alors ∀ A ∈ V , V = {A + −
u /−
u ∈ V }, et V = {AB / B ∈ V }, on remarquera
−→
que ∀ B ∈ E, B ∈ V ⇐⇒ AB ∈ V .
– Si (V ,V ) est un s.e.a. de E, alors V est un espace affine isomorphe à V . C’est à dire que V peut être
muni d’une structure d’espace vectoriel isomorphe à V .
– Si (V ,V ) et (V 0 ,V 0 ) sont deux s.e.a. de E, et si V ∩ V 0 n’est pas vide, alors V ∩ V 0 est un s.e.a de
direction V ∩ V 0 .
−→
– Soient (V ,V ) et (V 0 ,V 0 ) sont deux s.e.a. de E, soient A ∈ V et A0 ∈ V 0 , alors V ∩ V 0 =
6 ; ⇐⇒ AA0 ∈
V + V 0 . On remarquera que la condition est nécessairement remplie lorsque E = V + V 0 .
Exercice: Étudier les s.e.a. de E lorsque dim(E) = 1, 2, 3.
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Espace affine
3)
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
Parallélisme, orthogonalité
DÉFINITION 25.3
Soient (V , V ) et (V 0 , V 0 ) deux s.e.a. de E, on dit que V est parallèle à V 0 lorsque V ⊂ V 0 . On dit que
V et V 0 sont parallèles lorsque V = V 0 (même direction). Si E est euclidien, on dit que V et V 0 sont
⊥
orthogonaux lorsque V et V 0 sont deux s.e.v. orthogonaux de E (V ⊂ V 0 ), si A ∈ E, l’orthogonal à V
passant par A est le s.e.a. de E contenant A et de direction V ⊥ .
Propriétés :
– Deux s.e.a. parallèles sont soit égaux, soit d’intersection vide (on dit qu’ils sont strictement parallèles).
– Soient (V , V ) et (V 0 , V 0 ) deux s.e.a. de E, si V est parallèle à V 0 , alors soit V ⊂ V 0 , soit V ∩ V 0 = ;.
Exercice: Étudier la position relative de deux s.e.a. en dimension 2 et 3.
4)
Repères cartésiens
DÉFINITION 25.4
−
→
Un repère cartésien R = (O, −
e→
1 , . . . , en ) de E, est la donnée d’un point O de E (appelé origine
−
→
e→
du repère), et d’une base B = (e1 , . . . , −
n ) de E. Si E est euclidien et que B est une b.o.n.d. de
E, on dira que le repère R est un repère orthonormal direct. Pour tout point M de E, on appelle
−−→
coordonnées de M dans le repère R, les coordonnées du vecteur OM dans la base B. On remarquera
qu’il s’agit des coordonnées de M − O dans la base B.
Représentation(s) paramétrique(s) d’un s.e.a. : Soit (V , V ) un s.e.a. de E, soit R = (O, B) un repère
−
→
cartésien de E, soit U = (−
v→
1 , . . . , vp ) une base de V , et soit A ∈ V . Notons Ci la matrice colonne des
coordonnées du vecteur −
v→
i dans la base B, et C0 la matrice colonne des coordonnées de A dans le repère
−−→
R. Soit M ∈ E, notons X la matrice colonne des coordonnées de M dans le repère R, M ∈ V ⇐⇒ AM ∈ V
ce qui équivaut à :
∃ λ1 , . . . , λ p ∈ R, X = C0 + λ1 C1 + · · · + λ p C p
Ce système est appelé un paramétrage de V .
Équation(s) cartésienne(s) d’un hyperplan affine : Soit R = (O, B) un repère de E, avec dim(E) =
→
→
u 1, . . . , −
u n−1 ) une base de H, et soit A ∈ H .
n, soit (H , H) un hyperplan affine de E, soit U = (−
−−→
Un point M de coordonnées (x 1 , . . . , x n ) appartient à H ssi AM ∈ H, ce qui revient à dire que la
−−→
−−→
→
→
famille U ∪ {AM } est une famille liée, ce qui est encore équivalent à : detB (−
u 1, . . . , −
u n−1 , AM ) = 0, en
développant ce déterminant sur sa dernière colonne, on obtient une équation cartésienne de H de la forme :
a1 x 1 + · · · + an x n = b avec au moins un des coefficients ai non nul, et b une constante. On remarquera
qu’une équation cartésienne de la direction (ie de H) est a1 x 1 + · · · + an x n = 0. Si E est euclidien et la base
−−→
→
→
orthonormale, alors une telle équation peut s’écrire à l’aide d’un produit scalaire : (−
u |AM ) = 0 où −
u , de
coordonnées (a1 , . . . , an ), est un vecteur normal à H.
Exercice: Montrer que la réciproque est vraie, c’est à dire que les points de coordonnées (x 1 , . . . , x n ) vérifiant une
équation du type a1 x 1 + · · · + an x n = b avec au moins un des coefficients ai non nul, forment un hyperplan affine de
direction l’hyperplan vectoriel d’équation cartésienne a1 x 1 + · · · + an x n = 0.
