Variables aléatoires Probabilités et

Probabilités
Probabilités 1 1
Variables
Variables
aléatoires aléatoires
Probabilités
Probabilités
et
et
Probabilités
Probabilités 2 2
Objectifs
Objectifs
Introduire les concepts fondamentaux
Introduire les concepts fondamentaux
du calcul des probabilités
du calcul des probabilités
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Définir quelques lois élémentaires :
Définir quelques lois élémentaires :
✔La loi binomiale
La loi binomiale
✔La loi de Poisson
La loi de Poisson
✔La loi de Gauss-Laplace
La loi de Gauss-Laplace
Probabilités
Probabilités 3 3
La théorie des probabilités
La théorie des probabilités
Étude des phénomènes aléatoires et
Étude des phénomènes aléatoires et
des lois du hasard
des lois du hasard
Épreuve :
Épreuve :
Protocole d’une expérience dont le
Protocole d’une expérience dont le
résultat est aléatoire
résultat est aléatoire
Reproductibilité
Reproductibilité
Conditions toujours identiques
Conditions toujours identiques
✔Ex
Ex : Lancer un dé et relever le chiffre
: Lancer un dé et relever le chiffre
sur la face supérieure
sur la face supérieure
Probabilités
Probabilités 4 4
Évènement élémentaire
Évènement élémentaire
Chacun des résultats possibles
Chacun des résultats possibles
Ex
Ex : L’épreuve du lancer d’un dé a six
: L’épreuve du lancer d’un dé a six
évènements élémentaires :
évènements élémentaires :
{ 1 } – { 2 } – { 3 } – { 4 } – { 5 } – { 6 }
{ 1 } – { 2 } – { 3 } – { 4 } – { 5 } – { 6 }
Catégorie d’épreuves :
Catégorie d’épreuves : 
Collection de tous les résultats
Collection de tous les résultats
Ex
Ex :
:   = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Probabilités
Probabilités 5 5
Évènement : A, B, C, ...
Évènement : A, B, C, ...
Collection d’évènements élémentaires
Collection d’évènements élémentaires
Ex
Ex : «Obtenir une face paire»
: «Obtenir une face paire»
Évènement [A ou B]
Évènement [A ou B] ⇔ ⇔ union union
Si A, si B, ou si les deux sont réalisés
Si A, si B, ou si les deux sont réalisés
simultanément
simultanément
Évènement [A et B]
Évènement [A et B] ⇔ ⇔ restriction restriction
Si A et B sont réalisés à la fois
Si A et B sont réalisés à la fois
Probabilités
Probabilités 6 6
Évènements incompatibles
Évènements incompatibles
Ils ne peuvent être réalisés au cours de la
Ils ne peuvent être réalisés au cours de la
même épreuve
même épreuve
Évènement contraire :
Évènement contraire : A
Aou non A
ou non A
Il est réalisé quand A ne l’est pas
Il est réalisé quand A ne l’est pas
Évènement impossible
Évènement impossible
Il ne peut être réalisé à la suite de
Il ne peut être réalisé à la suite de
l’épreuve
l’épreuve
Évènement certain
Évènement certain
Il se réalise à coup sûr
Il se réalise à coup sûr

Probabilités
Probabilités 7 7
Trois axiomes :
Trois axiomes :
1. La probabilité d’un évènement est
1. La probabilité d’un évènement est
toujours comprise entre 0 et 1
toujours comprise entre 0 et 1
2. Si A et B sont deux évènements
2. Si A et B sont deux évènements
incompatibles, alors la probabilité de
incompatibles, alors la probabilité de
[A ou B] est égale à la somme des
[A ou B] est égale à la somme des
probabilités de A et de B
probabilités de A et de B
3. La probabilité de l’évènement
3. La probabilité de l’évènement
certain vaut 1
certain vaut 1
Probabilités
Probabilités 8 8
Convention :
Convention :
La probabilité d'un évènement A est
La probabilité d'un évènement A est
notée : Pr(A)
notée : Pr(A)
Comment calculer une probabilité ?
Comment calculer une probabilité ?
Deux approches :
Deux approches :
Classique – Mathématique
Classique – Mathématique
Expérimentale
Expérimentale
Probabilités
Probabilités 9 9
Approche classique
Approche classique
«Quelle est la probabilité d’obtenir
«Quelle est la probabilité d’obtenir
un six lors d’un lancer d’un dé
un six lors d’un lancer d’un dé
parfait ?»
parfait ?»
