Variables aléatoires Probabilités et

Probabilités
et

Objectifs
Introduire les concepts fondamentaux
du calcul des probabilités
 Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?


Définir quelques lois élémentaires :
✔
✔
✔
Variables
aléatoires

La théorie des probabilités
Probabilités 2

Protocole d’une expérience dont le
résultat est aléatoire
 Reproductibilité
{1}–{2}–{3}–{4}–{5}–{6}

Catégorie d’épreuves : 
Collection de tous les résultats
 Ex :  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Conditions toujours identiques
✔
Évènement élémentaire
Chacun des résultats possibles
 Ex : L’épreuve du lancer d’un dé a six
évènements élémentaires :
Épreuve :

loi binomiale
loi de Poisson
loi de Gauss-Laplace
Probabilités 1
Étude des phénomènes aléatoires et
des lois du hasard

La
La
La
Ex : Lancer un dé et relever le chiffre
sur la face supérieure
Probabilités 3


Évènement : A, B, C, ...
Collection d’évènements élémentaires
 Ex : « Obtenir une face paire »


Évènement contraire : A ou non A
Il est réalisé quand A ne l’est pas

Évènement impossible
Il ne peut être réalisé à la suite de
l’épreuve
Évènement [A et B] ⇔ restriction
Si A et B sont réalisés à la fois
Évènements incompatibles
Ils ne peuvent être réalisés au cours de la
même épreuve
Évènement [A ou B] ⇔ union
Si A, si B, ou si les deux sont réalisés
simultanément

Probabilités 4

Évènement certain
Il se réalise à coup sûr
Probabilités 5
Probabilités 6

Trois axiomes :

1. La probabilité d’un évènement est
toujours comprise entre 0 et 1

2. Si A et B sont deux évènements
incompatibles, alors la probabilité de
[A ou B] est égale à la somme des
probabilités de A et de B


Convention :
La probabilité d'un évènement A est
notée : Pr(A)

Comment calculer une probabilité ?
Deux approches :
 Classique – Mathématique

Expérimentale
3. La probabilité de l’évènement
certain vaut 1
Probabilités 7

Probabilités 8
Approche classique
« Quelle est la probabilité d’obtenir
un six lors d’un lancer d’un dé
parfait ? »
 Six évènements élémentaires

Approche expérimentale
« Quelle est la probabilité d’obtenir un
six lors d’un lancer d’un dé parfait ? »
 Le six est sorti 15 fois sur 100 lancers
Contexte équiprobable
 Une seule face réalise le 6

Pr({6}) = 15 / 100 = 15%
 Pr({ 6 }) = 1/6 = 16,7%
Pr  A=
Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
Probabilités 9

Pr  A =
=
Nombre de réalisations
Nombre d ' épreuves
fréquence A
Probabilités 10
Fréquence  Probabilité
n∞
Conditions :
L’épreuve doit être répétée un grand
nombre de fois
 Toutes les épreuves doivent être
réalisées sous les mêmes conditions,
suivant même protocole

Probabilités 11
Probabilités 12

Les règles d’addition :
Évènements compatibles :
Pr([A ou B]) = Pr(A) + Pr(B) – Pr([A et B])
Évènements incompatibles :
Pr( [A ou B] ) = Pr(A) + Pr(B)


✔
Ex : Lancer d’un dé
✔
✔
✔
✔
A = paire
Pr(A) = 1/2
B = {1}
Pr(B) = 1/6
Ex : Lancer d’un dé
Pr(A)
✔
Pr(B)
✔
✔
✔
Pr(C)
✔
=1/2+1/6
A = paire
Pr(A) = 1/2
B={≥5}
Pr(B) = 1/3
[A et B] = {6}
Pr([A et B] )= 1/6
=1/2+1/3-1/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {2, 4, 5, 6} ) = 4/6
Pr( [A ou B] ) = Pr( {1, 2, 4, 6} ) = 4/6
Probabilités 13
Évènements contraires :
Pr(A
Pr(A ) = 1 - Pr(A)