Changement de repère : Soient R = (O, B) et R 0 = (O0 , B 0 ) deux repères cartésiens de E, notons P
la matrice de passage de B à B 0 . Soit M ∈ E, soit X la matrice colonne des coordonnées de M dans
−−→
−−→
−−→
le repère R, et X 0 dans le repère R 0 . On a X = CoordB (OM ) = CoordB (OO0 ) + CoordB (O0 M ) =
−−→
−−→
CoordB (OO0 ) + P × CoordB 0 (O0 M ), c’est à dire :
X = CoordR (O0 ) + P × X 0 et donc X 0 = CoordR 0 (O) + P −1 × X .
Cas particuliers : Si on change seulement d’origine, alors P = I n et donc X 0 = CoordR 0 (O) + X . Si on
garde la même origine et que l’on change de base, alors X 0 = P −1 × X .
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Applications affines
II)
1)
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
Applications affines
Définition, exemples
DÉFINITION 25.5
Soit E et F deux R e.v. et soit f : E → F une application, on dit que f est une application affine
→
→
lorsqu’il existe −
u ∈ F et g ∈ L (E, F ) tels que : f = t −u→ ◦ g. C’est à dire : ∀ M ∈ E, f (M ) = −
u + g(M ).
Lorsque F = R, on dit que f est une forme affine.
Exemples:
– Il découle de la définition qu’une application linéaire est une application affine.
– De même, une translation est une application affine et sa partie linéaire est l’identité.
THÉORÈME 25.1
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
→
Si f : E → F est affine, alors on sait qu’il existe −
u ∈ F et g ∈ L (E, F ) tels que f = t −u→ ◦ g. Le
−
→
−
→
−
→
vecteur u est unique ( u = f ( 0 )), et l’application linéaire g est unique, on la notera : L f (partie
−−−−−−→
−−→
linéaire de f ), de plus, on a la relation suivante : ∀ A, M ∈ E, f (A) f (M ) = L f (AM ), ou encore :
−−→
→
→
→
∀ A, M ∈ E, f (M ) = f (A) + L f (AM ), ou encore : ∀ A ∈ E, ∀ −
u ∈ E, f (A + −
u ) = f (A) + L f (−
u ). De
−−−→
plus, si A ∈ E, f possède des points fixes ssi Af (A) ∈ Im(L f − id), auquel cas l’ensemble des points
fixes de f (noté Inv( f )) est un s.e.a. de direction ker(L f − id).
−
→
−
→
−
→
→
→
Preuve: g étant linéaire, on a g( 0 ) = 0 , donc −
u = f ( 0 ) ce qui prouve l’unicité de −
u . Mais alors g = t −−u→ ◦ f ce
−−→
−
→
−
→
qui prouve l’unicité de g. Soit A, M ∈ E, f (M ) − f (A) = u + g(M ) − u − g(A) = g(M − A) = g(AM ).
−−−→
−−→
−−→
f (M ) = M ⇐⇒ f (A) + L f (AM ) = M ⇐⇒ Af (A) = (id − L f )(AM ). Si c’est le cas et si A désigne un point fixe,
→
→
alors M ∈ Inv( f ) ⇐⇒ M − A = −
u + L f (M ) − [−
u + L f (A)] = L f (M − A).
→
Exemple: homothéties affines. Si L f = hλ = λid une homothétie vectorielle (λ ∈ R\{0; 1}), soit −
u ∈ E et f = t −u→ ◦hλ .
id − h est une homothétie de rapport 1 − λ 6= 0, c’est un automorphisme de E, donc f possède un unique point fixe :
−−→
−−→
C. On a alors M 0 = f (M ) ⇐⇒ M 0 − C = M 0 − C 0 = h(M − C) i.e. C M 0 = λC M , on dit que f est l’homothétie de
centre C et de rapport λ.
2)
Propriétés des applications affines
– Une application affine f est entièrement déterminée par la donnée d’un point O et son image
O0 = f (O), et la partie linéaire L f .
– Soient f : E → F et g : F → G deux applications affines, alors f ◦ g est une application affine de E
vers G, et L f ◦g = L f ◦ L g .
– Soit f : E → F une application affine, soit (H , H) un s.e.a. de E, alors f < H > est un s.e.a. de F de
direction L f < H >.
– Une application affine transforme trois points alignés en trois points alignés, et conserve le parallélisme.
→
– Soit f : E → E une application affine et soit A ∈ E, il existe un unique vecteur −
u ∈ E et une unique
application affine g tels que : f = t −u→ ◦ g avec g(A) = A.
