Feuille d`exercices n°23 Probabilités 1 Exercices de probabilités de

Lycée Chrestien de Troyes Feuille d’exercices n°23 −Probabilités MP1617
Feuille d’exercices n°23
Probabilités
Version du 05-03-2017 à 08:12
1 Exercices de probabilités de MPSI (révisions)
Exercice 1. Soit n∈N∗, soit Eun ensemble fini à néléments.
1. Déterminer le nombre de couples (A,B)∈P(E)2tels que A⊂B.
2. Déterminer le nombre de couples (A,B)∈P(E)2tels que A∩B= ;.
3. Déterminer le nombre de triplets (A,B,C)∈P(E)3tels que A,B,Csoient deux-à-deux disjoints et A∪
B∪C=E.
Exercice 2. Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne. Pour chaque boule blanche, il
gagne deux points, pour chaque boule noire, il perd trois points. On note Xla variable aléatoire donnant
le nombre de boules blanches tirées, et Yla variable aléatoire donnant le nombre de points du joueur.
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X, son espérance, sa variance.
(b) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y, son espérance, sa variance.
2. Dans cette question, on suppose que les tirages se font sans remise.
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
(b) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y.
Exercice 3. Une personne effectue nappels téléphoniques vers ncorrespondants distincts. On suppose que
les nappels constituent nexpériences aléatoires indépendantes et que pour chaque appel, la probabilité que
le correspondant réponde vaut p∈]0 ; 1[. Notons Xla variable aléatoire donnant le nombre de correspondants
ayant répondu.
1. Donner la loi de X. Justifier.
2. La personne rappelle une deuxième fois les n−Xcorrespondants qui n’ont pas répondu au premier ap-
pel. On note Yla variable aléatoire donnant le nombre de correspondants joints au cours de la seconde
série d’appels.
(a) Soit i∈J0,nK. Déterminer P(Y=k|X=i), pour tout k∈J0,iK.
(b) Montrer que la loi Z=X+Ysuit une loi binomiale donc on déterminera les paramètres.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de la variable Z.
Exercice 4.
1. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
2. Soit n∈N∗, soient X1,..., Xndes variables aléatoires finies, mutuellement indépendantes, de même loi,
admettant un moment d’ordre 2. On pose X=X1+...+Xn. Montrer que :
∀a>0, Pµ¯¯¯¯
X
n−E(X1)¯¯¯¯
≥a¶≤V(X1)
na2
3. Application : on effectue ntirages successifs et mutuellement indépendants d’une boule, avec remise,
dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires. Donner une valeur de nà partir de laquelle
la proportion de boules rouges obtenues est comprise, avec une probabilité de 95%, entre 0.35 et 0.45?
Exercice 5. On dispose de nboules numérotées de 1 à net d’une boîte formée de trois compartiments iden-
tiques numérotées de 1 à 3 pouvant chacune contenir nboules. On lance simultanément les nboules. Elles
viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. On note Xla variable aléatoire qui, à chaque ex-
périence, associe le nombre de compartiments restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par X.
2. Déterminer P(X=2) puis donner la loi de X.
3. Calculer E(X). Déterminer la limite de E(X) quand ntend vers +∞ et interpréter le résultat.
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Exercice 6.
1. Énoncer et démontrer la formule de Bayes.
2. On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour un dé pipé, la probabilité d’obtenir 6 vaut 1
2.
(a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On le lance et on obtient 6. Quelle est la probabilité que le
dé soit pipé?
(b) Soit n∈N∗. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés et on le lance nfois. On obtient nfois le chiffre
6. Quelle est la probabilité pnque le dé soit pipé?
(c) Déterminer la limite de la suite (pn). Interpréter le résultat.
Exercice 7. On dispose de deux urnes U1et U2. L’urne U1contient 2 boules blanches et 3 boules noires.
L’urne U2contient 4 boules blanches et 3 boules noires. On effectue des tirages successifs dans les conditions
suivantes : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la
remet dans l’urne d’où elle provient. Si la boule était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1. Sinon, le
tirage se fait dans l’urne U2. Pour tout n∈N∗, on appelle Bnl’événement « la boule tirée au n-ème tirage est
blanche »et on note pn=P(Bn).