Ex : Lancer d’un dé
✔
✔
✔
✔
✔
A = paire
Pr(A
Pr(A) = 1/2
A = impaire
Pr(A
Pr(A) = 1/2
Pr(A
Pr(A) = 1 – ½ = ½
Probabilités 14

Probabilités conditionnelles et
évènements indépendants
Les compagnies d’assurance
déterminent leurs primes en fonction
des risques encourus
 Le risque d’avoir un accident de
voiture est de deux pour mille : 2‰
2‰

 =1−Pr  A 
Pr  A
Pr(A)

Probabilités 15
Le montant des primes n’est pas le
même pour tous ...
Pourquoi ?
Probabilités 16
Par contre les « blondes » n’ont pas plus
d’accidents que les autres conducteurs
 « Être blonde » n’est pas un facteur de
risque :
« Une conductrice blonde court un risque
de 2‰ d’avoir un accident de la route »
 Le risque est
indépendant de
la couleur des
cheveux

Un jeune conducteur est impliqué dans
dix fois plus d’accidents qu’un
conducteur averti
 L’âge est un facteur à risque :

« Le risque qu’un jeune conducteur ait
un accident est de 2% »
 Le risque d’accident est conditionné
par l’âge
 Le risque dépend de l’âge du
conducteur
Probabilités 17
Probabilités 18


Définition et notation
Probabilité conditionnelle
Pr(A/B) désigne la probabilité que
l’évènement A se réalise sachant que
l’évènement B s’est déjà produit
 Indépendance

Règles de multiplication
Aphasie
Gaucher (G)
Dr oitier ( G)
Tot al
Oui (A)
4
12
16
Non (A)
72
216
288
Tot al
76
228
304
Quelle est la probabilité qu'un enfant
gaucher présente un trouble lié au
langage ?
Pr(A/G) = 4/76 = 0,053 (5,3%)

Deux évènements A et B sont
indépendants si la réalisation de l'un ne
modifie pas la probabilité de l'autre
Probabilités 19
Probabilités 20
Aphasie
Gaucher (G)
Dr oitier ( G)
Tot al
Aphasie
Gaucher (G)
Dr oitier ( G)
Tot al
Oui (A)
4
12
16
Oui (A)
4
12
16
Non (A)
72
216
288
Non (A)
72
216
288
Tot al
76
228
304
Tot al
76
228
304

Quelle est la probabilité qu’un enfant
soit aphasique ?
Pr(A) = 16/304 = 5,3% ( = Pr(A/G) )

Quelle est la probabilité qu’un enfant
soit gaucher et aphasique ?
Pr(A et G) = 4/304 = 1,3%
= 4/76 × 76/304
⇒ Indépendants
= Pr(A/G) × Pr(G)
Probabilités 21
Indépendants :
Pr(A/G) = Pr(A)
Probabilités 22
Lésion de l'hém isphèr e dr oit

Deux évènements A et B sont
indépendants si et seulement si
Pr(A/B) = Pr(A)
et
Pr(B/A) = Pr(B)
Aphasie
Oui (L)
Non ( L)
Tot al
Oui (A)
14
11
25
Non (A)
28
209
237
Tot al
42
220
262


Règle de multiplication :
Pr(A et B) = Pr(A) × Pr(B)
Probabilités 23
Quelle est la probabilité qu'un enfant
qui présente un lésion à l'hémisphère
droit développe des troubles du
langage ?
Pr(A/L) = 14/42 = 0,33 (33%)
Probabilités 24
Lésion de l'hém isphèr e dr oit
Lésion de l'hém isphèr e dr oit
Aphasie
Aphasie
Oui (L)
Non ( L)
Tot al
Oui (A)
14
11
25
Non (A)
28
209
237
Tot al
42
220
262


Quelle est la probabilité qu’un enfant
soit aphasique ?
Pr(A) = 25/262 = 9,5 % ( ≠ Pr(A/L) )
Oui (L)
Non ( L)
Tot al
Oui (A)
14
11
25
Non (A)
28
209
237
Tot al
42
220
262
Quelle est la probabilité qu’un enfant
présente une lésion et soit aphasique ?
Pr(A et L) = 14/262 = 5,3%
= 14/42 × 42/262
 Dépendants
= Pr(A/L) × Pr(L)
Probabilités 25
Probabilités 26


Si deux évènements A et B sont
dépendants :
Les tests de dépistage, d’aptitude
« Comment juger le risque d'un déficit
intellectuel selon les résultats enregistrés
à des tests cognitifs ? »
 « Quel risque encourt-on d’être porteur
d’une maladie si le test de dépistage se
révèle positif ? »
On a pas directement accès à cette
information !