Six évènements élémentaires
Six évènements élémentaires
Contexte
Contexte équiprobable
équiprobable
Une seule face réalise le 6
Une seule face réalise le 6
Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7% Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7%
Pr A =
Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
Probabilités
Probabilités 10 10
Approche expérimentale
Approche expérimentale
«Quelle est la probabilité d’obtenir un
«Quelle est la probabilité d’obtenir un
six lors d’un lancer d’un dé parfait ?»
six lors d’un lancer d’un dé parfait ?»
Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers
Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers
Pr({6}) = 15 / 100 = 15%
Pr({6}) = 15 / 100 = 15%
Pr A =
Nombre de réalisations
Nombre d'épreuves
= fréquence A
Probabilités
Probabilités 11 11
Conditions :
Conditions :
L’épreuve doit être répétée un grand
L’épreuve doit être répétée un grand
nombre de fois
nombre de fois
Toutes les épreuves doivent être
Toutes les épreuves doivent être
réalisées sous les mêmes conditions,
réalisées sous les mêmes conditions,
suivant même protocole
suivant même protocole
Probabilités
Probabilités 12 12
Fréquence
Fréquence
Probabilité
Probabilité
n
n
∞
∞

Probabilités
Probabilités 13 13
Les règles d’addition :
Les règles d’addition :
Évènements incompatibles :
Évènements incompatibles :
Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B)
Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B)
Ex
Ex : Lancer d’un dé
: Lancer d’un dé
✔A = paire
A = paire
✔Pr(A) = 1/2
Pr(A) = 1/2
✔B = {1}
B = {1}
✔Pr(B) = 1/6
Pr(B) = 1/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6
Pr(A)
Pr(A) Pr(B)
Pr(B)
Pr(C)
Pr(C)
=1/2+1/6
=1/2+1/6
Probabilités
Probabilités 14 14
Évènements compatibles :
Évènements compatibles :
Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B])
Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B])
Ex
Ex : Lancer d’un dé
: Lancer d’un dé
✔A = paire
A = paire
✔Pr(A) = 1/2
Pr(A) = 1/2
✔B = {
B = { ≥ ≥ 5 } 5 }
✔Pr(B) = 1/3
Pr(B) = 1/3
✔[A et B] = {6}
[A et B] = {6}
✔Pr([A et B] )= 1/6
Pr([A et B] )= 1/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6
=1/2+1/3-1/6
=1/2+1/3-1/6
Probabilités
Probabilités 15 15
Évènements contraires :
Évènements contraires :
Pr(
Pr(A
A ) = 1 - Pr(A)
) = 1 - Pr(A)
Ex
Ex : Lancer d’un dé
: Lancer d’un dé
✔A = paire
A = paire
✔Pr(
Pr(A A) = 1/2 ) = 1/2
✔A
A = impaire
= impaire
✔Pr(
Pr(A
A) = 1/2
) = 1/2
✔Pr(
Pr(A
A) = 1 – ½ = ½
) = 1 – ½ = ½ Pr(A)
Pr(A)
Pr A = 1 − Pr A
Probabilités
Probabilités 16 16
Probabilités conditionnelles et
Probabilités conditionnelles et
évènements indépendants
évènements indépendants
Les compagnies d’assurance
Les compagnies d’assurance
déterminent leurs primes en fonction
déterminent leurs primes en fonction
des risques encourus
des risques encourus
Le risque d’avoir un accident de
Le risque d’avoir un accident de
voiture est de deux pour mille : 2
voiture est de deux pour mille : 2‰ ‰
Le montant des primes n’est pas le
Le montant des primes n’est pas le
même pour tous ...
même pour tous ...
Pourquoi ?
Pourquoi ?