1. Calculer p1.
2. Montrer que pour tout n∈N∗:
pn+1= − 6
35 pn+4 7
3. En déduire la valeur de pn, pour tout n∈N∗.
Exercice 8. Soit p∈]0 ; 1[ et soient n,m∈N. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes telles que :
X∼B(n,p) et Y∼B(m,p). Montrer que la loi Z=X+Ysuit la loi binomiale de paramètre pet de taille n+m.
Exercice 9. Soient Xet Ydeux variables aléatoires finies indépendantes. Les variables aléatoires X+Yet X−Y
sont-elles toujours indépendantes?
Exercice 10. Soient X,Ydeux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans J1,nK.
1. Exprimer E(X) en fonction des P(X≥k), k∈N.
2. On suppose les variables aléatoires Xet Yde loi uniforme. Déterminer l’espérance de min(X,Y), de
max(X,Y) puis de |X−Y|.
Exercice 11. Sot n∈N∗. On munit Snde la probabilité uniforme. Pour toute permutation σ∈Sn, notons X(σ)
le nombre de points fixes de σ. Déterminer l’espérance et la variance de X.
Exercice 12. Une urne contient nboules blanches et nboules rouges. On prélève des boules sans remise jus-
qu’à ce que toutes les boules rouges aient été tirées. On note Xla variable aléatoire donnant le nombre de
tirages nécessaires au tirage de toutes les boules rouges.
1. Déterminer la loi de X.
2. Déterminer l’espérance et la variance de X.
Exercice 13. Soient X1,.. ., Xndes variables aléatoires finies, mutuellement indépendantes, de même loi. On
note mleur espérance et σ2leur variance.
1. Calculer l’espérance et la variance de X=1
n
n
X
k=0
Xk.
2. Calculer l’espérance de 1
n−1
n
X
k=1
(Xi−X)2.
Exercice 14. Soit p∈]0 ; 1[. Pour tout n∈N, soit Xnune variable aléatoire de loi B(n,p). Montrer que pour
tout k∈N,P(Xn≤k)−−−−−→
n→+∞ 0.
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2 Exercices de probabilités de MP
Exercice 15. Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé. À toute variable aléatoire X:Ω→N, on associe sa
fonction caractéristique qui est l’application définie par :
¯¯¯¯
ϕX:R→C
t7→ E¡ei t X ¢.
1. Soit X:Ω→Nune variable aléatoire.
(a) Justifier que la fonction ϕXest bien définie.
(b) Montrer que ϕXest de classe C∞et 2π-périodique.
(c) Calculer ϕX(0),ϕ0
X(0) et ϕ00 X(0).
2. Soit p∈]0 ; 1[.
(a) Calculer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire Xde loi B(p).
(b) Soit n∈N∗. Calculer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire Xde loi B(n,p) (n∈N∗).
3. Soit X:Ω→Nune variable aléatoire. Soit n∈N. Démontrer :
P(X=n)=1
2πZ2π
0ϕX(t)e−i t n dt
En déduire que deux variables aléatoires X:Ω→Net Y:Ω→Nvérifiant ϕX=ϕY, ont même loi.
4. Soient X:Ω→Net Y:Ω→Ndeux variables aléatoires indépendantes. Montrer que ϕX+Y=ϕXϕY.
Exercice 16. Soient p∈]0 ; 1[ et r∈N∗. On dépose une bactérie dans une enceinte fermée au temps t=0.
On envoie un rayon laser dans cet enceinte chaque seconde. Le premier rayon est envoyé au temps t=1. La
bactérie a une probabilité pd’être touchée par le rayon. Elle meurt quand elle a été touchée rfois. Les tirs de
laser sont mutuellement indépendants. Notons Xla durée de vie de la bactérie.
1. Déterminer la loi de X.
2. Prouver que Xadmet une espérance et la calculer.
Exercice 17. Soit a∈R+∗. Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2dont la loi est donnée
par :
∀(j,k)∈N2,P(X=j,Y=k)=
(j+k)µ1
2¶j+k
e j !k!
1. Déterminer les lois marginales de Xet de Y. Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes?
2. Montrer que 2X+Ypossède une espérance et la calculer.
Exercice 18. Soit λ∈]0 ; 1[, soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs dans N∗. On suppose que pour tout
n∈N∗:
P(X=n)=λ
n(n+1)(n+2) .