Pr(A et B) = Pr(A/B) × Pr(B)
ou
Pr(A et B) = Pr(B/A) × Pr(A)
Attention !
Indépendance ≠ incompatibilité
Probabilités 27

Prévalence de la maladie : Pr(M)
Nombre de cas de maladie ou de malades
dans une population déterminée
 Elle s'exprime en nombre de cas pour
100 000 habitants

Sensibilité d’un test : Pr(T/M)
Probabilité que le test se révèle positif
chez un sujet atteint

Spécificité d’un test : Pr(T
Pr(T/M)
Probabilité que le test soit négatif chez un
sujet sain
Probabilités 29
Probabilités 28

Valeur prédictive positive : Pr(M/T)
Risque d’être atteint d’une maladie si le
dépistage se révèle positif

Comment calculer la VPP : Pr(M/T) ?
Pr  M et T  Pr T /M×Pr  M
=
Pr T 
Pr  T 
Pr T / M×Pr M
=
Pr T /M ×Pr MPr T / M×Pr M
Pr M /T  =
Probabilités 30
Exemple : Test de dyslexie

Pour différencier la dyslexie d'un simple
retard de lecture
Pr dys./ P  =
=
Test
dyslex ie
dyslex ie
Positif
56
9
Négatif
14
216
Tot al
70
225
Pr P / dys.×Pr dys.
Pr P / dys.×Pr dys.Pr P /dys.×Pr dys.
0,8×0,06
0,8×0,061−0,96×1−0,06
= 0,561=56,1 %
Un enfant qui échoue au test de dyslexie a
un risque de 56,1% d'être réellement
dyslexique
Prévalence : Pr(dys.) = 6% (hypothèse)
 Spécificité : Pr(N/dys
.) = 216/225 = 0,96 = 96%
Pr(N/dys.)

Sensibilité : Pr(P/dys.) = 56/70 = 0,8 = 80%

Probabilités 31
Pour une autre prévalence ?
Pr(dys.) = 6%  VPP = 56,1%
Pr(dys.) = 1%  VPP = 16,8%

Les variables alétoires
La prévalence de la maladie joue un rôle
prépondérant
 Même avec une très bonne spécificité et
une très bonne sensibilité, le dépistage
devient inutile si la maladie a une
prévalence est très faible !

Probabilités 33

Probabilités 34

Variable aléatoire : X, Y, …
Loi (ou distribution) de probabilité
Graphique, table ou formule qui décrit la
probabilité associée aux divers
évènements d’une variable aléatoire
 Lancer d’un dé parfait
Épreuve dont les évènements
élémentaires sont des nombres
 Discrète (« numérotable ») :
✔
✔

Lancer un dé
Juger du score d'un enfant à un test
de lecture
20%
Continue (toute valeur d’un
intervalle) :
✔
Fa ce
15%
Mesurer l'acuité auditive d'un
individu
Probabilité

Probabilités 32
10%
5%
Proba .
1
1 /6
2
1 /6
3
1 /6
4
1 /6
5
1 /6
6
1 /6
0%
Probabilités 35
1
2
3
4
5
6
Probabilités 36
Paramètres d’une v.a.