Exemples:
– Projection affine : si p est affine de E vers E et si p ◦ p = p, alors L p ◦ L p = L p donc L p est une projection
vectorielle sur F = ker(L p − id) parallèlement à G = ker(L p ), alors Im(p − id) = ker(p) = G. Soit A un point et
−→
A0 son image, alors p(A0 ) = A0 , A0 est donc invariant, on en déduit que AA0 ∈ Im(L p − id E ) = ker(L p ) et que
l’ensemble des invariants de p est le s.e.a. F passant par A et dirigé par F = ker(L p − id E ), A0 appartient au
s.e.a. passant par A et de direction G, si on note GA celui-ci, alors {A0 } = GA ∩ F . On dit que :
p est la projection affine sur F et parallèlement à G.
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4
Applications affines
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
G = ker(L p )
−
→
0
A
GA
F = ker(L p − id)
F = Inv(p)
A0 = p(A)
FIGURE 25.2: Projection affine
– Symétrie affine : si s est affine de E vers E et si s ◦ s = id E , alors Ls ◦ Ls = id E donc Ls est une symétrie vectorielle
par rapport à F = ker(Ls − id) et parallèlement à G = ker(Ls + id), et on a Im(Ls − id) = ker(Ls + id) = G.
−→ −−−−−→
−→
−→
Soit A ∈ E et A0 son image, on a AA0 = s(A0 )s(A) = Ls (A0 A ), donc AA0 ∈ G, on en déduit que s à des points
−−→
−
→ −→
−
→
invariants, si on pose I le milieu de [A, A0 ], alors AI ∈ G donc A0 I 0 = −AI = A0 I et donc I 0 = I : c’est un point
invariant, on en déduit que l’ensemble des points invariants est le s.e.a. F passant par I et dirigé par F . On dit
que :
s est la symétrie affine par rapport à F et parallèlement à G.
G = ker(Ls + id)
−
→
0
A
F = ker(Ls − id)
F = Inv(s)
I = p(A)
A0 = s(A)
FIGURE 25.3: Symétrie affine
3)
Groupe affine
DÉFINITION 25.6
On dit que f : E → F est un isomorphisme affine de E vers F lorsque f est affine et bijective. Lorsque
F = E, on dit que f est un automorphisme affine de E, l’ensemble des automorphismes affines de E
est noté GA(E) et appelé groupe affine de E. On remarquera que G L(E) ⊂ GA(E).
Exemples:
– Une translation est un automorphisme affine.
– Une homothétie de centre C et de rapport non nul λ, est un automorphisme affine.
– Une projection affine qui n’est pas id E n’est pas un automorphisme affine.
– Une symétrie affine est un automorphisme affine.
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Applications affines
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
THÉORÈME 25.2
Ð
Ð Une application affine f : E → F est un isomorphisme affine ssi L f est isomorphisme vectoriel
Ð de E vers F , si c’est le cas, alors f −1 est également une application affine et sa partie linéaire est
Ð
Ð L −1 = [L ]−1 . En particulier, lorsque F = E, f ∈ GA(E) ssi L ∈ G L(E).
f
f
f
Preuve: On a f = t −u→ ◦ L f , comme t −u→ est une bijection, il en découle que f est bijective ssi L f est bijective. Si c’est le
cas, alors f −1 = [L f ]−1 ◦ t −−u→ = t −L f −1 (−u→) ◦ [L f ]−1 , ce qui prouve que f −1 est affine de partie linéaire [L f ]−1 .
Conséquence : GA(E), l’ensemble des automorphismes affines de E, est un groupe pour la loi ◦, d’où le
nom de groupe affine de E (c’est un sous - groupe du groupe des permutations de E).
DÉFINITION 25.7 (affinité)
Soit (V , V ) un s.e.a. de E, soit G un supplémentaire de V , soit α un réel, et soit p la projection
affine sur V parallèlement à G. Pour tout point M de E, on note f (M ) = M 0 le point défini par
−−−−−→
−−−−−→
p(M )M 0 = α p(M )M . L’application f ainsi définie est appelé affinité de rapport α, par rapport à V
et parallèlement à G. On remarquera que pour α = 0 on a f = p, pour α = 1, on a f = id E , et pour
α = −1 on a f = sV la symétrie affine par rapport à V et parallèlement à G.
G
−
→
0
M
V
M 0 = f (M )
p(M )
V
THÉORÈME 25.3
Ð
Ð L’affinité f définie ci - dessus et une application affine, de plus, si α 6= 0 alors f est un automorphisme
Ð
affine, et la réciproque est l’affinité par rapport à V , parallèlement à G, et de rapport 1/α.
−
→
Preuve: On a f (M ) = p(M ) + αM − αp(M ) = (1 − α)p( 0 ) + [αid E + (1 − α)L p ](M ), ce qui prouve que f est affine
avec L f = αid E + (1 − α)L p . D’autre part, on a par construction, p(M 0 ) = p(M ), d’où en reprenant la définition,
−−−−−−
→
1 −−−−−−→
p(M 0 )M 0 = p(M 0 )M 0 , ce qui prouve que M 0 est l’image de M par l’affinité de rapport 1/α, par rapport à V et
α
parallèlement à G.
