Feuille d`exercices n°23 Probabilités 1 Exercices de probabilités de

Lycée Chrestien de Troyes
Feuille d’exercices n°23 − Probabilités
MP1617
Feuille d’exercices n°23
Probabilités
Version du 05-03-2017 à 08:12
1 Exercices de probabilités de MPSI (révisions)
Exercice 1. Soit n ∈ N∗ , soit E un ensemble fini à n éléments.
1. Déterminer le nombre de couples (A, B ) ∈ P (E )2 tels que A ⊂ B .
2. Déterminer le nombre de couples (A, B ) ∈ P (E )2 tels que A ∩ B = ;.
3. Déterminer le nombre de triplets (A, B,C ) ∈ P (E )3 tels que A, B,C soient deux-à-deux disjoints et A ∪
B ∪C = E .
Exercice 2. Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne. Pour chaque boule blanche, il
gagne deux points, pour chaque boule noire, il perd trois points. On note X la variable aléatoire donnant
le nombre de boules blanches tirées, et Y la variable aléatoire donnant le nombre de points du joueur.
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X , son espérance, sa variance.
(b) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y , son espérance, sa variance.
2. Dans cette question, on suppose que les tirages se font sans remise.
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X .
(b) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y .
Exercice 3. Une personne effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts. On suppose que
les n appels constituent n expériences aléatoires indépendantes et que pour chaque appel, la probabilité que
le correspondant réponde vaut p ∈ ]0 ; 1[. Notons X la variable aléatoire donnant le nombre de correspondants
ayant répondu.
1. Donner la loi de X . Justifier.
2. La personne rappelle une deuxième fois les n − X correspondants qui n’ont pas répondu au premier appel. On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de correspondants joints au cours de la seconde
série d’appels.
(a) Soit i ∈ J0, n K. Déterminer P (Y = k | X = i ), pour tout k ∈ J0, i K.
(b) Montrer que la loi Z = X + Y suit une loi binomiale donc on déterminera les paramètres.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de la variable Z .
Exercice 4.
1. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
2. Soit n ∈ N∗ , soient X 1 , . . . , X n des variables aléatoires finies, mutuellement indépendantes, de même loi,
admettant un moment d’ordre 2. On pose X = X 1 + . . . + X n . Montrer que :
¯
µ¯
¶
¯X
¯
V (X 1 )
¯
¯
∀a > 0, P ¯ − E (X 1 )¯ ≥ a ≤
n
na 2
3. Application : on effectue n tirages successifs et mutuellement indépendants d’une boule, avec remise,
dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires. Donner une valeur de n à partir de laquelle
la proportion de boules rouges obtenues est comprise, avec une probabilité de 95%, entre 0.35 et 0.45 ?
Exercice 5. On dispose de n boules numérotées de 1 à n et d’une boîte formée de trois compartiments identiques numérotées de 1 à 3 pouvant chacune contenir n boules. On lance simultanément les n boules. Elles
viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. On note X la variable aléatoire qui, à chaque expérience, associe le nombre de compartiments restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par X .
2. Déterminer P (X = 2) puis donner la loi de X .
3. Calculer E (X ). Déterminer la limite de E (X ) quand n tend vers +∞ et interpréter le résultat.
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Exercice 6.
1. Énoncer et démontrer la formule de Bayes.
1
.
2
(a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On le lance et on obtient 6. Quelle est la probabilité que le
dé soit pipé ?
2. On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour un dé pipé, la probabilité d’obtenir 6 vaut
(b) Soit n ∈ N∗ . On tire un dé au hasard parmi les 100 dés et on le lance n fois. On obtient n fois le chiffre
6. Quelle est la probabilité p n que le dé soit pipé ?
(c) Déterminer la limite de la suite (p n ). Interpréter le résultat.
Exercice 7. On dispose de deux urnes U1 et U2 . L’urne U1 contient 2 boules blanches et 3 boules noires.
L’urne U2 contient 4 boules blanches et 3 boules noires. On effectue des tirages successifs dans les conditions
suivantes : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la
remet dans l’urne d’où elle provient. Si la boule était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1 . Sinon, le
tirage se fait dans l’urne U2 . Pour tout n ∈ N∗ , on appelle B n l’événement « la boule tirée au n-ème tirage est
blanche »et on note p n = P (B n ).