Probabilités
Probabilités 17 17
Un jeune conducteur est impliqué dans
Un jeune conducteur est impliqué dans
dix fois plus d’accidents qu’un
dix fois plus d’accidents qu’un
conducteur averti
conducteur averti
L’âge est un facteur à risque :
L’âge est un facteur à risque :
«Le risque qu’un jeune conducteur ait
«Le risque qu’un jeune conducteur ait
un accident est de 2%»
un accident est de 2%»
Le risque d’accident est
Le risque d’accident est conditionné conditionné
par l’âge
par l’âge
Le risque
Le risque dépend dépend de l’âge du de l’âge du
conducteur
conducteur
Probabilités
Probabilités 18 18
Par contre les «blondes» n’ont pas plus
Par contre les «blondes» n’ont pas plus
d’accidents que les autres conducteurs
d’accidents que les autres conducteurs
«Être blonde» n’est pas un facteur de
«Être blonde» n’est pas un facteur de
risque :
risque :
«Une conductrice blonde court un risque
«Une conductrice blonde court un risque
de 2‰ d’avoir un accident de la route»
de 2‰ d’avoir un accident de la route»
Le risque est
Le risque est
indépendant
indépendant de de
la couleur des
la couleur des
cheveux
cheveux

Probabilités
Probabilités 19 19
Définition et notation
Définition et notation
Probabilité conditionnelle
Probabilité conditionnelle
Pr(A/B) désigne la probabilité que
Pr(A/B) désigne la probabilité que
l’évènement A se réalise sachant que
l’évènement A se réalise sachant que
l’évènement B s’est déjà produit
l’évènement B s’est déjà produit
Indépendance
Indépendance
Deux évènements A et B sont
Deux évènements A et B sont
indépendants si la réalisation de l'un ne
indépendants si la réalisation de l'un ne
modifie pas la probabilité de l'autre
modifie pas la probabilité de l'autre
Probabilités
Probabilités 20 20
Règles de multiplication
Règles de multiplication
Quelle est la probabilité qu'un enfant
Quelle est la probabilité qu'un enfant
gaucher présente un trouble lié au
gaucher présente un trouble lié au
langage ?
langage ?
Pr(A/G) = 4/76 = 0,053 (5,3%)
Pr(A/G) = 4/76 = 0,053 (5,3%)
Gaucher (G) Total
41216
72 216 288
Total 76 228 304
Aphasie Droitier (G)
Oui (A)
Non (A)
Gaucher (G) Total
412 16
72 216 288
Total 76 228 304
Aphasie Droitier (G)
Oui (A)
Non (A)
Probabilités
Probabilités 21 21
Quelle est la probabilité qu’un enfant
Quelle est la probabilité qu’un enfant
soit aphasique ?
soit aphasique ?
Pr(A) = 16/304 = 5,3% ( = Pr(A/G) )
Pr(A) = 16/304 = 5,3% ( = Pr(A/G) )
⇒
⇒
Indépendants Indépendants
Gaucher (G) Total
41216
72 216 288
Total 76 228 304
Aphasie Droitier (G)
Oui (A)
Non (A)
Gaucher (G) Total
41216
72 216 288
Total 76 228 304
Aphasie Droitier (G)
Oui (A)
Non (A)
Probabilités
Probabilités 22 22
Quelle est la probabilité qu’un enfant
Quelle est la probabilité qu’un enfant
soit gaucher et aphasique ?
soit gaucher et aphasique ?
Pr(A et G)
Pr(A et G) = 4/304 = 1,3% = 4/304 = 1,3%
= 4/76
= 4/76
×
×
76/304
76/304
= Pr(A/G)
= Pr(A/G)
×
×
Pr(G)
Pr(G)
Gaucher (G) Total
41216
72 216 288
Total 76 228 304
Aphasie Droitier (G)
Oui (A)
Non (A)
Gaucher (G) Total
412 16
72 216 288
Total 76 228 304
Aphasie Droitier (G)
Oui (A)
Non (A)
Indépendants :
Indépendants :
Pr(A/G) = Pr(A)
Pr(A/G) = Pr(A)
Probabilités
Probabilités 23 23
Deux évènements A et B sont
Deux évènements A et B sont
indépendants si et seulement si
indépendants si et seulement si
Pr(A/B) = Pr(A)
Pr(A/B) = Pr(A)
et
et
Pr(B/A) = Pr(B)
Pr(B/A) = Pr(B)
Règle de multiplication :
Règle de multiplication :
Pr(A et B) = Pr(A)
Pr(A et B) = Pr(A) × × Pr(B) Pr(B)
Probabilités
Probabilités 24 24
Quelle est la probabilité qu'un enfant
Quelle est la probabilité qu'un enfant
qui présente un lésion à l'hémisphère
qui présente un lésion à l'hémisphère
droit développe des troubles du
droit développe des troubles du
langage ?
langage ?