Groupe des homothéties - translations : L’application L : GA(E) → G L(E) définie par L( f ) = L f est un
morphisme de groupes. Son noyau est ker(L) = T E , on retrouve que l’ensemble des translations de E est
un groupe pour la loi ◦. Notons H v (E) l’ensemble des homothéties vectorielles de E (de rapport non nul),
H v (E) est un sous - groupe de G L(E), donc son image réciproque par L est un sous - groupe de GA(E), or
cette image réciproque est l’ensemble des automorphisme affines dont la partie linéaire est une homothétie
vectorielle, donc L −1 < H v (E) >= T E ∪ H E , ensemble des translations et des homothéties affines de E,
appelé groupe des homothéties - translations.
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Barycentres
4)
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
Expression analytique d’une application affine
Soit R = (O, B) un repère cartésien de E, R 0 = (I, B 0 ) un repère cartésien de F , et f : E → F
une application affine. Pour M ∈ E, on pose M 0 = f (M ), X = CoordR (M ), Y = CoordR 0 (M 0 ) et Y0 =
CoordR 0 (O0 ). On a :
−−→
Y =CoordB 0 ( I M 0 )
−−→
−−−→
=CoordB 0 ( IO0 ) + CoordB 0 (O0 M 0 )
−−→
=CoordR 0 (O0 ) + CoordB 0 (L f (OM ))
=Y0 + mat0 (L f )X
B,B
On obtient ainsi la relation :
Y = Y0 + AX où Y0 = CoordR 0 (O0 ), X = CoordR (M ) et A = mat0 (L f ).
B,B
Cette relation écrite sous la forme d’un système est appelée expression analytique de f dans les repères
R et R 0 :
y = u1 + a11 x 1 + · · · + a1p x p
1
..
..
..
..
.
.
.
.
.
yn = un + an1 x 1 + · · · + anp x p
III)
1)
Barycentres
Définition
DÉFINITION 25.8
Soit A1 , · · · , An des points de E, et α1 , · · · , αn des réels, On appelle système de points pondérés la
famille S = ((A1 , α1 ), · · · , (An , αn )), et on appelle poids du système S le nombre p(S) = α1 + · · · + αn .
Lorsque le poids du système S est non nul, on appelle barycentre du système S le point GS défini par
α1
αn
GS =
A1 + · · · +
An , ce que l’on note : GS = Bar[(A1 , α1 ), · · · , (An , αn )]. Lorsque tous les
p(S)
p(S)
coefficients αi sont égaux, GS est appelé isobarycentre (ou centre de gravité) du système S.
2)
Propriétés
– Si G = Bar[(A1 , α1 ), · · · , (An , αn )] alors ∀λ ∈ R∗ , G = Bar[(A1 , λα1 ), · · · , (An , λαn )]. En prenant
λ = 1/p(S), on peut imposer que le poids du système vaut 1.
– Soit S = ((A1 , α1 ), · · · , (An , αn )) un système de poids non nul, et soit G ∈ E, alors :
G = Bar(S) ⇐⇒
n
X
→
−−→ −
αi GAi = 0 .
i=1
– Soit S = ((A1 , α1 ), · · · , (An , αn )) un système de poids non nul, et soit G ∈ E, alors :
G = Bar(S) ⇐⇒ ∃ M ∈ E,
n
X
−−→
−−→
αi M Ai = p(S) M G .
i=1
Si c’est le cas, alors l’égalité de droite a lieu pour tout point M ∈ E. En particulier, si R = (O, B) est
n
P
αi
un repère de E, en prenant M = O, on obtient que CoordR (G) =
CoordR (Ai ).
i=1 p(S)
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7
Barycentres
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
– Si (H , H) est un s.e.a. de E, alors H est stable par barycentration, c’est à dire que pour tout système
pondéré de points de H et de poids non nul, le barycentre correspondant est dans H .
n
αi −−→
−−→ P
Preuve: Si G = Bar[(A1 , α1 ), · · · , (An , αn )], alors A1 G =
A1 Ai ∈ H.
i=2 p(S)
– Une application affine conserve le barycentre, c’est à dire si G = Bar[(A1 , α1 ), · · · , (An , αn )], alors
f (G) = Bar[( f (A1 ), α1 ), · · · , ( f (An ), αn )].
Preuve: On a
n
P
n
P
→
−
→
−−→ −
−−→
αi GAi = 0 , donc
αi L f (GAi ) = 0 , c’est à dire :
i=1
i=1
n
X
−−−−−−−→ −
→
αi f (G) f (Ai ) = 0
i=1
ce qui prouve le résultat.
– Associativité du barycentre : Soit G = Bar[(A1 , α1 ), · · · , (An , αn )], on considère le sous - système
S 0 = [(A1 , α1 ), · · · , (Ak , αk )], avec 1 ¶ k < n, on suppose p(S 0 ) 6= 0 et on pose :
G 0 = Bar[(A1 , α1 ), · · · , (Ak , αk )]
alors on a :
G = Bar[(G 0 , p(S 0 )), (Ak+1 , αk+1 ), · · · , (An , αn )]
Preuve: On a p(S)G = α1 A1 + · · · + αk Ak + αk+1 Ak+1 + · · · + αn An = p(S 0 )G 0 + αk+1 Ak+1 + · · · + αn An , ce qui
prouve la formule.