1. Calculer p 1 .
2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ :
p n+1 = −
4
6
pn +
35
7
3. En déduire la valeur de p n , pour tout n ∈ N∗ .
Exercice 8. Soit p ∈ ]0 ; 1[ et soient n, m ∈ N. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que :
X ∼ B(n, p) et Y ∼ B(m, p). Montrer que la loi Z = X +Y suit la loi binomiale de paramètre p et de taille n +m.
Exercice 9. Soient X et Y deux variables aléatoires finies indépendantes. Les variables aléatoires X +Y et X −Y
sont-elles toujours indépendantes ?
Exercice 10. Soient X , Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans J1, n K.
1. Exprimer E (X ) en fonction des P (X ≥ k), k ∈ N.
2. On suppose les variables aléatoires X et Y de loi uniforme. Déterminer l’espérance de min(X , Y ), de
max(X , Y ) puis de |X − Y |.
Exercice 11. Sot n ∈ N∗ . On munit Sn de la probabilité uniforme. Pour toute permutation σ ∈ Sn , notons X (σ)
le nombre de points fixes de σ. Déterminer l’espérance et la variance de X .
Exercice 12. Une urne contient n boules blanches et n boules rouges. On prélève des boules sans remise jusqu’à ce que toutes les boules rouges aient été tirées. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de
tirages nécessaires au tirage de toutes les boules rouges.
1. Déterminer la loi de X .
2. Déterminer l’espérance et la variance de X .
Exercice 13. Soient X 1 , . . . , X n des variables aléatoires finies, mutuellement indépendantes, de même loi. On
note m leur espérance et σ2 leur variance.
n
1 X
Xk .
1. Calculer l’espérance et la variance de X =
n k=0
2. Calculer l’espérance de
n
1 X
(X i − X )2 .
n − 1 k=1
Exercice 14. Soit p ∈ ]0 ; 1[. Pour tout n ∈ N, soit X n une variable aléatoire de loi B(n, p). Montrer que pour
tout k ∈ N, P (X n ≤ k) −−−−−→ 0.
n→+∞
2
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2 Exercices de probabilités de MP
Exercice 15. Soit (Ω, A , P ) un espace probabilisé. À toute variable aléatoire X : Ω → N, on associe sa
fonction caractéristique qui est l’application définie par :
¯
¯ ϕX
¯
¯
:
R
t
→
7→
¡C ¢
E ei t X .
1. Soit X : Ω → N une variable aléatoire.
(a) Justifier que la fonction ϕ X est bien définie.
(b) Montrer que ϕ X est de classe C ∞ et 2π-périodique.
(c) Calculer ϕ X (0), ϕ0X (0) et ϕ00X (0).
2. Soit p ∈ ]0 ; 1[.
(a) Calculer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire X de loi B(p).
(b) Soit n ∈ N∗ . Calculer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire X de loi B(n, p) (n ∈ N∗ ).
3. Soit X : Ω → N une variable aléatoire. Soit n ∈ N. Démontrer :
Z
1 2π
P (X = n) =
ϕ X (t ) e −i t n dt
2π 0
En déduire que deux variables aléatoires X : Ω → N et Y : Ω → N vérifiant ϕ X = ϕY , ont même loi.
4. Soient X : Ω → N et Y : Ω → N deux variables aléatoires indépendantes. Montrer que ϕ X +Y = ϕ X ϕY .
Exercice 16. Soient p ∈ ]0 ; 1[ et r ∈ N∗ . On dépose une bactérie dans une enceinte fermée au temps t = 0.
On envoie un rayon laser dans cet enceinte chaque seconde. Le premier rayon est envoyé au temps t = 1. La
bactérie a une probabilité p d’être touchée par le rayon. Elle meurt quand elle a été touchée r fois. Les tirs de
laser sont mutuellement indépendants. Notons X la durée de vie de la bactérie.
1. Déterminer la loi de X .
2. Prouver que X admet une espérance et la calculer.
Exercice 17. Soit a ∈ R+∗ . Soit (X , Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2 dont la loi est donnée
par :
µ ¶ j +k
1
( j + k)
2
∀( j , k) ∈ N2 ,
P (X = j , Y = k) =
e j ! k!