La loi des grands nombres permet de
juger la qualité d'un modèle
 Ex : En théorie, une face doit apparaître
une fois sur 6, mais dans la pratique le
hasard dicte ses règles …
La comparaison entre les observations
et les prévisions du modèle permet de
vérifier sa validité, son bien-fondé !
Moyenne
 Écart type

En conclusion …

Variable aléatoire
+
Loi de probabilité
=
Modèle théorique – Étalon
Probabilités 37

Probabilités 38
Les variables aléatoires discrètes


La loi Binomiale B(n, p)
Elle dépend de deux paramètres
 n : nombre d’épreuves (d'essais)
La loi de probabilité donne l’ensemble
des probabilités p1, p2, … associées à
chacune des éventualités x1, x2, …

pi = Pr( X = xi )
Nombre fini d’épreuves
 Deux issues possibles
0 ≤ pi ≤ 1 et Σ pi = 1

p : probabilité du succès
conditions :

Ex : Lancer d’un dé
Épreuves indépendantes
 p constant

p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
Probabilités 39
Probabilités 40

X ~ B(n, p) compte le nombre de succès
sur le total des n épreuves

Loi de probabilité :
n !×pk ×q n−k
Pr  X =k =
k !×n−k !
k est le nombre de succès
 q = (1 – p) est la probabilité de l’échec

Ex : Fille ou Garçon ?
Lors d'une naissance, on a une probabilité
de 51% d'avoir un garçon
Dans une famille de 4 enfants, quelle est
probabilité associée a chacune des
configurations fille / garçon ?
 n=4
p = Pr(Garçon) = 0,51
 q = Pr(Fille) = 1 – 0,51 = 0,49

 X ~ B(4 ; 0,51)
Probabilités 41
Probabilités 42


Pr(FFFF) = Pr(X = 0)
5 configurations sont possibles :
4!
×0,510×0,494
0 !×4 !
= 0,058=5,8 %

Pr  X =0 =
2 filles et 2 garçons : FFGG
 1 fille et 3 garçons : FGGG

Quatre filles : FFFF
 3 filles et 1 garçon : FFFG

Quatre garçons : GGGG
X compte le nombre de garçons parmi les
quatre enfants
Pr(FFFG) = Pr(X = 1)

4!
1
3
×0,51 ×0,49
1!×3 !
= 0,24=24 %
Pr  X =1 =
Probabilités 43
Pr(GGFF) = Pr(X = 2)
Pr  X =2=

4!
2
2
×0,51 ×0,49 =0,375=37,5 %
2!×2 !
Pr(GGGF) = Pr(X = 3)
Pr  X =3=

4!
3
1
×0,51 ×0,49 =0,26=26 %
3!×1!
Pr(GGGG) = Pr(X = 4)
40%
Probabilité

Probabilités 44
38%
30%
26%
24%
20%
10%
0%
4!
4
0
Pr  X =4=
×0,51 ×0,49 =6,8=6,8 %
4 !×0 !
7%
6%
0
1
2
Probabilités 45


Paramètres de la B(n, p)
 Moyenne : μ = n × p
 Écart type :  =  (n × p × q)
= 0,9998
4
Probabilités 46

Ex : Fille ou garçon
 Moyenne : μ = 4 × 0,51 = 2,04
 Écart type :  =  (4 × 0,51 × 0,49)
3
Nombre de garçons
La loi de Poisson P(
P()
Modélisation de la survenue
d’évènements rares dans le temps
et/ou dans l’espace
 Pharmacovigilance

Risque d’une panne d’équipement
Elle ne dépend que d’un paramètre

 : Nombre d’évènements rares qui se
produisent en moyenne
Probabilités 47
Probabilités 48


Une v.a. de Poisson compte le nombre
d’évènements rares qui se produisent
 X ~ P(
P() prend les valeurs 0, 1, …, k, …
avec les probabilités
Conditions :
Les évènements successifs sont
indépendants les uns des autres
 Les évènements sont rares :

✔
La probabilité que deux tels
évènements se produisent est très
faible
Loi de probabilité
−
Pr  X =k =e ×

Paramètres de P(
P()
k
k!
Moyenne : μ = 
 Écart type :  = 

Probabilités 49

Probabilités 50

Avec un risque de 1 par 1 000 000, on
compte en moyenne  = 0,01 réactions
adverses (10 000 × 1/1 000 000) pour les
10 000 premières prescriptions
X ~ P(=0,01)

N’observer aucun incident n'est pas
étonnant et est même très probable :
Ex : Pharmacovigilance
Aucun réaction indésirable n'est
observée sur les 10 000 premières
prescriptions d’un médicament
Quelle risque encourt-on pour un million
de prescriptions ?
 Il n’est pas nul !