Exercice: Intersection des trois médianes du triangle.
3)
Parties convexes
DÉFINITION 25.9 (segment)
Soit A et B deux points distincts de E, le segment [A, B] est l’ensemble des barycentres des points A et
B affectés de coefficients de même signe (et de somme non nulle). D’après les propriétés précédentes,
on peut écrire :
[A, B] = {tA + (1 − t)B / t ∈ [0; 1] }.
DÉFINITION 25.10 (convexe)
Soit V une partie non vide de E, on dit que V est convexe lorsque pour tous points A et B de V , le
segment [A, B] est inclus dans V .
Convexe
Non convexe
Exemples:
– Un s.e.a. de E est convexe.
– Un segment [A, B] est convexe.
Preuve: Soit C, D ∈ [A, B], on a C = tA + (1 − t)B et D = uA + (1 − u)B avec t, u ∈ [0; 1]. Soit s ∈ [0; 1], alors
sC + (1 − s)D = [ts + u(1 − s)]A + [s(1 − t) + (1 − s)(1 − u)]B, il est facile de vérifier que ces deux coefficients
sont positifs et de somme 1, donc le point sC + (1 − s)D ∈ [A, B], c’est à dire [C, D] ⊂ [A, B].
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Isométries affines
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
– Si E est euclidien, alors une boule (ouverte ou fermée) est convexe, par contre une sphère n’est pas convexe.
−−→
Preuve: Soit O ∈ E et S = { M ∈ E / kOM k = r } la sphère de centre O et de rayon r > 0. Soit A et B
−→
deux points distincts de S et C = 1/2A + 1/2B le milieu de [A, B], supposons C ∈ S alors r = kOC k =
−→ −→
−→
−→
−→ −→
−→
−→
1/2kOA + OB k ¶ 1/2kOA k + 1/2kOB k ¶ r/2 + r/2 = r, par conséquent kOA + OB k = kOA k + kOB k donc
−→
−→
il existe λ > 0 tel que OA = λOB , mais l’égalité des normes entraîne λ = 1 et donc A = B ce qui est absurde,
S n’est donc pas convexe.
Propriétés :
– L’image d’un segment par une application affine, est un segment.
Preuve: Soit [A, B] un segment, f : E → E une application affine, et M 0 ∈ E, M 0 ∈ f < [A, B] >⇐⇒ ∃ t ∈
[0; 1], M 0 = f (tA + (1 − t)B) = t f (A) + (1 − t) f (B) ⇐⇒ M 0 ∈ [ f (A), f (B)], donc f < [A, B] >= [ f (A), f (B)].
– Une intersection non vide entre deux convexes, est un convexe.
– L’image d’un convexe par une application affine est un convexe.
Exercice: Soit A, B, C trois points non alignés d’un plan affine E, on appelle intérieur du triangle bords inclus, l’ensemble
des barycentres de A, B, C affectés de réels positifs (justifier la définition), on appelle T cet ensemble, montrer que T
est un convexe. Soit f : E → R une forme affine, montrer que f possède un maximum et un minimum sur T , et que
ceux - ci sont atteints en un sommet.
IV)
1)
Isométries affines
Calculs de distances
E est un espace affine euclidien.
DÉFINITION 25.11
Soit (H , H) un s.e.a. de E, la projection affine orthogonale sur H est la projection affine sur H et
parallèlement à H ⊥ , on la notera pH .
−−→
Soit (H , H) un s.e.a. de E, soit M ∈ E, pour A ∈ H , on pose f (A) = kAM k2 , notons M 0 le projeté
−−→ −−−→
−−→
−−−→
−−−→
orthogonal de M sur H , alors f (A) = kAM 0 + M 0 M k2 = kAM 0 k2 + k M 0 M k2 ¾ k M 0 M k2 , on voit donc
−−−→
que f est minorée sur H par la quantité k M 0 M k2 , et que cette quantité est atteinte par f ssi A = M 0 , on
peut donc énoncer :
THÉORÈME 25.4
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
−−→
Si (H , H) est un s.e.a. de E et M un point de E, alors l’ensemble {kAM k / A ∈ H } possède un
minimum, atteint uniquement pour A = M 0 le projeté orthogonal de M sur H , ce minimum est
−−−→
−−→ −−−−−−−−−→
−−→
k M 0 M k est appelé distance de M à H , noté d(M , H ). De plus AM 0 = pH (A)pH (M ) = pH (AM ) et
−−−
→
−−→
−−→
M 0 M = pH ⊥ (AM ), par conséquent, pour tout point A de H : d(M , H ) = d(AM , H).