1. Déterminer les lois marginales de X et de Y . Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
2. Montrer que 2 X +Y possède une espérance et la calculer.
Exercice 18. Soit λ ∈ ]0 ; 1[, soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N∗ . On suppose que pour tout
n ∈ N∗ :
λ
P (X = n) =
.
n (n + 1) (n + 2)
1. Calculer λ.
2. Montrer que X possède une espérance et la calculer.
3. La variable aléatoire X admet-elle une variance ?
Exercice 19. Soient N ∈ N∗ et p ∈ ]0 ; 1[. Posons q = 1 − p. On considère N variables aléatoires X 1 , . . . , X N ,
mutuellement indépendantes, de même loi géométrique de paramètre p.
1. Soit i ∈ J1, N K, soit n ∈ N∗ . Déterminer P (X i ≤ n) et P (X i > n).
2. On considère la variable aléatoire Y = min X i .
1≤i ≤N
(a) Déterminer P (Y > n). En déduire P (Y ≤ n) puis P (Y = n).
(b) Montrer que Y admet une espérance et la calculer.
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Exercice 20. Soient X , Y deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans N, indépendantes et vérifiant pour
tout k ∈ N :
P (X = k) = P (Y = k) = p(1 − p)k
avec p ∈ ]0 ; 1[. On pose U = max(X , Y ) et V = min(X , Y ).
1. Déterminer la loi du couple (U ,V ).
2. Déterminer les lois marginales du couple (U ,V ).
3. Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ?
Exercice 21. Soient X , Y deux variables aléatoires à valeurs dans N telles que :
∀(i , j ) ∈ N2 ,
P (X = i , Y = j ) =
1
e
2i +1
j!
1. Déterminer les lois de X et de Y .
2. Montrer que 1+X suit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance de X , puis l’espérance
et la variance de Y .
3. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
4. Calculer P (X = Y ).
Exercice 22. Soit p ∈ ]0 , 1[. Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que la loi du
couple (X , Y ) est donnée par :
 Ã !µ ¶
n

 n 1
p(1 − p)n si k ≤ n
2
∀(k, n) ∈ N , P (X = k, Y = n) =
k 2


0
sinon
1. (a) Montrer qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.
(b) Déterminer la loi de Y . En déduire que 1 + Y suit une loi géométrique, puis déterminer l’espérance
de Y .
(c) Déterminer la loi de X .
Exercice 23. Soit
XX une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que X possède une espérance si et seulement si la série P (X > n) converge, et que si tel est le cas :
E (X ) =
+∞
X
P (X > n)
k=0
Exercice 24. Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a ; b], avec a, b ∈ R et a < b.
1. Montrer que X admet une espérance m et une variance σ2 et que m ∈ [a, b].
2. Posons Y = X − m et :
t=
X
y P (Y = y)
y≥0
;
X
s=
y 2 P (Y = y)
;
u = P (Y ≥ 0)
y≥0
(a) Démontrer : t 2 ≤ su.
¡
¢
(b) Calculer l’espérance et la variance de Y . En déduire : t 2 ≤ σ2 − s (1 − u) .
σ2
.
4
(b − a)2
(d) Conclure que : σ2 ≤
.
4
(c) En déduire : t 2 ≤
Exercice 25. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre
p ∈ ]0 ; 1[. Déterminer la loi de X + Y .
4
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Exercice 26. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. Reconnaître la loi conditionnelle de X sachant X + Y = n.
Exercice 27. Soit p ∈ ]0 ; 1[ et soit n ∈ N∗ . Une variable aléatoire X à valeurs dans N∗ suit une loi binomiale
négative de paramètres n et p si :
!
Ã
k −1 n
∗
p (1 − p)k−n
∀k ∈ N ,
P (X = k) =
n −1
1. Montrer qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.
2. Soient X 1 , . . . , X n des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi géométrique de
même paramètre p. Montrer que X 1 + . . . + X n suit une loi binomiale négative de paramètres n et p.
3. En déduire l’espérance et la variance d’une loi binomiale négative de paramètres n et p.
Exercice 28. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0.
1. Pour quelle valeur de n P (X = n) est-il maximal ?
2. À n fixé, pour quelle valeur de λ P (X = n) est-il maximal ?
Exercice 29. Soient X , Y deux variables aléatoires suivant des lois géométriques de paramètres respectifs p et
q. Montrer que la variable aléatoire max(X , Y ) a une espérance et la calculer.
Exercice 30. Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que X suit une loi de Poisson
de paramètre λ > 0 et pour tout n ∈ N, la loi de Y sachant X = n est binomiale de paramètres n et p ∈ ]0 ; 1[.
1. Déterminer la loi conjointe de X et Y .
2. Reconnaître la loi de Y .
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