0
0,01
0!
= e−0,01 =0,99=99 %
Supposons qu’il soit de une réaction
indésirable sur un million de
prescriptions
−0,01
Pr  X=0 = e
×
Probabilités 51
Probabilités 52

Pour 100 réactions indésirables sur un
million ( = 10 000 × 100/1 000 000 = 1)
 La probabilité de n’observer aucun incident
reste assez forte :

Pr(X=0) = e -1 = 37%
 Pour un risque de 1‰ les chances de
n'observer aucun incident deviennent très
faibles :
Pr(X=0) = e -10 = 0,0045%
Probabilités 53
Calcul du risque :
Le risque maximal admis est celui
associé à une probabilité 5%
 Quand la probabilité de n'observer
aucun incident vaut-elle 5% :
✔
Pr(X = 0) = 5% ≈ e -3 ⇔ = 3
Conclusion :
 Si aucun évènement indésirable n'est
enregistré sur N cas, on fixe le risque
réel entre 0 et 3/N
Probabilités 54

Analogie : Le tronc d’un
baobab
Les variables aléatoires continues
Toutes les valeurs dans un intervalle
sont possibles
 Traitement est très différent de celui
des variables aléatoires discrètes

✔
✔
Le tronc pèse 10 tonnes
 On le débite en
tronçons infiniment
fins (d’épaisseur
nulle) c’est-à-dire de
masse nulle
 ∑ tranches = tronc = 10 tonnes

La loi ne peut plus associer une
probabilité à chacune valeur
La probabilité d’une valeur précise
est toujours nulle

Répartition de la masse ⇔ densité
Probabilités 55
Probabilités 56

La loi de probabilité d’une v.a.
continue s’exprime à partir d’une
fonction de densité
 Les probabilités font référence à des
intervalles de valeurs :
✔
✔
« Quelle est la probabilité de subir
une perte auditive entre 10 et 20dB
suite à une mauvaise utilisation
d'un lecteur MP3 ? »
« … supérieure à 35dB ? »
Calcul des probabilités :
Pr(x1 < X < x2 ) = Aire délimitée par x1
et x2 sous la courbe densité de
probabilités
Pr(x1< X< x2 )
Probabilités 57

Probabilités 58
La loi normale N(  , σ )
Synonymes :
Loi de Gauss
 Loi de Laplace


Courbe « en cloche »
Elle dépend de deux paramètres

 : sa moyenne

σ : son écart type
Probabilités 59

A :  = 0 et  = 1

B :  = 2 et  = 1

C :  = 0 et  = 0.5
Probabilités 60

A : Valeurs trop faibles
B : Valeurs normales

C : Valeurs trop élevées

Applications :

Standardisation (tests d'aptitude)
✔
✔
✔

Quotient intellectuel,
Test de lecture,
Test de communication, …
Modélisation de paramètres
biométriques, biologiques, …
✔
Acuité auditive, Taux de glycémie à
jeun, ...
Valeurs de référence
 Étalonnage - Normalisation

Probabilités 61
Probabilités 62
Propriétés :
Symétrique par rapport à la moyenne
 Mode = Médiane = Moyenne


Décroissance rapide de part et autre de la
moyenne
Pr(X>
Pr(X>μμ)=0,5
)=0,5
Pr(X<
Pr(X<μμ)=0,5
)=0,5
Probabilités 63
Quand rencontre-t-on une distribution
gaussienne ?
 Nombreux facteurs de variation
(explicatifs)
 Ex : L'acuité auditive varie en fonction
✔
✔
✔

de l'âge
De facteurs génétiques
des habitudes de vie (MP3,
concerts, ...)
Les fluctuations dues à ces facteurs
sont :
✔
✔
En tous sens  symétrie
Indépendantes
Probabilités 65
Probabilités 64