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Isométries affines
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
M
−−→
AM
A
M0
H
FIGURE 25.4: Distance de M à H
Exemples:
– Distance d’un point M à une droite affine (D, D) dans le plan :
−−→
→
Soit A un point de D, alors d(M , D) = d(AM , D), soit −
v un vecteur non nul orthogonal à D, le projeté
−
→
v
−−→
−
−
→
→
orthogonal du vecteur AM sur D⊥ est (AM |−
v ) −
, d’où la formule :
k→
v k2
d(M , D) =
−−→ →
|(AM |−
v )|
.
−
→
kv k
→
→
Si R = (O, −
ı ,−
) est un repère orthonormé de E, et si ax + b y − c = 0 est une équation cartésienne de D,
−
→
−
→
→
alors on peut prendre −
v = a i + b j , ce qui donne :
d(M , D) =
|ax + b y − c|
.
p
a2 + b2
– En dimension 3, distance d’un point M à un plan affine (P , P) :
→
→
→=−
→
→
Soit A un point de P et (−
u ,−
v ) une base de P, un vecteur orthogonal à P est −
w
u ∧−
v , on a donc :
d(M , P ) =
−−→ →
−−→ → −
|(AM |−
w )|
|[AM , −
u ,→
v ]|
=
.
−
→
−
→
−
→
kw k
ku ∧ v k
→
−
→ −
→ −
Si R = (O, i , j , k ) est un repère orthonormé de E, et si ax + b y + cz − d = 0 est une équation cartésienne
−
→
→
−
→
→ = a−
de P , alors on peut prendre −
w
i + b j + c k , ce qui donne :
d(M , P ) =
|ax + b y + cz − d|
.
p
a2 + b2 + c 2
– En dimension 3, distance d’un point M à une droite affine (D, D) :
→
Soit A un point de D et soit −
u un vecteur directeur de D, alors :
−−→
−−→
d(M , D) = kAM − p D (AM )k
−−→ −
→
−−→ (AM | u ) −
→
u k
= kAM −
−
→
2
ku k
s
−−→ −
→2
−−→ 2 (AM | u )
= kAM k −
→
k−
u k2
−−→ →
kAM ∧ −
u k
=
.
−
→
ku k
Exercice: Soient A et B deux points distincts de E, et soit k ∈ R∗+ . Étudier le lieu des points M tels que M A = kM B,
on séparera les cas k = 1 et k 6= 1.
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Isométries affines
2)
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
Isométries, généralités
DÉFINITION 25.12
Une isométrie est une application f de E vers F qui conserve les distances c’est à dire telle que :
−−−−−−→
−→
∀ A, B ∈ E, k f (A) f (B) k = kAB k. L’ensemble des isométries de E dans F est noté Is(E, F ) et Is(E, E) =
Is(E).
THÉORÈME 25.5
Ð
Ð Une application f : E → E est une isométrie si et seulement si f est affine et sa partie linéaire, L f ,
Ð est un endomorphisme orthogonal de E, c’est à dire : f ∈ Is(E) ⇐⇒ L ∈ O(E).
f
−−−−−−→
−→
→
→
→
→
Preuve: Si −
u ∈ E et A ∈ E, soit B = A + −
u , alors k−
u k = k f (A) f (B) k = kL f (AB )k = kL f (−
u )k.
Exemples:
– Une translation est une isométrie affine.
– Une symétrie affine orthogonale est une isométrie affine.
– Une projection affine orthogonale autre que l’identité n’est pas une isométrie affine.
THÉORÈME 25.6
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
(Is(E), ◦) est un sous - groupe de (GA(E), ◦). L’application D : Is(E) → {±1} définie par D( f ) =
det(L f ) est un morphisme de groupes, son noyau est donc un sous - groupe de Is(E) que l’on
note Is+ (E) : ensemble des isométries positives ou déplacements de E, le complémentaire de cet
ensemble dans Is(E) est noté Is− (E) : ensemble des isométries négatives ou antidéplacements de E.
Remarque: f ∈ Is+ (E) ⇐⇒ L f ∈ SO(E), ce qui signifie que L f est une rotation. On rappelle que si g ∈ O(E), alors
ker(g − id E )⊥ = Im(g − id E ).
3)
Isométries de la droite
E est une droite euclidienne orientée, f ∈ Is(E). On sait que la partie linéaire est un endomorphisme
orthogonale : L f ∈ O(E) = ±id E , on a donc deux cas :
– Si L f = id E : alors f est une translation, c’est un déplacement.
– Si L f = −id E = h−1 : alors f est une homothétie affine de rapport −1, c’est à dire une symétrie
centrale, c’est un antidéplacement.
4)
Isométries du plan
E est un plan euclidien orienté, f ∈ Is(E) et Inv( f ) désigne l’ensemble des points fixes de f .
– Inv( f ) = E : alors f = id E ∈ Is+ (E).
– Inv( f ) = D, droite affine, alors f = sD ∈ Is− (E), réflexion d’axe D.