1. Calculer λ.
2. Montrer que Xpossède une espérance et la calculer.
3. La variable aléatoire Xadmet-elle une variance?
Exercice 19. Soient N∈N∗et p∈]0 ; 1[. Posons q=1−p. On considère Nvariables aléatoires X1,. .. , XN,
mutuellement indépendantes, de même loi géométrique de paramètre p.
1. Soit i∈J1,NK, soit n∈N∗. Déterminer P(Xi≤n) et P(Xi>n).
2. On considère la variable aléatoire Y=min
1≤i≤NXi.
(a) Déterminer P(Y>n). En déduire P(Y≤n) puis P(Y=n).
(b) Montrer que Yadmet une espérance et la calculer.
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Exercice 20. Soient X,Ydeux variables aléatoires discrètes à valeurs dans N, indépendantes et vérifiant pour
tout k∈N:
P(X=k)=P(Y=k)=p(1−p)k
avec p∈]0 ; 1[. On pose U=max(X,Y) et V=min(X,Y).
1. Déterminer la loi du couple (U,V).
2. Déterminer les lois marginales du couple (U,V).
3. Les variables aléatoires Uet Vsont-elles indépendantes?
Exercice 21. Soient X,Ydeux variables aléatoires à valeurs dans Ntelles que :
∀(i,j)∈N2,P(X=i,Y=j)=1
e2i+1j!
1. Déterminer les lois de Xet de Y.
2. Montrer que 1+Xsuit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance de X, puis l’espérance
et la variance de Y.
3. Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes?
4. Calculer P(X=Y).
Exercice 22. Soit p∈]0 , 1[. Soient Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que la loi du
couple (X,Y) est donnée par :
∀(k,n)∈N2,P(X=k,Y=n)=
Ãn
k!µ1 2¶n
p(1−p)nsi k≤n
0 sinon
1. (a) Montrer qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.
(b) Déterminer la loi de Y. En déduire que 1+Ysuit une loi géométrique, puis déterminer l’espérance
de Y.
(c) Déterminer la loi de X.
Exercice 23. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que Xpossède une espérance si et seule-
ment si la série XP(X>n) converge, et que si tel est le cas :
E(X)=
+∞
X
k=0
P(X>n)
Exercice 24. Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs dans [a;b], avec a,b∈Ret a<b.
1. Montrer que Xadmet une espérance met une variance σ2et que m∈[a,b].
2. Posons Y=X−met :
t=X
y≥0
y P(Y=y) ; s=X
y≥0
y2P(Y=y) ; u=P(Y≥0)
(a) Démontrer : t2≤su.
(b) Calculer l’espérance et la variance de Y. En déduire : t2≤¡σ2−s¢(1−u) .
(c) En déduire : t2≤σ2
4.
(d) Conclure que : σ2≤(b−a)2
4.
Exercice 25. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre
p∈]0 ; 1[. Déterminer la loi de X+Y.
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Exercice 26. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson de paramètre
λ>0. Reconnaître la loi conditionnelle de Xsachant X+Y=n.
Exercice 27. Soit p∈]0 ; 1[ et soit n∈N∗. Une variable aléatoire Xà valeurs dans N∗suit une loi binomiale
négative de paramètres net psi :
∀k∈N∗,P(X=k)=Ãk−1
n−1!pn(1−p)k−n
1. Montrer qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.
2. Soient X1,..., Xndes variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi géométrique de
même paramètre p. Montrer que X1+... +Xnsuit une loi binomiale négative de paramètres net p.
3. En déduire l’espérance et la variance d’une loi binomiale négative de paramètres net p.
Exercice 28. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ>0.
1. Pour quelle valeur de n P(X=n) est-il maximal?
2. À nfixé, pour quelle valeur de λP(X=n) est-il maximal?
Exercice 29. Soient X,Ydeux variables aléatoires suivant des lois géométriques de paramètres respectifs pet
q. Montrer que la variable aléatoire max(X,Y) a une espérance et la calculer.
Exercice 30. Soient Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que Xsuit une loi de Poisson
de paramètre λ>0 et pour tout n∈N, la loi de Ysachant X=nest binomiale de paramètres net p∈]0 ; 1[.
1. Déterminer la loi conjointe de Xet Y.
2. Reconnaître la loi de Y.
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