Pr(A/L) = 14/42 = 0,33 (33%)
Pr(A/L) = 14/42 = 0,33 (33%)
Aphasie Lésion de l'hémisphère droit
Oui (L) Total
Oui (A) 14 11 25
28 209 237
Total 42 220 262
Non (L)
Non (A)
Aphasie Lésion de l'hémisphère droit
Oui (L) Total
Oui (A) 14 11 25
28 209 237
Total 42 220 262
Non (L)
Non (A)

Probabilités
Probabilités 25 25
Aphasie Lésion de l'hémisphère droit
Oui (L) Total
Oui (A) 14 11 25
28 209 237
Total 42 220 262
Non (L)
Non (A)
Quelle est la probabilité qu’un enfant
Quelle est la probabilité qu’un enfant
soit aphasique ?
soit aphasique ?
Pr(A) = 25/262 = 9,5 % (
Pr(A) = 25/262 = 9,5 % (
≠
≠
Pr(A/L) )
Pr(A/L) )
Dépendants Dépendants
Aphasie Lésion de l'hémisphère droit
Oui (L) Total
Oui (A) 14 11 25
28 209 237
Total 42 220 262
Non (L)
Non (A)
Probabilités
Probabilités 26 26
Aphasie Lésion de l'hémisphère droit
Oui (L) Total
Oui (A) 14 11 25
28 209 237
Total 42 220 262
Non (L)
Non (A)
Quelle est la probabilité qu’un enfant
Quelle est la probabilité qu’un enfant
présente une lésion et soit aphasique ?
présente une lésion et soit aphasique ?
Pr(A et L)
Pr(A et L) = 14/262 = 5,3% = 14/262 = 5,3%
= 14/42
= 14/42
×
×
42/262
42/262
= Pr(A/L)
= Pr(A/L)
×
×
Pr(L)
Pr(L)
Aphasie Lésion de l'hémisphère droit
Oui (L) Total
Oui (A) 14 11 25
28 209 237
Total 42 220 262
Non (L)
Non (A)
Probabilités
Probabilités 27 27
Si deux évènements A et B sont
Si deux évènements A et B sont
dépendants :
dépendants :
Pr(A et B) = Pr(A/B)
Pr(A et B) = Pr(A/B)
×
×
Pr(B)
Pr(B)
ou
ou
Pr(A et B) = Pr(B/A)
Pr(A et B) = Pr(B/A)
×
×
Pr(A)
Pr(A)
Attention !
Attention !
Indépendance ≠ incompatibilité
Indépendance ≠ incompatibilité
Probabilités
Probabilités 28 28
Les tests de dépistage, d’aptitude
Les tests de dépistage, d’aptitude
«Comment juger le risque d'un déficit
«Comment juger le risque d'un déficit
intellectuel selon les résultats enregistrés
intellectuel selon les résultats enregistrés
à des tests cognitifs ?»
à des tests cognitifs ?»
«Quel risque encourt-on d’être porteur
«Quel risque encourt-on d’être porteur
d’une maladie si le test de dépistage se
d’une maladie si le test de dépistage se
révèle positif ?»
révèle positif ?»
On a pas directement accès à cette
On a pas directement accès à cette
information !
information !
Probabilités
Probabilités 29 29
Prévalence de la maladie :
Prévalence de la maladie : Pr(M)
Pr(M)
Nombre de cas de maladie ou de malades
Nombre de cas de maladie ou de malades
dans une population déterminée
dans une population déterminée
Elle s'exprime en nombre de cas pour
Elle s'exprime en nombre de cas pour
100 000 habitants
100 000 habitants
Sensibilité d’un test :
Sensibilité d’un test : Pr(T/M)
Pr(T/M)
Probabilité que le test se révèle positif
Probabilité que le test se révèle positif
chez un sujet atteint
chez un sujet atteint
Spécificité d’un test :
Spécificité d’un test : Pr(
Pr(T
T/
/M
M)
)
Probabilité que le test soit négatif chez un
Probabilité que le test soit négatif chez un
sujet sain
sujet sain Probabilités
Probabilités 30 30
Valeur prédictive positive : Pr(M/T)
Valeur prédictive positive : Pr(M/T)
Risque d’être atteint d’une maladie si le
Risque d’être atteint d’une maladie si le
dépistage se révèle positif
dépistage se révèle positif
Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?
Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?
Pr M / T =
Pr MetT
Pr T =
Pr T / M × Pr M
Pr T
=
Pr T / M × Pr M
Pr T / M × Pr M Pr T / M × Pr M