Preuve: Soit D la direction de D, alors ker(L f − id E ) = D, donc L f est la réflexion d’axe D, d’où L 2f = id E , f 2
est donc une translation qui possède des points fixes, d’où f 2 = id E , ce qui prouve que f est la symétrie par
rapport à D et parallèlement à ker(L f + id E ) = D⊥ : c’est donc une symétrie orthogonale.
– Inv( f ) = {O} : alors f = R(O,θ ) ∈ Is+ (E), rotation de centre O et d’angle θ 6= 0(2π).
−
→
Preuve: On a ker(L f − id E ) = { 0 }, donc L f est une rotation d’angle θ 6= 0(2π). Soit M ∈ E, on a f (O) = O,
−−→
−−→
−−→ −−→
en posant M 0 = f (M ) on a OM 0 = L f (OM ), par conséquent OM = OM 0 et (OM , OM 0 ) = θ (2π), on dit que
f est la rotation de centre O et d’angle θ : f = R(O,θ ) .
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Isométries affines
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
– Inv( f ) = ; : soit f est une translation de vecteur non nul (et alors f ∈ Is+ (E)), soit f est la composée
commutative entre une réflexion d’axe D et une translation de vecteur non nul appartenant à la
direction de D : f = t −u→ ◦ sD = sD ◦ t −u→ (et alors f ∈ Is− (E)).
−
→
Preuve: Si ker(L f − id E ) = { 0 } alors Im(L f − id E ) = E donc f possède des points fixes ce qui est exclu. Il
reste donc deux cas :
1) ker(L f − id E ) = E : alors L f = id E donc f est une translation.
2) ker(L f − id E ) = D droite vectorielle, alors L f est une réflexion vectorielle et donc L 2f = id E , dans ce
cas f est la composée (commutative) entre la réflexion s d’axe (D, D) passant par I = Mil[A, f (A)], et la
−−−−−→
→
translation de vecteur non nul −
u = s(A) f (A) ∈ D, où A désigne un point quelconque de E, on remarquera que
−−−→
−
→
u = p D (Af (A) ).
→
A1 = A + −
u
A
−
→
u
D
I
−
→
u
A00 = s(A)
→
f (A) = s(A1 ) = A00 + −
u
f = t −u→ ◦ s = s ◦ t −u→
FIGURE 25.5: Symétrie glissée
En résumé :
Inv( f ) = E
Inv( f ) = D
Inv( f ) = {O}
Inv( f ) = ;
5)
f
f
f
f
= id E
= sD
= R(O,θ )
→
= t −u→ ou f = sD ◦ t −u→ = t −u→ ◦ sD avec −
u ∈D
Isométries de l’espace
E est un espace euclidien orienté de dimension 3, f ∈ Is(E) et Inv( f ) l’ensemble des points fixes de f .
– Inv( f ) = E : alors f = id E ∈ Is+ (E).
– Inv( f ) = P , plan affine : alors f = sP ∈ Is− (E), réflexion de plan P .
Preuve: L f est une réflexion vectorielle, donc L 2f = id E , par conséquent f 2 est une translation avec points fixes
(ceux de P ), donc f est la symétrie affine par rapport à P est parallèlement à ker(L f + id E ) = P ⊥ , c’est donc
une symétrie orthogonale.
– Inv( f ) = D, droite affine : alors f est une rotation d’axe D et d’angle θ 6= 0(2π).
→
→
Preuve: L f est une rotation d’axe D = Vect[−
u ] et d’angle θ dans le plan D⊥ orienté par −
u . Soit M un point
−−−−→
−−−−→
−−→
de E et H son projeté orthogonal sur D, alors f (H) = H, donc H f (M ) = L f (H M ), ce qui signifie que H f (M )
−−→
est l’image du vecteur H M par la rotation L f .
– Inv( f ) = {O}, alors f est la composée d’une rotation d’axe D passant par O et d’une réflexion par
rapport à un plan P passant par O et orthogonal à D.
−
→
Preuve: On a ker(L f − id E ) = { 0 }, donc L f est la composée commutative entre une rotation d’axe D =
ker(L f + id E ), d’angle θ et la réflexion de plan P = D⊥ . Soit D la droite affine passant par O et de direction
D, et P le plan affine passant par O et de direction P, notons s = sP et r = R(D,θ ) , alors les parties linéaires
de s ◦ r et de r ◦ s coïncident avec L f , de plus O est un point fixe pour l’une et l’autre ainsi que pour f , par
conséquent f = r ◦ s = s ◦ r.
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Exercices
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
– Inv( f ) = ;, alors soit f est une translation de vecteur non nul (et alors f ∈ Is+ (E)), soit f est
la composée commutative entre une réflexion de plan P et une translation de vecteur non nul
appartenant à P (et alors f ∈ Is− (E)), soit f est la composée commutative entre une rotation d’axe
D et une translation de vecteur non nul appartenant à D (et alors f ∈ Is+ (E), on dit que f est un
vissage).