La Loi normale centrée et réduite :
Si X est une variable aléatoire
gaussienne : X ≈ N(  ; σ )
Alors la v.a. Z définie par
Z = ( X - ) / σ
est distribuée selon une loi normale de
moyenne 0 et d’écart type 1 :
Z ≈ N( 0 ; 1 )
Probabilités 66

Calcul des probabilités :

On se ramène à la loi N(0, 1)
Exemple : Test de Wechsler (QI)
Les scores au test de Wechsler (mesure
du QI) sont normalisés. La moyenne
des scores est de 100 pour un écart
type de 10
 1. Quelle est la probabilité d’un score
compris entre 100 et 112,6 ?
 2. Entre 85 et 115 ?
 3. Supérieur à 125 ?
 4. Compris entre 75 et 85 ?
Pr  x 1  X x 2 
= Pr  x 1− X− x 2− 
x 1−  X−  x 2− 
= Pr 






= Pr  z 1 Z z 2 
Probabilités 67

Probabilités 68
Résolution :
 X ≡ V.A. score au test de Wechsler
On se réfère à la table de la N (0, 1)
X ≈ N (100
(100,, 10)
10)
1. Pr (100 ≤ X ≤ 112,6) = ?
On passe à la V.A. Z ≈ N (0, 1)

 Pr 100 X112,6
100−100 X −100 112,6−100



10
10
10
= Pr 0Z 1,26
= Pr 
Probabilités 69
1.26 = 1.2 + 0.06
Probabilités 70

z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,6
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,7
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,9
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
1
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
Probabilités 71
Résolution :
 2. Pr (85 ≤ X ≤ 115) = ?

Pr 85 X115
85−100 X −100 115−100
= Pr 



10
10
10
= Pr −1,50Z 1,50
Probabilités 72
Pr (0 < Z < 1,50) = 0,4332
 Pr (-1,50 < Z < 1,50)

0
z
z1 = -1.50
x1 = 85
0
z2 = 1.50
100
x2 = 115
Symétrie ⇔ A = B
= Pr (-1,50 < Z < 0)
+ Pr (0 < Z < 1,50)
1
0,3438
1
0,3413
1,1
0,3643
0,3665
1,2
0,3849
0,3869
1,3
0,4032
0,4049
1,4
0,4192
0,4207
1,5
0,4332
0,4345
1,6
0,4452
0,4463
1,7
0,4554
0,4564
= Pr (0 < Z < 1,50)
+ Pr (0 < Z < 1,50)
= 2 × 0,4332 = 0,8664
= 86,64%
Probabilités 73
3. Pr (X ≥ 125) = Pr (Z ≥ 2,5)
= 0,5 – Pr (0 < Z < 2,5)
38
49

0.
5
0.
0
z = 2.50
100
x =125
z1=-2.50
x1 = 75
Probabilités 75
Exemple : Test de Wechsler (QI)

32
=
43
0.
49
38
0.
B
=
A+
= 6,2‰
6,2‰
4. Pr (75< X<
X< 85) = Pr (-2,50< Z≤
Z≤ -1,5)
-1,5)
B = 0,4938 – 0,4332 = 0,0606 = 6,06%
B
= 0,5 – 0,4938
= 0,0062

A+

Probabilités 74
z
Quel score doit obtenir un enfant pour
être classé parmis les surdoués :
seulement 5% des enfants obtiennent un
score aussi élevé ?

z2=-1.50
=-1.50
x2 = 85
1,4
3
0,4236
100
Probabilités 76
4
5
0,4251
0,4265
0,4382
0,4394
6
0,4279
1,5
0,4370
1,6
0,4484
1,7
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
1,8
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4495 0,4505
0,4406
0,4515
Pr (0 < Z < z5%) = 0,45
z5% = 1,645
1,645

Probabilités 77
x = 100 + 10 × 1,645 = 116,45
Probabilités 78