−
→
Preuve: On ne peut pas avoir ker(L f − id E ) = { 0 } sinon on aurait Im(L f − id E ) = E et f aurait alors des
points fixes. Il y a donc trois cas :
1) ker(L f − id E ) = E : alors L f = id E donc f est une translation de vecteur non nul, et f ∈ Is+ (E).
2) ker(L f − id E ) = P plan vectoriel : alors L f est la réflexion de plan P, soit A ∈ E et A0 = f (A), dans ce cas,
f est la composée commutative entre la réflexion s de plan P passant par Mil[A, A0 ] et de direction P, et la
−−−→
−→
→
→
translation de vecteur −
u = s(A)A0 . On remarquera que −
u = p (AA0 ).
P
3) ker(L f − id E ) = D droite vectorielle : alors L f est une rotation vectorielle d’axe D et d’angle θ . On fixe un
point A de E et on pose A0 = f (A), soit P le plan passant par A et de direction D⊥ , notons H le projeté orthogonal
−−→
−−−→ −→
→
de f (A) sur P et −
v = HA0 ∈ D, soit g = t −−→
v ◦ f , alors L g = L f , on a Ag(A) = AH ∈ P = Im(L g − id E ), donc
g possède des points fixes, plus précisément, Inv(g) est une droite affine de direction ker(L g − id E ) = D, g est
−
→
−
→
−
→
0
donc une rotation vectorielle, et on a f = t −→
v ◦ g. De plus g(A + v ) = g(A) + L f ( v ) = g(A) + v = A , donc
−→
→
→
on a également f = g ◦ t −→ . On remarquera que −
v = p (AA0 ) et que M ∈ P ⇐⇒ f (M ) = M + −
v .
D
v
D
→
A+ −
v
θ
−
→
v
A
f (A) = A0
−
→
v
θ
H = g(A)
FIGURE 25.6: Vissage
En résumé :
Inv( f ) = E
Inv( f ) = P
Inv( f ) = D
Inv( f ) = {O}
Inv( f ) = ;
V)
f
f
f
f
f
= id E
= sP
= R(D,θ )
= R(D,θ ) ◦ sP = sP ◦ R(D,θ ) avec O ∈ D, O ∈ P et D = P ⊥
→
= t −u→ ou f = sP ◦ t −u→ = t −u→ ◦ sP avec −
u ∈ P, ou vissage
Exercices
ÆExercice 25.1
Soit f : E → E une application affine. Montrer que f transforme toute droite en une droite parallèle
si et seulement si f appartient au groupe des homothéties-translations.
ÆExercice 25.2
Soit h une homothétie de centre A et de rapport λ ∈ R∗ , et soit f ∈ GA(E), montrer que f ◦ h ◦ f −1
est une homothétie.
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Exercices
Chapitre 25 : Géométrie affine et euclidienne
ÆExercice 25.3
Soit E un espace affine de dimension 3, on définit l’application affine fα par son expression analytique
dans un repère, déterminer la nature de fα :
x 0 = 71 (2x + 3 y + z) + 1
0
x = −x − 2 y − 2z + 2
0
y 0 = 17 (2x + 3 y + z) + 1 .
y = x + 2y + z − 1
a)
b)
0
z = −x − y + α
z 0 = 71 (2x + 3 y + z) + α
ÆExercice 25.4
Soit E un espace affine de dimension 3, on se donne un plan P0 et n droites D1 , . . . , Dn . Un plan
variable P se déplace parallèlement à P0 et coupe les droites Di en un point Mi (i ∈ [[1..n]]), soit
G l’isobarycentre des points Mi . Étudier le lieu des points G.
ÆExercice 25.5
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct, étudier la nature de l’application f définie par son
expression analytique :
1
1
0
0
x
=
(−3x
+
4
y
+
12)
x = 5 (3x + 4 y + 2)
5
b)
.
a)
0
0
1
1
y = 5 (4x + 3 y − 6)
y = 5 (−4x + 3 y + 14)
ÆExercice 25.6
Soit E un espace affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormal direct, étudier la nature de
l’application f dont l’expression analytique est :
p
x 0 = 13 (−x + 2 y + 2z) + 1
x 0 = 21 (x + y − 2z) + 1
0
x = z+1
p
1
0
0
y = 3 (2x − y + 2z) − 1
y 0 = 12 (x + y + 2z) + 1 .
y = x − 3 b)
a)
c)
0
z = y +2
p
p
1
0
z 0 = 12 (− 2x + 2 y) + 1
z = 3 (2x + 2 y − z) − 1
ÆExercice 25.7
E est un espace euclidien orienté
¨ muni d’un repère orthonormé direct. Soit P le plan d’équation
−3x + 2 y + 2z = 4
2x + 2 y + z = 3 et la droite D :
, déterminer l’expression analytique de
−7x + 2 y + 6z = 4
sP la réflexion par rapport à P , et celle de sD , la symétrie orthogonale par rapport à D.
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